commit a0ab313efa61044151949eb4531f4c6ca16fe542
parent 5f8e312d6c3bcb7e40799bd119286882cbb5dd02
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Wed, 4 Jan 2017 18:52:08 +0300
Sync non-linear section.
Diffstat:
| bib/refs.bib | | | 14 | ++++++++++++-- |
| phd-diss-ru.org | | | 61 | +++++++++++++++++++++++++++++++------------------------------ |
| phd-diss.org | | | 75 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
3 files changed, 118 insertions(+), 32 deletions(-)
diff --git a/bib/refs.bib b/bib/refs.bib
@@ -1500,4 +1500,15 @@
pages={416--423},
booktitle={Тр. II Межд. конф. по судостроению – ISC'98},
year={1998}
-}-
\ No newline at end of file
+}
+
+@article{longuet1963nonlinear,
+ title={The effect of non-linearities on statistical distributions in the theory of sea waves},
+ author={Longuet-Higgins, Michael S},
+ journal={Journal of fluid mechanics},
+ volume={17},
+ number={03},
+ pages={459--480},
+ year={1963},
+ publisher={Cambridge University Press}
+}
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -730,43 +730,44 @@ $\Theta_{\vec{0}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
** Моделирование нелинейности морских волн
Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
-т.е. сгенерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
+т.е. генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
-морских волн.
+морских волн cite:longuet1963nonlinear.
-Асимметричность включается в модель нелинейным безынерционным преобразованием
-случайного процесса. Однако, любое нелинейное преобразование случайного процесса
-приводит к преобразованию его автоковариационной функции. Самый простой способ
-подавить этот эффект состоит в предварительной трансформации автоковариационной
-функции процесса. Подробный метод преобразования изложен в работе
-cite:boukhanovsky1997thesis.
+Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
+преобразования (НБП) случайного процесса, однако, любое нелинейное
+преобразование случайного процесса приводит к преобразованию его АКФ. Для того
+чтобы подавить этот эффект, необходимо предварительно преобразовать АКФ, как
+показано в cite:boukhanovsky1997thesis.
+**** Преобразование взволнованной поверхности.
Формула $z=f(y)$ преобразования взволнованной поверхности к необходимому
одномерному закону распределения $F(z)$ получается путем решения нелинейного
трансцендентного уравнения $F(z) = \Phi(y)$, где $\Phi(y)$ --- функция
одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения
аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на
натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке
-$y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности относительно $z_k$, тогда оно
-запишется в виде
+$y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности относительно $z_k$. Тогда
+уравнение запишется в виде
\begin{equation}
\label{eq:distribution-transformation}
F(z_k)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt
- ,
+ .
\end{equation}
-а для его решения этого можно использовать простейший численный метод
-половинного деления (метод бисекции).
+Поскольку функции распределения монотонны, для решения этого уравнения
+используется простейший численный метод половинного деления (метод бисекции).
-Для предварительного преобразования автоковариационной функции $K_z$ процесса ее
-необходимо разложить в ряд по полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
+**** Предварительное преобразование АКФ.
+Для преобразования АКФ $\gamma_z$ процесса ее необходимо разложить в ряд по
+полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
\begin{equation*}
- K_z \left( \vec u \right)
+ \gamma_z \left( \vec u \right)
=
\sum\limits_{m=0}^{\infty}
- C_m^2 \frac{K_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
+ C_m^2 \frac{\gamma_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
@@ -774,11 +775,11 @@ $y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-$H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение
-уравнения eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись
-полиномиальной аппроксимацией $f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i$ и
-аналитическими выражениями для полнимов Эрмита, формулу определения
-коэффициентов можно упростить, используя следующее равенство:
+$H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение уравнения
+eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
+аппроксимацией $f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i$ и аналитическими выражениями
+для полнимов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно упростить,
+используя следующее равенство:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_\infty^\infty
@@ -789,9 +790,9 @@ $H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение
0 & \text{для нечетных }k.
\end{cases}
\end{equation*}
-Вычисление коэффициентов $C_m$ ведется последовательно и критерий прекращения
-счета определяется совпадением дисперсий обоих полей с требуемой точностью
-$\epsilon$:
+Оптимальное количество коэффициентов $C_m$ определяется путем вычисления их
+последовательно и критерий прекращения счета определяется совпадением дисперсий
+обоих полей с требуемой точностью $\epsilon$:
\begin{equation*}
\left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
\frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
@@ -799,12 +800,12 @@ $\epsilon$:
В cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную
аппроксимацию для $f(y)$ также для преобразования поверхности, однако на
-практике в реализации взволнованной поверхности всегда находятся точки,
+практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
-резкому уменьшению точности аппроксимации. В этих точках
-уравнение eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать методом
-бисекции. Использование полиномиальной аппроксимацией в формулах для
-коэффициентов ряда Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
+резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
+eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
+Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
+Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
** Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью
Поиск аналитических решений граничных задач для классических уравнений часто
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -535,6 +535,7 @@ dimensions. Using slower method does not have dramatic effect on the overall
programme performance, because the number of coefficients is small and most of
the time is spent generating wavy surface.
+**** TODO Stationarity and invertibility of AR and MA processes
**** Mixed autoregressive moving average (ARMA) process.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
@@ -592,6 +593,80 @@ process might increase model precision, which is one of the objectives of the
future research.
** Modelling non-linearity of ocean waves
+ARMA model allows modelling asymmetry of wave elevation distribution, i.e.
+generate ocean waves, distribution of z-coordinate of which has non-nought
+kurtosis and asymmetry. Such distribution is inherent to real ocean waves
+cite:longuet1963nonlinear.
+
+Wave asymmetry is modelled by non-linear inertia-less transform (NIT) of
+stochastic process, however, transforming resulting wavy surface means
+transforming initial ACF. In order to alleviate this, ACF must be preliminary
+transformed as shown in cite:boukhanovsky1997thesis.
+
+**** Wavy surface transformation.
+Explicit formula $z=f(y)$ that transforms wavy surface to desired
+one-dimensional distribution $F(z)$ is the solution of non-linear transcendental
+equation $F(z)=\Phi(y)$, where $\Phi(y)$ --- one-dimensional Gaussian
+distribution. Since distribution of wave elevation is often given by some
+approximation based on field data, this equation is solved numerically with
+respect to $z_k$ in each grid point $y_k|_{k=0}^N$ of generated wavy surface. In
+this case equation is rewritten as
+\begin{equation}
+ \label{eq:distribution-transformation}
+ F(z_k)
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt
+ .
+\end{equation}
+Since, distribution functions are monotonic, the simplest interval halving
+(bisection) numerical method is used to solve this equation.
+
+**** Preliminary ACF transformation.
+In order to transform ACF $\gamma_z$ of the process, it should be expanded in
+series of Hermite polynomials (Gram---Charlier series)
+\begin{equation*}
+ \gamma_z \left( \vec u \right)
+ =
+ \sum\limits_{m=0}^{\infty}
+ C_m^2 \frac{\gamma_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
+\end{equation*}
+where
+\begin{equation*}
+ C_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_{0}^\infty
+ f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
+\end{equation*}
+$H_m$ --- Hermite polynomial, and $f(y)$ --- solution to equation
+eqref:eq:distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
+$f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i$ and analytic expressions for Hermite
+polynomial yields
+\begin{equation*}
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_\infty^\infty
+ y^k \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right]
+ =
+ \begin{cases}
+ (k-1)!! & \text{if }k\text{ is even},\\
+ 0 & \text{if }k\text{ is odd},
+ \end{cases}
+\end{equation*}
+which simplifies the former equation. Optimal number of coefficients $C_m$ is
+determined by computing them sequentially and stopping when variances of both
+fields become equal with desired accuracy $\epsilon$:
+\begin{equation*}
+ \left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
+ \frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
+\end{equation*}
+
+In cite:boukhanovsky1997thesis the author suggests using polynomial
+approximation $f(y)$ also for wavy surface transformation, however, in practice
+ocean surface realisation often contains points, where z-coordinate is beyond
+the limits of the approximation, which makes solution wrong. In these points it
+is more efficient to solve equation eqref:eq:distribution-transformation by
+bisection method. Using the same approximation in Gram---Charlier series does
+not lead to such errors.
+
** Determining wave pressures for discretely given wavy surface
* Numerical methods and experimental results
** The shape of ACF for different types of waves
