commit 6d6e59ec8408d1c74036ee2e2c8c1587fba702c3
parent d253ba50a0cafa4f0c0611fb06058a6db6b18a0a
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 7 Nov 2017 16:13:48 +0300
Add references to 3d recursive algorithms.
Diffstat:
3 files changed, 93 insertions(+), 53 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -373,15 +373,15 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат коэффициенты и
порядки процессов АР и СС.
-Модель ветрового волнения выводится для воспроизведения реалистичных реализаций
-ветро-волнового поля и пригодна для использования в расчетах динамики судна.
-Свойства стационарности и обратимости являются основными критериями выбора того
-или иного процесса для моделирования волн разных профилей, которые обсуждаются в
-разд.\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
+Имитационная модель морского волнения предназначена для воспроизведения
+реалистичных реализаций ветро-волнового поля и пригодна для использования в
+расчетах динамики судна. Свойства стационарности и обратимости являются
+основными критериями выбора того или иного процесса для моделирования волн
+разных профилей, которые обсуждаются в разд.\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
**** Процесс авторегрессии (АР).
-Процесс АР\nbsp{}--- это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом вместо их
-взвешенной суммы:
+Процесс АР\nbsp{}--- это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом
+вместо их взвешенной суммы:
\begin{equation}
\zeta_{\vec i}
=
@@ -412,9 +412,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
\end{cases}
\end{equation}
-где \(\gamma\)\nbsp{}--- АКФ процесса \(\zeta\), \(\Var{\epsilon}\)\nbsp{}--- дисперсия
-белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений Юла---Уокера,
-используемой в данной работе, имеет следующий вид.
+где \(\gamma\)\nbsp{}--- АКФ процесса \(\zeta\), \(\Var{\epsilon}\)\nbsp{}---
+дисперсия белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений
+Юла---Уокера, используемой в данной работе, имеет следующий вид.
\begin{equation*}
\Gamma
\left[
@@ -469,9 +469,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\end{equation*}
Поскольку по определению \(\Phi_{\vec 0}\equiv0\), то первую строку и столбец
матрицы \(\Gamma\) можно отбросить. Матрица \(\Gamma\), как и оставшаяся от нее
-матрица, будут блочно-теплицевы, положительно определены и симметричны, поэтому
-систему уравнений Юла---Уокера можно эффективно решить методом Холецкого,
-специально предназначенного для таких матриц.
+матрица, будут блочно-блочно-теплицевы, положительно определены и симметричны,
+поэтому систему уравнений можно эффективно решить методом Холецкого, специально
+предназначенного для таких матриц.
После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
уравнения\nbsp{}eqref:eq-yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
@@ -513,7 +513,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\Theta_{\vec j} \Theta_{\vec j - \vec i}.
\end{equation*}
Здесь новые значения коэффициентов \(\Theta\) вычисляются, начиная с последнего:
-от \(\vec{i}=\vec{M}\) до \(\vec{i}=\vec{0}\). Дисперсия белого шума вычисляется из
+от \(\vec{i}=\vec{M}\) до \(\vec{i}=\vec{0}\). Дисперсия белого шума вычисляется
+из
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} = \frac{\gamma_{\vec 0}}{
1
@@ -523,11 +524,11 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
}.
\end{equation*}
Авторы\nbsp{}cite:box1976time предлагают использовать метод Ньютона---Рафсона
-для решения этого уравнения с большей точностью, однако, этот метод не подходит
-для трех измерений. Использование более медленного метода не оказывает большого
-эффекта на общую производительность программы, потому что количество
-коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на генерацию
-взволнованной поверхности.
+для решения этого уравнения с большей точностью, однако, в данном случае этот
+метод сложно обобщить для трех измерений. Использование более медленного метода
+не оказывает большого эффекта на общую производительность программы, потому что
+количество коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на
+генерацию взволнованной поверхности.
**** Стационарность и обратимость процессов АР и СС
Для того чтобы моделируемая взволнованная поверхность представляла собой
@@ -558,22 +559,23 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
:PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
+:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-arma
:END:
+
В общем и целом, процесс АРСС получается путем подстановки сгенерированной
процессом СС взволнованной поверхности в качестве случайного импульса процесса
АР, однако, для того чтобы АКФ результирующего процесса соответствовала
заданной, необходимо предварительно скорректировать значения коэффициентов АР.
Существует несколько способов "смешивания" процессов АР и СС.
-- Подход, предложенный авторами\nbsp{}cite:box1976time, который включается в
- себя разделение АКФ на часть для процесса АР и часть для процесса СС по
- каждому из измерений, не подходит в данной ситуации, поскольку в трех
- измерениях невозможно таким образом разделить АКФ: всегда останутся части,
- которые не будут учтены ни в процессе АР, ни в процессе СС.
+- Подход, предложенный авторами\nbsp{}cite:box1976time, который включает в себя
+ разделение АКФ на часть для процесса АР и часть для процесса СС по каждому из
+ измерений, не подходит в данной ситуации, поскольку в трех измерениях
+ невозможно таким образом разделить АКФ: всегда останутся части, которые не
+ будут учтены ни в процессе АР, ни в процессе СС.
- Альтернативный подход состоит в использование одной и той же (неразделенной)
АКФ для обоих процессов разных порядков, однако, тогда характеристики
реализации (математической ожидание, дисперсия и др.) будут смещены: они
- станут характеристика двух наложенных друг на друга процессов.
+ станут характеристиками двух наложенных друг на друга процессов.
Для первого подхода авторами\nbsp{}cite:box1976time предложена формула
корректировки коэффициентов процесса АР, для второго же подхода такой формулы
нет. Таким образом, лучшим решением на данный момент является использование
@@ -594,13 +596,18 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
процесс АР может быть использован только для моделирования стоячих волн, а
процесс СС\nbsp{}--- для прогрессивных волн.
-Другой проблемой является невозможность автоматического определения оптимального
-количества коэффициентов для трехмерных процессов АР и СС. Для одномерных
-процессов существуют итеративные методы\nbsp{}cite:box1976time, однако они
-расходятся в трехмерном случае.
-
-Последней проблемой, которая описана в разделе [[#sec:how-to-mix-ARMA]], является
-невозможность "смешать" процесс АР и СС в трех измерениях.
+Другой проблемой является сложность определения оптимального количества
+коэффициентов для трехмерных процессов АР и СС. Для одномерных процессов
+существуют простые в реализации итеративные методы\nbsp{}cite:box1976time, а для
+трехмерного случая существуют аналогичные
+методы\nbsp{}cite:byoungseon1999arma3d,liew2005arma3d, которые сложны в
+реализации, из-за чего не были использованы в данной работе. Ручной выбор
+порядка модели тривиален: задание заведомо высокого порядка сказывается на
+производительности, но и не на качестве реализации, поскольку периодичность
+процессов не зависит от количества коэффициентов. Программная реализация
+итеративного метода поиска оптимального порядка модели повысила бы уровень
+автоматизации генератора взволнованной поверхности, но не качество проводимых
+экспериментов.
Практика показывает, что некоторые утверждения авторов\nbsp{}cite:box1976time не
выполняются для трехмерной модели АРСС. Например, авторы утверждают, что АКФ
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -345,11 +345,11 @@ any scalar quantity can be a component (temperature, salinity, concentration of
some substance in water etc.). Equation parameters are AR and MA process
coefficients and order.
-Sea simulation model is derived to simulate realistic realisations of wind
-induced wave field and is suitable to use in ship dynamics calculations.
-Stationarity and invertibility properties are the main criteria for choosing one
-or another process to simulate waves with different profiles, which are
-discussed in sec.\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
+Sea simulation model is used to simulate realistic realisations of wind induced
+wave field and is suitable to use in ship dynamics calculations. Stationarity
+and invertibility properties are the main criteria for choosing one or another
+process to simulate waves with different profiles, which are discussed in
+sec.\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
**** Autoregressive (AR) process.
AR process is ARMA process with only one random impulse instead of theirs
@@ -440,9 +440,9 @@ where \(\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)\) and
\right],
\end{equation*}
Since \(\Phi_{\vec 0}\equiv0\), the first row and column of \(\Gamma\) can be
-eliminated. Matrix \(\Gamma\) is block-toeplitz, positive definite and symmetric,
-hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition, which is
-particularly suitable for these types of matrices.
+eliminated. Matrix \(\Gamma\) is block-block-toeplitz, positive definite and
+symmetric, hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition,
+which is particularly suitable for these types of matrices.
After solving this system of equations white noise variance is estimated
from\nbsp{}eqref:eq-yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
@@ -496,10 +496,10 @@ Here coefficients \(\Theta\) are calculated from back to front: from
}.
\end{equation*}
Authors of\nbsp{}cite:box1976time suggest using Newton---Raphson method to solve
-this equation with higher precision, however, this method does not work in three
-dimensions. Using slower method does not have dramatic effect on the overall
-programme performance, because the number of coefficients is small and most of
-the time is spent generating wavy surface.
+this equation with higher precision, however, in this case it is difficult to
+generalise the method for three dimensions. Using slower method does not have
+dramatic effect on the overall programme performance, because the number of
+coefficients is small and most of the time is spent generating wavy surface.
**** Stationarity and invertibility of AR and MA processes
In order for modelled wavy surface to represent physical phenomena, the
@@ -534,8 +534,9 @@ section\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
**** Mixed autoregressive moving average (ARMA) process.
:PROPERTIES:
-:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
+:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-arma
:END:
+
Generally speaking, ARMA process is obtained by plugging MA generated wavy
surface as random impulse to AR process, however, in order to get the process
with desired ACF one should re-compute AR coefficients before plugging. There
@@ -566,13 +567,17 @@ sea waves. (The latter happens for non-invertible MA process, as it is always
stationary.) So, the best way to apply ARMA model to sea wave generation is to
use AR process for standing waves and MA process for progressive waves.
-The other problem is inability to automatically determine optimal number of
+The other problem is difficulty of determination of optimal number of
coefficients for three-dimensional AR and MA processes. For one-dimensional
-processes this can be achieved via iterative methods\nbsp{}cite:box1976time, but
-they diverge in three-dimensional case.
-
-The final problem, which is discussed in [[#sec:how-to-mix-ARMA]], is inability to
-"mix" AR and MA process in three dimensions.
+processes there are easy to implement iterative methods\nbsp{}cite:box1976time,
+but for three-dimensional case there are analogous
+methods\nbsp{}cite:byoungseon1999arma3d,liew2005arma3d which are difficult to
+implement, hence they were not used in this work. Manual choice of model's order
+is trivial: choosing wittingly higher order than needed affects performance, but
+not realisation quality, because processes' periodicity does not depend on the
+number of coefficients. Software implementation of iterative methods of finding
+the optimal model order would improve automation level of wavy surface
+generator, but not the quality of the experiments being conducted.
In practice some statements made for AR and MA processes
in\nbsp{}cite:box1976time should be flipped for three-dimensional case. For
@@ -589,7 +594,7 @@ left to MA process.
To summarise, the only established scenario of applying ARMA model to sea wave
generation is to use AR process for standing waves and MA process for
-propagating waves. With new formulae for 3 dimensions a single mixed ARMA
+propagating waves. With new formulae for three dimensions a single mixed ARMA
process might increase model precision, which is one of the objectives of the
future research.
diff --git a/bib/refs.bib b/bib/refs.bib
@@ -243,6 +243,20 @@
publisher = {Springer}
}
+@Article{ byoungseon1999arma3d,
+ author = {ByoungSeon Choi},
+ journal = {IEEE Transactions on Signal Processing},
+ title = {An order-recursive algorithm to solve the 3-D Yule-Walker
+ equations of causal 3-D AR models},
+ year = {1999},
+ volume = {47},
+ number = {9},
+ pages = {2491--2502},
+ doi = {10.1109/78.782192},
+ issn = {1053-587X},
+ month = {Sep}
+}
+
@Article{ cassen2002keepalived,
title = {Keepalived: Health checking for LVS \& high availability},
author = {Cassen, Alexandre},
@@ -898,6 +912,20 @@
organization = {ACM}
}
+@InProceedings{ liew2005arma3d,
+ author = {J. Liew and S. L. Marple},
+ booktitle = {Proceedings. (ICASSP '05). IEEE International Conference on
+ Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2005.},
+ title = {Three-dimensional fast algorithm solution for octant-based
+ three-dimensional Yule-Walker equations},
+ year = {2005},
+ volume = {2},
+ pages = {ii/889-ii/892 Vol. 2},
+ doi = {10.1109/ICASSP.2005.1415548},
+ issn = {1520-6149},
+ month = {March}
+}
+
@InProceedings{ lifflander2014scalable,
title = {Scalable replay with partial-order dependencies for
message-logging fault tolerance},
