commit f317eac32422190202d0c61e72191075a6c1d70c
parent 15e05a87fd28e97d81139276113f99d6fed6b26a
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 9 Jan 2017 13:44:30 +0300
Revise ACF methods.
Diffstat:
2 files changed, 48 insertions(+), 48 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -1137,38 +1137,38 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
** Форма АКФ для разных волновых профилей
*** Два метода для определения формы АКФ морских волн
**** Аналитический метод.
-Наиболее простой метод нахождения АКФ, соответствующей определенному волновому
-профилю, состоит в применении теоремы Винера---Хинчина. Согласно этой теореме
+Прямой способ нахождения АКФ, соответствующей заданному профилю морской волны,
+состоит в применении теоремы Винера---Хинчина. Согласно этой теореме
автокорреляционная функция $K$ функции $\zeta$ равна преобразованию Фурье от
-модуля этой функции в квадрате:
+квадрата модуля этой функции:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
\label{eq:wiener-khinchin}
\end{equation}
-Если заменить $\zeta$ на формулу для волнового профиля, это выражение даст
+Если заменить $\zeta$ на формулу для волнового профиля, то это выражение даст
аналитическую формулу для соответствующей АКФ.
Для трехмерного волнового профиля (два пространственных и одно временное
измерение) аналитическая формула представляет собой многочлен высокой степени, и
-ее лучше всего вычислять с помощью специализированного инженерного языка
-программирования. Затем, для практического применения она может быть
-аппроксимирована суперпозицией экспоненциально затухающих косинусов (именно так
-выглядит АКФ стационарного процесса АРСС cite:box1976time).
+ее лучше всего вычислять с помощью программы для символьных вычислений. Затем,
+для практического применения она может быть аппроксимирована суперпозицией
+экспоненциально затухающих косинусов (именно так выглядит АКФ стационарного
+процесса АРСС cite:box1976time).
**** Эмпирический метод.
Впрочем, для трехмерного случая существует более простой эмпирический метод
-нахождения формы АКФ, которые не требует сложного программного обеспечения.
-Известно, что АКФ, записанная в виде суперпозиции экспоненциально затухающих
-косинусов, представляющих волновые профили, является решением уравнения Стокса
-для гравитационных волн cite:boccotti1983wind. Значит, если в моделируемом
-морском волнении важна только форма волны, а не точные ее характеристики, то
-заданный волновой профиль можно просто домножить на затухающую экспоненту, чтобы
-получить АКФ. Эта АКФ не будет отражать параметры волн, такие как, например,
-высота и период, зато это открывает возможность моделировать волны определенных
-неаналитических форм, "рисуя" профиль волны, домножая его на экспоненту и
-используя результирующую функцию в качестве АКФ. Таким образом, эмпирический
-метод нахождения АКФ неточен, но более простой по сравнению с применением
-теоремы Винера---Хинчина; он, в основном, полезен для тестирования модели АРСС.
+нахождения формы АКФ, не требующий использования сложного программного
+обеспечения. Известно, что АКФ, представляющая собой суперпозицию
+экспоненциально затухающих косинусов, является решением уравнения Стокса для
+гравитационных волн cite:boccotti1983wind. Значит, если в моделируемом морском
+волнении важна только форма волны, а не точные ее характеристики, то заданный
+волновой профиль можно просто домножить на затухающую экспоненту, чтобы получить
+подходящую АКФ. Эта АКФ не отражает параметры волн, такие как высота и период,
+зато это открывает возможность моделировать волны определенных неаналитических
+форм, "рисуя" профиль волны, домножая его на экспоненту и используя
+результирующую функцию в качестве АКФ. Таким образом, эмпирический метод
+неточен, но более простой по сравнению с применением теоремы Винера---Хинчина;
+он, в основном, полезен для тестирования модели АРСС.
*** Примеры АКФ для различных волновых профилей
**** АКФ стоячей волны.
@@ -1190,8 +1190,8 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
\label{eq:decaying-standing-wave}
\end{equation}
Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения,
-получим многочлен высокой степени, который при помощи подходящего инженерного
-языка программирования можно аппроксимировать выражением
+получим многочлен высокой степени, который при помощи программы для символьных
+вычислений можно аппроксимировать выражением
\begin{equation}
K(t,x,y) =
\gamma
@@ -1233,10 +1233,10 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
*** Сравнение изученных методов
Подводя итоги, можно сказать, что применение аналитического метода нахождения
АКФ сводится к следующим шагам.
-- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm \infty$, домножив его
+- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm\infty$, домножив его
на затухающую экспоненту.
- Взять преобразование Фурье от квадрата модуля получившегося профиля,
- воспользовавшись инженерным языком программирования.
+ воспользовавшись программой для символьных вычислений.
- Аппроксимировать получившийся многочлен выражением для АКФ.
Два примера этого раздела показывают, что затухающие профили стоячих и
@@ -1244,7 +1244,7 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
что максимум АКФ должен быть перенесен в начало координат, чтобы сохранить
дисперсию моделируемого процесса. Применение эмпирического метода нахождения АКФ
сводится к следующим шагам.
-- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm \infty$, домножив его
+- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm\infty$, домножив его
на затухающую экспоненту.
- Перенести максимум получившегося выражения в начало координат, изменив фазу
или используя свойства тригонометрических функций для сдвига фазы.
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -1227,10 +1227,10 @@ Final solution is obtained after plugging $E(u,v)$ into eqref:eq:guessed-sol-3d.
** The shape of ACF for different types of waves
*** Two methods to find ocean waves ACF
**** Analytic method of finding the ACF.
-The simplest way to find auto-covariate function for a particular ocean wave
-profile is to apply Wiener---Khinchin theorem. According to this theorem the
-autocorrelation $K$ of a function $\zeta$ is given by the Fourier transform of
-the absolute square of the function:
+The straightforward way to find ACF for a given ocean wave profile is to apply
+Wiener---Khinchin theorem. According to this theorem the autocorrelation $K$ of
+a function $\zeta$ is given by the Fourier transform of the absolute square of
+the function:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
\label{eq:wiener-khinchin}
@@ -1238,25 +1238,25 @@ the absolute square of the function:
When $\zeta$ is replaced with actual wave profile, this formula gives you
analytic formula for the corresponding ACF.
-For three-dimensional wave profile (2D in space and 1D in time) analytic
-formula is a polynomial of high order and is best obtained via computer
-algebra software. Then for practical usage it can be approximated by
-superposition of exponentially decaying cosines (which is how ACF of a
-stationary ARMA process looks like cite:box1976time).
+For three-dimensional wave profile (2D in space and 1D in time) analytic formula
+is a polynomial of high order and is best obtained via symbolic computation
+programme. Then for practical usage it can be approximated by superposition of
+exponentially decaying cosines (which is how ACF of a stationary ARMA process
+looks like cite:box1976time).
**** Empirical method of finding the ACF.
However, for three-dimensional case there exists simpler empirical method which
does not require sophisticated software to determine shape of the ACF. It is
-known that ACF represented by exponentially decaying cosines of a wave profile
-satisfies first order Stokes' equations for gravity waves cite:boccotti1983wind.
-So, if the shape of the wave profile is the only concern, then one can simply
-multiply it by a decaying exponent to get appropriate ACF. This ACF will not
-reflect other wave profile parameters such as wave height and period, but opens
-possibility to simulate waves of a particular non-analytic shape by "drawing"
-their profile, then multiplying it by an exponent and using the resulting
-function as ACF. So, this empirical method is imprecise but offers simpler
-alternative to Wiener---Khinchin theorem; it is mainly useful to test ARMA
-model.
+known that ACF represented by exponentially decaying cosines satisfies first
+order Stokes' equations for gravity waves cite:boccotti1983wind. So, if the
+shape of the wave profile is the only concern in the simulation, then one can
+simply multiply it by a decaying exponent to get appropriate ACF. This ACF does
+not reflect other wave profile parameters, such as wave height and period, but
+opens possibility to simulate waves of a particular non-analytic shape by
+"drawing" their profile, then multiplying it by an exponent and using the
+resulting function as ACF. So, this empirical method is imprecise but offers
+simpler alternative to Wiener---Khinchin theorem approach; it is mainly useful
+to test ARMA model.
*** Examples of ACFs for various types of wave profiles
**** Standing wave.
@@ -1277,7 +1277,7 @@ profile then transforms to
\label{eq:decaying-standing-wave}
\end{equation}
Then, if one takes 3D Fourier transform of this formula via any capable
-computer algebra software, the resulting polynomial may be fitted to the
+symbolic computation programme, the resulting polynomial may be fitted to the
following ACF approximation.
\begin{equation}
K(t,x,y) =
@@ -1318,10 +1318,10 @@ a decaying exponent without need to adapt the maximum value of ACF.
*** Comparison of studied methods
To summarise, the analytic method of finding ocean wave's ACF reduces to the
following steps:
-- Make wave profile decay when approach $\pm \infty$ by multiplying it by
+- Make wave profile decay when approach $\pm\infty$ by multiplying it by
a decaying exponent.
- Take Fourier transform of absolute square of the decaying wave profile using
- computer algebra software.
+ symbolic computation programme.
- Fit the resulting polynomial to the appropriate ACF approximation.
Two examples in this section showed that in case of standing and propagating
@@ -1329,7 +1329,7 @@ waves their decaying profiles resemble the corresponding ACFs with the exception
that the origin should be moved to the function's maximal value for the ACF to
be useful in ARMA model simulations. So, using the empirical method the ACF is
found in the following steps:
-- Make wave profile decay when approach $\pm \infty$ by multiplying it by
+- Make wave profile decay when approach $\pm\infty$ by multiplying it by
a decaying exponent.
- Move maximum value to the origin by adjusting phases or using trigonometric
identities to shift the phase of the resulting function.
