commit 5f8e312d6c3bcb7e40799bd119286882cbb5dd02
parent b1768239a3954b2d22e2a52ab12599a47799ca77
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Wed, 4 Jan 2017 17:10:47 +0300
Sync process selection criteria.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 44 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- |
| phd-diss.org | | | 68 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------- |
2 files changed, 78 insertions(+), 34 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -665,7 +665,11 @@ $\Theta_{\vec{0}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на генерацию
взволнованной поверхности.
+**** TODO Стационарность и обратимость процессов АР и СС
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
+:END:
В общем и целом, процесс АРСС получается путем подстановки сгенерированной
процессом СС взволнованной поверхности в качестве случайного импульса процесса
АР, однако, для того чтобы АКФ результирующего процесса соответствовала
@@ -686,10 +690,48 @@ $\Theta_{\vec{0}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
СС по отдельности.
*** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн
+Одной из проблем в применении модели АРСС для генерации взволнованной морской
+поверхности является то, что для разных профилей волн /необходимо/ использовать
+разные процессы: стоячие волны моделируются только процессом АР, а прогрессивные
+волны --- только процессом СС. Это утверждение пришло из практики: если
+попытаться использовать процессы наоборот, результирующая реализация либо
+расходится, либо не представляет собой реальные морские волны (такое происходит
+в случае необратимого процесса СС, который всегда стационарен). Таким образом,
+процесс АР может быть использован только для моделирования стоячих волн, а
+процесс СС --- для прогрессивных волн.
+
+Другой проблемой является невозможность автоматического определения оптимального
+количества коэффициентов для трехмерных процессов АР и СС. Для одномерных
+процессов существуют итеративные методы cite:box1976time, однако они расходятся
+в трехмерном случае.
+
+Последней проблемой, которая описана в разделе [[#sec:how-to-mix-ARMA]], является
+невозможность "смешать" процесс АР и СС в трех измерениях.
+
+Практика показывает, что некоторые утверждения авторов cite:box1976time не
+выполняются для трехмерной модели АРСС. Например, авторы утверждают, что АКФ
+процесса СС обрывается на отсчете $q$, а АКФ процесса АР затухает на
+бесконечности, однако, на практике при использовании слабо затухающей и
+обрывающейся на отсчете $q$ АКФ для трехмерного процесса СС получается
+необратимый процесс СС и реализация, не соответствующая реальными морским
+волнам, в то время как при использовании той же самой АКФ для трехмерного
+процесса АР получается стационарный обратимый процесс и адекватная реализация.
+Также, авторы утверждают, что первые $q$ точек АКФ смешанного процесса
+необходимо выделить процессу СС (поскольку он обычно используется для описания
+пиков АКФ) и отдать остальные точки процессу АР, однако, на практике в случае
+АКФ прогрессивной волны процесс АР стационарен только для начального временного
+среза АКФ, а остальные точки отдаются процессу СС.
+
+Суммируя вышесказанное, наиболее разработанным сценарием применения модели АРСС
+для генерации взволнованной морской поверхности является использование процесса
+АР для стоячих волн и процесса СС для прогрессивных волн. Смешанный процесс АРСС
+может сделать модель более точной при условии наличия соответствующих формул
+пересчета коэффициентов, что является целью дальнейших исследований.
+
** Моделирование нелинейности морских волн
Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
т.е. сгенерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
-ненулевой экцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
+ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
морских волн.
Асимметричность включается в модель нелинейным безынерционным преобразованием
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -536,6 +536,9 @@ programme performance, because the number of coefficients is small and most of
the time is spent generating wavy surface.
**** Mixed autoregressive moving average (ARMA) process.
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
+:END:
Generally speaking, ARMA process is obtained by plugging MA generated wavy
surface as random impulse to AR process, however, in order to get the process
with desired ACF one should re-compute AR coefficients before plugging. There
@@ -553,40 +556,39 @@ there is no such formula for the second approach. So, the best solution for now
is to simply use AR and MA process exclusively.
*** Process selection criteria for different wave profiles
-The main problem of ARMA model application to ocean wave generation is that for
+One problem of ARMA model application to ocean wave generation is that for
different types of wave profiles different processes /must/ be used: standing
-waves can only be generated by AR process, and propagating waves can only be
-generated by MA process. This statement comes from practice: if one tries to use
-the processes the other way round, the resulting realisation either diverges or
-does not look like real ocean waves. (The latter happens for non-invertible MA
-process, and sometimes for AR process for an unknown reason.) So, the best way to
-apply ARMA model to ocean wave generation is to use AR process for standing
-waves and MA process for progressive waves.
-
-The other problem of three-dimensional AR and MA processes in this context is
-inability to determine the number of coefficients from ACF. For one-dimensional
-processes this can be achieved via iterative methods, but their formulae need to
-be mapped to three-dimensions, otherwise they do not converge.
-
-The final problem is how to mix 3-dimensional AR and MA processes. Again the new
-formula to recompute ACF needs to be derived in case of three dimensions.
-
-It appears that some statements made for AR and MA processes in cite:box1976time
-(a book from creators of ARMA process) should be flipped for three-dimensional
-case. For example, the authors say that ACF of MA process is cut at
-$(q_1,q_2,q_3)$ and ACF of AR process decays to nought infinitely, but in
-practice making ACF of 3-dimensional MA process not decay results in it being
-non-invertible and producing realisation that does not look like real ocean
-waves, whereas doing the same for ACF of AR process does not have severe
-consequences. The second example: the authors say that one should allocate the
-first $q$ points of ACF to MA process (as it often needed to describe the peaks
-in ACF) and leave the rest points to AR process, but in practice in case of ACF
-of a propagating wave AR process is stationary only for the first time slice of
-the ACF, and the rest is left to MA process.
-
-So, for now the only safe scenario is to use AR process for standing waves and
-MA process for propagating waves. With new formulae for 3 dimensions a single
-mixed ARMA process might be a better choice, but this is the objective of the
+waves are modelled by AR process, and propagating waves by MA process. This
+statement comes from practice: if one tries to use the processes the other way
+round, the resulting realisation either diverges or does not correspond to real
+ocean waves. (The latter happens for non-invertible MA process, as it is always
+stationary.) So, the best way to apply ARMA model to ocean wave generation is to
+use AR process for standing waves and MA process for progressive waves.
+
+The other problem is inability to automatically determine optimal number of
+coefficients for three-dimensional AR and MA processes. For one-dimensional
+processes this can be achieved via iterative methods cite:box1976time, but they
+diverge in three-dimensional case.
+
+The final problem, which is discussed in [[#sec:how-to-mix-ARMA]], is inability to
+"mix" AR and MA process in three dimensions.
+
+In practice some statements made for AR and MA processes in cite:box1976time
+should be flipped for three-dimensional case. For example, the authors say that
+ACF of MA process cuts at $q$ and ACF of AR process decays to nought infinitely,
+but in practice making ACF of 3-dimensional MA process not decay results in it
+being non-invertible and producing realisation that does not look like real
+ocean waves, whereas doing the same for ACF of AR process results in stationary
+process and adequate realisation. Also, the authors say that one
+should allocate the first $q$ points of ACF to MA process (as it often needed to
+describe the peaks in ACF) and leave the rest points to AR process, but in
+practice in case of ACF of a propagating wave AR process is stationary only for
+the first time slice of the ACF, and the rest is left to MA process.
+
+To summarise, the only established scenario of applying ARMA model to ocean wave
+generation is to use AR process for standing waves and MA process for
+propagating waves. With new formulae for 3 dimensions a single mixed ARMA
+process might increase model precision, which is one of the objectives of the
future research.
** Modelling non-linearity of ocean waves
