commit d253ba50a0cafa4f0c0611fb06058a6db6b18a0a
parent 1c1d2907d939abd18c901b8edab73fd7fb27d288
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 7 Nov 2017 13:59:59 +0300
Edit model analysis.
Diffstat:
2 files changed, 45 insertions(+), 45 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -230,45 +230,44 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
Вычисление давлений возможно только при условии знания формы взволнованной
поверхности, которая задается либо дискретно в каждой точке пространственной
сетки, либо непрерывно с помощью аналитической формулы. Как будет показано в
-разделе [[#linearisation]], знание такой формулы может упростить вычисление
+разделе\nbsp{}[[#linearisation]], знание такой формулы может упростить вычисление
давлений, фактически сведя задачу к генерации поля давлений, а не самой
взволнованной поверхности.
**** Модель Лонге---Хиггинса.
Наиболее простой моделью, формула которой выводится в рамках линейной теории
-волн (см.\nbsp{}разд.\nbsp{}[[#longuet-higgins-derivation]]), является модель
+волн (см.\nbsp{}прил.\nbsp{}[[#longuet-higgins-derivation]]), является модель
Лонге---Хиггинса (ЛХ)\nbsp{}cite:longuet1957statistical. Подробный сравнительный
анализ этой модели и модели АРСС проведен в
работах\nbsp{}cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
Модель ЛХ представляет взволнованную морскую поверхность в виде суперпозиции
элементарных гармонических волн случайных амплитуд \(c_n\) и фаз \(\epsilon_n\),
-непрерывно распределенных на интервале \([0,2\pi]\). Подъем (координата \(z\))
+равномерно распределенных на интервале \([0,2\pi]\). Подъем (координата \(z\))
поверхности определяется формулой
#+name: eq-longuet-higgins
\begin{equation}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
-Здесь волновые числа \((u_n,v_n)\) непрерывно распределены на плоскости \((u,v)\),
-т.е. площадка \(du \times dv\) содержит бесконечно большое количество волновых
-чисел. Частота связана с волновыми числами дисперсионным соотношением
-\(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\). Функция \(\zeta(x,y,t)\) является трехмерным
-эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом, определяемым
-соотношением
+Здесь волновые числа \((u_n,v_n)\) непрерывно распределены на плоскости
+\((u,v)\), т.е.\nbsp{}площадка \(du\times{}dv\) содержит бесконечно большое
+количество волновых чисел. Частота связана с волновыми числами дисперсионным
+соотношением \(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\). Функция \(\zeta(x,y,t)\) является
+трехмерным эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом,
+определяемым соотношением
\begin{equation*}
- 2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
+ 2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
\end{equation*}
-где \(E_\zeta(u,v)\)\nbsp{}--- двумерная спектральная плотность энергии волн.
-Коэффициенты \(c_n\) определяются из энергетического спектра волнения \(S(\omega)\)
-по формуле
+где \(E_\zeta(u,v)\)\nbsp{}--- двухмерная спектральная плотность энергии волн.
+Коэффициенты \(c_n\) определяются из энергетического спектра волнения
+\(S(\omega)\) по формуле
\begin{equation*}
c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
\end{equation*}
**** Основные недостатки модели Лонге---Хиггинса.
-Модель Лонге---Хиггинса отличается простотой численного алгоритма и
-наглядностью, однако, на практике она обладает рядом недостатков.
-
+Несмотря на то что модель Лонге---Хиггинса отличается простотой численного
+алгоритма и наглядностью, на практике она обладает рядом недостатков.
1. Модель рассчитана на представление стационарного гауссова поля. Это является
следствием центральной предельной теоремы (ЦПТ): сумма большого числа
гармоник со случайными амплитудами и фазами имеет нормальное распределение в
@@ -287,12 +286,12 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
3. Наконец, с инженерной точки зрения, модель обладает рядом особенностей,
которые не позволяют использовать ее в качестве фундамента для построения
более совершенных моделей.
- - В программной реализации скорость сходимости выражения
- ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] может быть низкой, т.к. фазы \(\epsilon_n\)
- имеют вероятностный характер.
- - Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов возможно при
- включении нелинейных членов в ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]], для которого не
- известна формула вычисления
+ - В программной реализации скорость сходимости
+ выражения\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] может быть низкой, т.к.\nbsp{}фазы
+ \(\epsilon_n\) имеют вероятностный характер.
+ - Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов затруднено,
+ поскольку требует включения нелинейных членов в
+ ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]], для которых не известна формула вычисления
коэффициентов\nbsp{}cite:rozhkov1990stochastic.
Таким образом, модель ЛХ применима для решения задачи генерации взволнованной
@@ -302,7 +301,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
**** Модель АРСС.
В\nbsp{}cite:spanos1982arma модель АРСС используется для генерации временного
-ряда, спектр которого совпадает с аппроксимацией Пирсона---Московица для
+ряда, спектр которого совпадает с аппроксимацией Пирсона---Московица (ПМ) для
спектров морского волнения. Авторы проводят эксперименты для одномерных моделей
АР, СС и АРСС. Они отмечают превосходное совпадение полученного и исходного
спектров и более высокую вычислительную эффективность модели АРСС по сравнению с
@@ -310,10 +309,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
фазами. Также отмечается, что для того чтобы спектр полученного временного ряда
совпадал с заданным, модели СС требуется меньшее количество коэффициентов, чем
модели АР. В\nbsp{}cite:spanos1996efficient автор обобщает формулы для
-нахождения коэффициентов модели АРСС для случая нескольких (векторов)
-переменных.
+нахождения коэффициентов модели АРСС для случая нескольких переменных
+(векторов).
-Отличие данной работы от вышеперечисленных отличается в исследовании трехмерной
+Отличие данной работы от вышеперечисленных состоит в исследовании трехмерной
модели АРСС (два пространственных и одно временное измерение), что во многом
является другой задачей.
1. Система уравнений Юла---Уокера, используемая для определения коэффициентов
@@ -338,10 +337,11 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
для управления преобразователем энергии волн (ПЭВ) в реальном времени. Для
эффективной работы ПЭВ необходимо чтобы частота встроенного осциллятора
совпадала с частотой морских волн. Авторы статьи представляют подъем волны как
-временной ряд и сравнивают эффективность модели АР, нейронных сеть и циклических
-моделей в прогнозировании будущих значения ряда. Модель АР дает наиболее точный
-прогноз для низкочастотных волн зыби вплоть до двух типовых периодов волн. Это
-пример успешного применения модели процесса АР для моделирования морских волн.
+временной ряд и сравнивают эффективность модели АР, нейронных сетей и
+циклических моделей в прогнозировании будущих значений ряда. Модель АР дает
+наиболее точный прогноз для низкочастотных волн зыби вплоть до двух типовых
+периодов волн. Это пример успешного применения процесса АР для моделирования
+морских волн.
** Основные формулы трехмерного процесса АРСС
Модель АРСС для морского волнения определяет взволнованную морскую поверхность
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -213,19 +213,19 @@ waves\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis,degtyarev2011modelling.
** Sea wave models analysis
Pressure computation is only possible when the shape of wavy surface is known.
It is defined either at discrete grid points, or continuously via some analytic
-formula. As will be shown in section [[#linearisation]], such formula may simplify
-pressure computation by effectively reducing the task to pressure field
+formula. As will be shown in section\nbsp{}[[#linearisation]], such formula may
+simplify pressure computation by effectively reducing the task to pressure field
generation, instead of wavy surface generation.
**** Longuet---Higgins model.
The simplest model, formula of which is derived in the framework of linear wave
-theory (see\nbsp{}section\nbsp{}[[#longuet-higgins-derivation]]), is
+theory (see\nbsp{}appendix\nbsp{}[[#longuet-higgins-derivation]]), is
Longuet---Higgins (LH) model\nbsp{}cite:longuet1957statistical. In-depth
comparative analysis of this model and ARMA model is done
in\nbsp{}cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
LH model represents sea wavy surface as a superposition of
-sine waves with random amplitudes \(c_n\) and phases \(\epsilon_n\), continuously
+sine waves with random amplitudes \(c_n\) and phases \(\epsilon_n\), uniformly
distributed on interval \([0,2\pi]\). Wavy surface elevation (\(z\) coordinate) is
defined by
#+name: eq-longuet-higgins
@@ -233,12 +233,12 @@ defined by
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
Here wave numbers \((u_n,v_n)\) are continuously distributed on plane \((u,v)\),
-i.e. area \(du \times dv\) contains infinite quantity of wave numbers. Frequency
-is related to wave numbers via dispersion relation \(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\).
-Function \(\zeta(x,y,t)\) is a three-dimensional ergodic stationary homogeneous
-Gaussian process defined by
+i.e.\nbsp{}area \(du\times{}dv\) contains infinite quantity of wave numbers.
+Frequency is related to wave numbers via dispersion relation
+\(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\). Function \(\zeta(x,y,t)\) is a three-dimensional
+ergodic stationary homogeneous Gaussian process defined by
\begin{equation*}
- 2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
+ 2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
\end{equation*}
where \(E_\zeta(u,v)\)\nbsp{}--- two-dimensional wave energy spectral density.
Coefficients \(c_n\) are derived from wave energy spectrum \(S(\omega)\) via
@@ -249,7 +249,6 @@ Coefficients \(c_n\) are derived from wave energy spectrum \(S(\omega)\) via
**** Disadvantages of Longuet-Higgins model.
Although LH model is simple and easy to understand, there are shortcomings that
appear in practice.
-
1. The model simulates only stationary Gaussian process. This is consequence of
central limit theorem (CLT): sum of large number of sines with random
amplitudes and phases has normal distribution, no matter what spectrum is
@@ -267,18 +266,19 @@ appear in practice.
simulations.
3. Finally, there are peculiarities which make LH model unsuitable base for
building more advanced simulation models.
- - In software implementation convergence rate of eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]]
+ - In software implementation convergence rate of \nbsp{}[[eq-longuet-higgins]]
may be low due to randomness of phases \(\epsilon_n\).
- It is difficult to generalise LH model for non-Gaussian processes as it
involves incorporating non-linear terms in eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] for
which there is no known formula to determine
coefficients\nbsp{}cite:rozhkov1990stochastic.
-To summarise, LH model is applicable to generating sea wavy surface in the
-framework of linear wave theory, inefficient for long-time simulations, and
-difficult to use as a base for more advanced models.
+To summarise, LH model is applicable to generating sea wavy surface only in the
+framework of linear wave theory, inefficient for long-time simulations, and has
+a number of deficiencies which do not allow to use it as a base for more
+advanced models.
-**** ARMA model
+**** ARMA model.
In\nbsp{}cite:spanos1982arma ARMA model is used to generate time series spectrum
of which is compatible with Pierson---Moskowitz (PM) approximation of sea wave
spectrum. The authors carry out experiments for one-dimensional AR, MA and ARMA
