commit e79e67c377d00bba8e67a7a4c4aa5f6a8bc6adf2
parent bf3e5c6863a434648bd6349a0f41595ddfb68a33
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 10 Nov 2017 16:47:02 +0300
Edit ARMA part.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 151 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------------------ |
| arma-thesis.org | | | 175 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------------------------- |
2 files changed, 173 insertions(+), 153 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -264,16 +264,16 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
\end{equation*}
-**** Основные недостатки модели Лонге---Хиггинса.
-Несмотря на то что модель Лонге---Хиггинса отличается простотой численного
-алгоритма и наглядностью, на практике она обладает рядом недостатков.
+**** Недостатки модели Лонге---Хиггинса.
+Несмотря на то что модель ЛХ отличается простотой численного алгоритма, на
+практике она обладает рядом недостатков.
1. Модель рассчитана на представление стационарного гауссова поля. Это является
следствием центральной предельной теоремы (ЦПТ): сумма большого числа
гармоник со случайными амплитудами и фазами имеет нормальное распределение в
независимости от спектра, подаваемого на вход модели. Использование меньшего
количества коэффициентов может решить проблему, но также уменьшит период
- реализации. Таким образом, использование модели ЛХ для генерации волн с
- негауссовым распределением аппликат (которое имеют реальные морские
+ реализации. Использование модели ЛХ для генерации волн с негауссовым
+ распределением аппликат (которое имеют реальные морские
волны\nbsp{}cite:huang1980experimental,rozhkov1996theory) не реализуемо на
практике.
2. С вычислительной точки зрения, недостатком модели является нелинейный рост
@@ -286,11 +286,11 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
которые не позволяют использовать ее в качестве фундамента для построения
более совершенных моделей.
- В программной реализации скорость сходимости
- выражения\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] может быть низкой, т.к.\nbsp{}фазы
- \(\epsilon_n\) имеют вероятностный характер.
+ выражения\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] низка, т.к.\nbsp{}фазы \(\epsilon_n\)
+ имеют распределены равномерно.
- Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов затруднено,
- поскольку требует включения нелинейных членов в
- ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]], для которых не известна формула вычисления
+ поскольку требует включения нелинейных членов в\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]],
+ для которых не известна формула вычисления
коэффициентов\nbsp{}cite:rozhkov1990stochastic.
Таким образом, модель ЛХ применима для решения задачи генерации взволнованной
@@ -327,14 +327,14 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
др.).
Многомерность исследуемой модели не только усложняет задачу, но и позволяет
провести визуальную проверку генерируемой взволнованной поверхности. Именно
-возможность визуализировать результат работы программы позволила удостовериться,
+возможность визуализировать результат работы программы позволяет удостовериться,
что генерируемая поверхность действительно похожа на реальное морское волнение,
а не является абстрактным многомерным случайным процессом, совпадающим с
реальным лишь статистически.
В\nbsp{}cite:fusco2010short модель АР используется для прогнозирования волн зыби
для управления преобразователем энергии волн (ПЭВ) в реальном времени. Для
-эффективной работы ПЭВ необходимо чтобы частота встроенного осциллятора
+эффективной работы ПЭВ необходимо, чтобы частота встроенного осциллятора
совпадала с частотой морских волн. Авторы статьи представляют подъем волны как
временной ряд и сравнивают эффективность модели АР, нейронных сетей и
циклических моделей в прогнозировании будущих значений ряда. Модель АР дает
@@ -392,9 +392,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\label{eq-ar-process}
\end{equation}
Коэффициенты авторегрессии \(\Phi\) определяются из многомерных уравнений
-Юла---Уокера, получаемых после домножения на \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) обеих
-частей уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения
-Юла---Уокера записываются как
+Юла---Уокера (ЮУ), получаемых после домножения на \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\)
+обеих частей уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения
+ЮУ записываются как
\begin{equation}
\label{eq-yule-walker}
\gamma_{\vec k}
@@ -412,8 +412,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\end{cases}
\end{equation}
где \(\gamma\)\nbsp{}--- АКФ процесса \(\zeta\), \(\Var{\epsilon}\)\nbsp{}---
-дисперсия белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений
-Юла---Уокера, используемой в данной работе, имеет следующий вид.
+дисперсия белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений ЮУ,
+используемой в данной работе, имеет следующий вид.
\begin{equation*}
\Gamma
\left[
@@ -529,11 +529,11 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
количество коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на
генерацию взволнованной поверхности.
-**** Стационарность и обратимость процессов АР и СС
+**** Стационарность и обратимость процессов АР и СС.
Для того чтобы моделируемая взволнованная поверхность представляла собой
физическое явление, соответствующий процесс должен быть стационарным и
-обратимым. Если процесс обратим, то существует разумная связь текущих событий с
-событиями в прошлом, и, если процесс стационарен, то амплитуда моделируемого
+обратимым. Если процесс /обратим/, то существует разумная связь текущих событий
+с событиями в прошлом, и, если процесс /стационарен/, то амплитуда моделируемого
физического сигнала не увеличивается бесконечно в пространстве и времени.
Процесс АР всегда обратим, а для стационарности необходимо, чтобы корни
@@ -556,6 +556,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
лежали \emph{вне} единичного круга. Здесь \(\vec{M}\)\nbsp{}--- порядок процесса
СС, а \(\Theta\)\nbsp{}--- коэффициенты.
+Свойства стационарности и обратимости являются основными критериями при выборе
+процесса для моделирования разных профилей волн, которые обсуждаются в
+разделе\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
+
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec-how-to-mix-arma
@@ -571,14 +575,14 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
измерений, не подходит в данной ситуации, поскольку в трех измерениях
невозможно таким образом разделить АКФ: всегда останутся части, которые не
будут учтены ни в процессе АР, ни в процессе СС.
-- Альтернативный подход состоит в использование одной и той же (неразделенной)
- АКФ для обоих процессов разных порядков, однако, тогда характеристики
- реализации (математической ожидание, дисперсия и др.) будут смещены: они
- станут характеристиками двух наложенных друг на друга процессов.
+- Альтернативный подход состоит в использовании одной и той же (неразделенной)
+ АКФ для процессов АР и СС процессов разных порядков, однако, тогда
+ характеристики реализации (математической ожидание, дисперсия и др.) будут
+ смещены: они станут характеристиками двух наложенных друг на друга процессов.
Для первого подхода авторами\nbsp{}cite:box1976time предложена формула
корректировки коэффициентов процесса АР, для второго же подхода такой формулы
-нет. Таким образом, лучшим решением на данный момент является использование
-процессов АР и СС по отдельности.
+нет. Таким образом, единственным проверенным решением на данный момент является
+использование процессов АР и СС по отдельности.
**** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн.
:PROPERTIES:
@@ -624,9 +628,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
Суммируя вышесказанное, наиболее разработанным сценарием применения модели АРСС
для генерации взволнованной морской поверхности является использование процесса
-АР для стоячих волн и процесса СС для прогрессивных волн. Смешанный процесс АРСС
-может сделать модель более точной при условии наличия соответствующих формул
-пересчета коэффициентов, что является целью дальнейших исследований.
+АР для стоячих волн и процесса СС для прогрессивных волн. Использование
+смешанного процесса АРСС для обоих типов волн может сделать модель более точной
+при условии наличия соответствующих формул корректировки коэффициентов, что
+является целью дальнейших исследований.
** Известные формулы определения поля давлений
**** Теория волн малых амплитуд.
@@ -650,7 +655,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
где \(\alpha\)\nbsp{}--- уклоны волн. В трехмерном случае решение записывается в
-виде эллиптического дифференциального уравнения в частных производных
+виде эллиптического дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП):
\begin{align*}
& \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \left( 1 + \alpha_x^2 \right) +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \left( 1 + \alpha_y^2 \right) +
@@ -702,36 +707,39 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
некоторой функции (которая может содержать преобразования Фурье от других
функций). Поскольку эти преобразования не всегда можно записать аналитически, то
вместо этого ищутся частные решения задачи и анализируется их поведение в
-различных областях. В то же время, вычисление дискретных преобразований Фурье на
-компьютере возможно для любой дискретно заданной функции и эффективно при
-использовании алгоритмов БПФ. Эти алгоритмы используют симметрию комплексных
-экспонент для понижения асимптотической сложности с \(\mathcal{O}(n^2)\) до
-\(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). Таким образом, даже если общее решение содержит
-преобразования Фурье от неизвестных функций, они все равно могут быть взяты
-численно, а использование алгоритмов БПФ делает этот подход эффективным.
+различных областях. В то же время, численный расчет дискретных преобразований
+Фурье возможен для любой дискретно заданной функции, используя алгоритмы БПФ.
+Эти алгоритмы используют симметрию комплексных экспонент для понижения
+асимптотической сложности с \(\mathcal{O}(n^2)\) до \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\).
+Таким образом, даже если общее решение содержит преобразования Фурье от
+неизвестных функций, они все равно могут быть взяты численно, а использование
+алгоритмов БПФ делает этот подход эффективным.
Альтернативным подходом к решению ДУЧП является их сведение к разностным
уравнениям, решаемым с помощью построения различных численных схем. При этом
решение получается приближенным, а асимптотическая сложность соответствующих
-алгоритмов сопоставима со сложностью алгоритма БПФ. Например, стационарное
-эллиптическое уравнение в частных производных преобразуется в неявную разностную
-схему, решаемую итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение
-трехдиагональной или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки. Асимптотическая
-сложность алгоритма составляет \(\mathcal{O}({n}{m})\), где \(n\)\nbsp{}---
-количество точек на сетке взволнованной поверхности, \(m\)\nbsp{}--- число
-итераций. Несмотря на широкое распространение, итеративные алгоритмы
-неэффективно отображаются на архитектуру параллельных машин; в частности,
-отображение на сопроцессоры может включать в себя копирование данных на
-сопроцессор и обратно на каждой итерации, что отрицательно сказывается на их
-производительности. В то же время, наличие большого количества преобразований
-Фурье в решении является скорее преимуществом, чем недостатком. Во-первых,
-решения, полученные с помощью метода Фурье, явные, а значит хорошо
-масштабируются на большое количество параллельно работающих вычислительных ядер
-с использованием простейших приемов параллельного программирования. Во-вторых,
-для алгоритмов БПФ существуют готовые оптимизированные реализация для различных
-архитектур процессоров и сопроцессоров (GPU, MIC). Эти преимущества обусловили
-выбор метода Фурье в качестве рабочего для получения явного решения задачи
-определения давлений под взволнованной морской поверхностью.
+алгоритмов сопоставима со сложностью алгоритма БПФ. Например, для стационарного
+эллиптического уравнения в частных производных строится неявная численная схема;
+эта схема расчитывается итерационным методом, на каждом шаге которого ищется
+решение трехдиагональной или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки.
+Асимптотическая сложность алгоритма составляет \(\mathcal{O}({n}{m})\), где
+\(n\)\nbsp{}--- количество точек на сетке взволнованной поверхности, а
+\(m\)\nbsp{}--- число итераций.
+
+Несмотря на широкое распространение, итеративные алгоритмы неэффективно
+отображаются на архитектуру параллельных машин ввиду неизбежной синхронизации
+процессов после каждой итерации; в частности, отображение на сопроцессоры может
+включать в себя копирование данных на сопроцессор и обратно на каждой итерации,
+что отрицательно сказывается на их производительности. В то же время, наличие
+большого количества преобразований Фурье в решении является скорее
+преимуществом, чем недостатком. Во-первых, решения, полученные с помощью метода
+Фурье, явные, а значит хорошо масштабируются на большое количество параллельно
+работающих вычислительных ядер с использованием простейших приемов параллельного
+программирования. Во-вторых, для алгоритмов БПФ существуют готовые
+оптимизированные реализации для различных архитектур процессоров и сопроцессоров
+(GPU, MIC). Эти преимущества обусловливают использование метода Фурье для
+получения явного решения задачи определения давлений под взволнованной морской
+поверхностью.
*** Двухмерное поле скоростей
:PROPERTIES:
@@ -825,8 +833,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
Множитель \(e^{2\pi u z}/(2\pi u)\) делает график функции, от которой берется
обратное преобразования Фурье, несимметричным относительно оси \(OY\). Это
-затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на
-концах промежутка принимает нулевое значение. В то же время, использование
+затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию,
+принимающую нулевые значения на концах промежутка. В то же время, использование
численного интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над
решением всей системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно
обойти, используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной
@@ -954,8 +962,8 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
для жидкости бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости
с использованием метода Фурье, т.к.\nbsp{}не обладает необходимой для
преобразования Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать
-формулу для конечной глубины, полагая \(h\) равным характерному значению глубины
-исследуемого водоема. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории
+формулу для конечной глубины, полагая \(h\) равным некоторому характерному
+значению глубины. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории
происходит с аналогичными предположениями.
*** Трехмерное поле скоростей
@@ -1018,11 +1026,11 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
поддерживающих это предположение. Во-первых, в численной реализации
интегрирование ведется по положительным волновым числам, так что знак \(u\) и
\(v\) не влияет на решение. Во-вторых, скорость роста \(\cosh\) в ядре интеграла
-значительно больше, чем скорость роста \(u\) или \(\Kveclen\), так что замена
+значительно выше, чем скорость роста \(u\) или \(\Kveclen\), так что замена
слабо влияет на величину решения. Несмотря на эти два момента, использование
более математически строго подхода было бы предпочтительнее.
-Выполняя замену, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства и
+Выполняя замену, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, и,
подставляя результат в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d, получаем выражение для
\(\phi\):
\begin{equation*}
@@ -1036,17 +1044,22 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
где
\(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
+*** Заключение
+Полученные в данном разделе формулы позволяют произвести численный расчет поля
+скоростей (а значит и поля давлений) вблизи дискретно или математически заданной
+взволнованной морской поверхности, минуя предположения линейной теории и теории
+волн малых амплитуд.
+
** Моделирование нелинейности морских волн
Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
т.е.\nbsp{}генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых
имеет ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для
-реальных морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
-
-Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
-преобразования (НБП) случайного процесса, однако, любое нелинейное
-преобразование случайного процесса приводит к преобразованию его АКФ. Для того
-чтобы подавить этот эффект, необходимо предварительно преобразовать АКФ, как
-показано в\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
+реальных морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear. Асимметричность волн
+моделируется с помощью нелинейного безынерционного преобразования (НБП)
+случайного процесса, однако, любое нелинейное преобразование случайного процесса
+приводит к преобразованию его АКФ. Для того чтобы подавить этот эффект,
+необходимо предварительно преобразовать АКФ, как показано
+в\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
**** Преобразование взволнованной поверхности.
Формула \(z=f(y)\) преобразования взволнованной поверхности к необходимому
@@ -2485,7 +2498,7 @@ IP-адрес, передавая, сколько узлов уже связан
перед вложенным вызовом процедуры, а метод ~react~\nbsp{}--- это
последовательность инструкций после вложенного вызова. Создание и отправка на
конвейер подчиненного объекта\nbsp{}--- это вложенный вызов процедуры. Наличие
-двух методов обуславливается асинхронностью вложенных вызовов и помогает
+двух методов обусловливается асинхронностью вложенных вызовов и помогает
заменить активное ожидание завершения подчиненных объектов пассивным при помощи
конвейеров. Конвейеры, в свою очередь, позволяют реализовать пассивное ожидание
и вызывают правильные методы, анализируя внутреннее состояние объектов.
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -245,29 +245,28 @@ Coefficients \(c_n\) are derived from wave energy spectrum \(S(\omega)\) via
\end{equation*}
**** Disadvantages of Longuet-Higgins model.
-Although LH model is simple and easy to understand, there are shortcomings that
-appear in practice.
-1. The model simulates only stationary Gaussian process. This is consequence of
+Despite simplicity of LH model numerical algorithm, in practice it has several
+disadvantages.
+1. The model simulates only stationary Gaussian field. This is a consequence of
central limit theorem (CLT): sum of large number of sines with random
amplitudes and phases has normal distribution, no matter what spectrum is
used as the model input. Using lower number of coefficients may solve the
- problem, but also make realisation period smaller. So, using LH model to
- simulate waves with non-Gaussian distribution of elevation\nbsp{}--- a
- distribution which real sea waves
- have\nbsp{}cite:huang1980experimental,rozhkov1996theory \nbsp{}--- is
- impractical.
+ problem, but also make realisation period smaller. Using LH model to simulate
+ waves with non-Gaussian distribution of elevation\nbsp{}--- a distribution
+ which real sea waves have\nbsp{}cite:huang1980experimental,rozhkov1996theory
+ \nbsp{}--- is impractical.
2. From computational point of view, the deficiency of the model is non-linear
increase of wavy surface generation time with the increase of realisation
size. The larger the size of the realisation, the higher number of
coefficients (discrete points of frequency-directional spectrum) is needed to
eliminate periodicity. This makes LH model inefficient for long-time
simulations.
-3. Finally, there are peculiarities which make LH model unsuitable base for
+3. Finally, there are peculiarities which make LH model unsuitable as a base for
building more advanced simulation models.
- - In software implementation convergence rate of \nbsp{}[[eq-longuet-higgins]]
- may be low due to randomness of phases \(\epsilon_n\).
+ - In software implementation convergence rate of\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] is
+ low due to uniform distribution of phases \(\epsilon_n\).
- It is difficult to generalise LH model for non-Gaussian processes as it
- involves incorporating non-linear terms in eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] for
+ involves incorporating non-linear terms in\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] for
which there is no known formula to determine
coefficients\nbsp{}cite:rozhkov1990stochastic.
@@ -278,7 +277,7 @@ advanced models.
**** ARMA model.
In\nbsp{}cite:spanos1982arma ARMA model is used to generate time series spectrum
-of which is compatible with Pierson---Moskowitz (PM) approximation of sea wave
+which is compatible with Pierson---Moskowitz (PM) approximation of sea wave
spectrum. The authors carry out experiments for one-dimensional AR, MA and ARMA
models. They mention excellent agreement between target and initial spectra and
higher performance of ARMA model compared to models based on summing large
@@ -303,9 +302,10 @@ is mostly a different problem.
of generated waves (lengths, heights, periods etc.).
Multi-dimensionality of investigated model not only complexifies the task, but
also allows to carry out visual validation of generated wavy surface. It is the
-opportunity to visualise output of the programme that allowed to ensure that
+opportunity to visualise output of the programme that allows to ensure that
generated surface is compatible with real sea surface, and is not abstract
-multi-dimensional stochastic process that is real only statistically.
+multi-dimensional stochastic process that corresponds to the real one only
+statistically.
In\nbsp{}cite:fusco2010short AR model is used to predict swell waves to control
wave-energy converters (WEC) in real-time. In order to make WEC more efficient
@@ -363,9 +363,9 @@ weighted sum:
\label{eq-ar-process}
\end{equation}
The coefficients \(\Phi\) are calculated from ACF via three-dimensional
-Yule---Walker equations, which are obtained after multiplying both parts of the
-previous equation by \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) and computing the expected value.
-Generic form of YW equations is
+Yule---Walker (YW) equations, which are obtained after multiplying both parts of
+the previous equation by \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) and computing the expected
+value. Generic form of YW equations is
\begin{equation}
\label{eq-yule-walker}
\gamma_{\vec k}
@@ -499,11 +499,11 @@ generalise the method for three dimensions. Using slower method does not have
dramatic effect on the overall programme performance, because the number of
coefficients is small and most of the time is spent generating wavy surface.
-**** Stationarity and invertibility of AR and MA processes
+**** Stationarity and invertibility of AR and MA processes.
In order for modelled wavy surface to represent physical phenomena, the
corresponding process must be stationary and invertible. If the process is
-invertible, then there is a reasonable connection of current events with the
-events in the past, and if the process is stationary, the modelled physical
+/invertible/, then there is a reasonable connection of current events with the
+events in the past, and if the process is /stationary/, the modelled physical
signal amplitude does not increase infinitely in time and space.
AR process is always invertible, and for stationarity it is necessary for roots
@@ -547,9 +547,10 @@ are several approaches to "mix" AR and MA processes.
processes but use different process order, however, then realisation
characteristics (mean, variance etc.) become skewed: these are characteristics
of the two overlapped processes.
-For the first approach there is a formula to re-compute ACF for AR process, but
-there is no such formula for the second approach. So, the best solution for now
-is to simply use AR and MA process exclusively.
+For the first approach the authors of\nbsp{}cite:box1976time propose a formula
+to correct AR process coefficients, but there is no such formula for the second
+approach. So, the only proven solution for now is to simply use AR and MA
+process exclusively.
**** Process selection criteria for different wave profiles.
:PROPERTIES:
@@ -592,9 +593,9 @@ left to MA process.
To summarise, the only established scenario of applying ARMA model to sea wave
generation is to use AR process for standing waves and MA process for
-propagating waves. With new formulae for three dimensions a single mixed ARMA
-process might increase model precision, which is one of the objectives of the
-future research.
+propagating waves. Using mixed ARMA process for both types of waves might
+increase model precision, given that coefficient correction formulae for three
+dimensions become available, which is the objective of the future research.
** Known pressure field determination formulae
**** Small amplitude waves theory.
@@ -617,8 +618,8 @@ explicitly as
z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq-old-sol-2d}\\
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
-where \(\alpha\) is wave slope. In three-dimensional case solution is written in
-the form of elliptic partial differential equation (PDE):
+where \(\alpha\) is wave slope. In three-dimensional case the solution is
+written in the form of elliptic partial differential equation (PDE):
\begin{align*}
& \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \left( 1 + \alpha_x^2 \right) +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \left( 1 + \alpha_y^2 \right) +
@@ -639,10 +640,10 @@ the form of elliptic partial differential equation (PDE):
The authors suggest transforming this equation to finite differences and solve
it numerically.
-As will be shown in [[#sec-compare-formulae]] that\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d
-diverges when attempted to calculate velocity field for large-amplitude waves,
-and this is the reason that it can not be used in conjunction with a model, that
-generates arbitrary-amplitude waves.
+As will be shown in section\nbsp{}[[#sec-compare-formulae]],
+formula\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d diverges when attempted to calculate velocity
+field for large-amplitude waves, and this is the reason that it can not be used
+in conjunction with a model, that generates arbitrary-amplitude waves.
**** Linearisation of boundary condition.
:PROPERTIES:
@@ -667,32 +668,33 @@ functions. Fourier method is one of the methods to find analytic solutions to
PDE. It is based on Fourier transform, applying of which to some PDEs reduces
them to algebraic equations, and the solution is written as inverse Fourier
transform of some function (which may contain Fourier transforms of other
-functions). Since, it is not possible to write analytic forms of these Fourier
+functions). Since it is not possible to write analytic forms of these Fourier
transforms in some cases, unique solutions are found and their behaviour is
studied in different domains instead. At the same time, computing discrete
-Fourier transforms on the computer is possible for any discretely defined
-function and efficient when using FFT algorithms. These algorithms use symmetry
-of complex exponentials to decrease asymptotic complexity from
-\(\mathcal{O}(n^2)\) to \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). So, even if general
-solution contains Fourier transforms of unknown functions, they still can be
-computed numerically, and FFT family of algorithms makes this approach
-efficient.
-
-Alternative approach to solve PDE is to reduce it to difference equations, which
-are solved by constructing various numerical schemes. This approach leads to
-approximate solution, and asymptotic complexity of corresponding algorithms is
-comparable to that of FFT. For example, stationary elliptic PDE transforms to
-implicit numerical scheme which is solved by iterative method on each step of
-which a tridiagonal or five-diagonal system of algebraic equations is solved by
-Thomas algorithm. Asymptotic complexity of this approach is
-\(\mathcal{O}({n}{m})\), where \(n\)\nbsp{}--- number of wavy surface grid
-points, \(m\)\nbsp{}--- number of iterations. Despite their wide spread,
-iterative algorithms are inefficient on parallel computer architectures; in
-particular, their mapping to co-processors may involve copying data in and out
-of the co-processor in each iteration, which negatively affects their
-performance. At the same time, high number of Fourier transforms in the solution
-is an advantage, rather than a disadvantage. First, solutions obtained by
-Fourier method are explicit, hence their implementations scales with the large
+Fourier transforms numerically is possible for any discretely defined function
+using FFT algorithms. These algorithms use symmetry of complex exponentials to
+decrease asymptotic complexity from \(\mathcal{O}(n^2)\) to
+\(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). So, even if general solution contains Fourier
+transforms of unknown functions, they still can be computed numerically, and FFT
+family of algorithms makes this approach efficient.
+
+Alternative approach to solve PDEs is to reduce them to difference equations,
+which are solved by constructing various numerical schemes. This approach leads
+to approximate solution, and asymptotic complexity of corresponding algorithms
+is comparable to that of FFT. For example, for stationary elliptic PDE an
+implicit numerical scheme is constructed; the scheme is computed by iterative
+method on each step of which a tridiagonal or five-diagonal system of algebraic
+equations is solved by Thomas algorithm. Asymptotic complexity of this approach
+is \(\mathcal{O}({n}{m})\), where \(n\) is the number of wavy surface grid
+points and \(m\) is the number of iterations.
+
+Despite their wide spread, iterative algorithms are inefficient on parallel
+computer architectures due to inevitable process synchronisation after each
+iteration; in particular, their mapping to co-processors may involve copying
+data in and out of the co-processor on each iteration, which negatively affects
+their performance. At the same time, high number of Fourier transforms in the
+solution is an advantage, rather than a disadvantage. First, solutions obtained
+by Fourier method are explicit, hence their implementations scale with the large
number of parallel computer cores. Second, there are implementations of FFT
optimised for different processor architectures as well as co-processors (GPU,
MIC) which makes it easy to get high performance on any computing platform.
@@ -717,8 +719,8 @@ sides of the equation yields
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
\FourierY{\phi(x,z)}{u,v} = 0,
\end{equation*}
-hence \(v = \pm i u\). Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier
-transform:
+hence \(v = \pm i u\). Hereinafter we use the following symmetric form of
+Fourier transform:
\begin{equation*}
\FourierY{f(x,y)}{u,v} =
\iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
@@ -787,11 +789,11 @@ into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
\end{equation}
Multiplier \(e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})\) makes graph of a function to which
-Fourier transform of which is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis.
-This makes it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought
-on both ends of the interval. At the same time, using numerical integration
-instead of FFT is not faster than solving the initial system of equations with
-numerical schemes. This problem is alleviated by using
+Fourier transform is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis. This makes
+it difficult to use FFT, because it expects periodic function which takes nought
+values on both ends of the interval. At the same time, using numerical
+integration instead of FFT is not faster than solving the initial system of
+equations with numerical schemes. This problem is alleviated by using
formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full for finite depth fluid with knowingly
large depth \(h\). This formula is derived in the following section.
@@ -814,7 +816,7 @@ Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom yields
C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
\end{equation*}
hence \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) and
-\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Constant \(C\) may take arbitrary value
+\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Constant \(C\) may take arbitrary values
here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients \(E(u)\).
Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\)
into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d-full yields
@@ -845,11 +847,11 @@ previous section transformations yields final formula for \(\phi(x,z)\):
}
\label{eq-solution-2d-full}
\end{equation}
-where \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in
+where \(\FunSecond{z}\) is a function, a form of which is defined in
section\nbsp{}[[#sec-compute-delta]] and which satisfies equation
\(\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}\).
-**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
+**** Reduction to the formulae from linear wave theory.
Check the validity of derived formulae by substituting \(\zeta(x,t)\) with known
analytic formula for plain waves. Symbolic computation of Fourier transforms in
this section were performed in Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. In the
@@ -874,7 +876,7 @@ Propagating wave profile is defined as \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\).
Plugging this formula into\nbsp{}eqref:eq-solution-2d yields
\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). In order to
reduce it to the formula from linear wave theory, rewrite hyperbolic sine in
-exponential form, discard the term containing \(e^{-2\pi{k}{z}}\) as
+exponential form and discard the term containing \(e^{-2\pi{k}{z}}\) as
contradicting condition
\(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\). Taking real part of
the resulting formula yields
@@ -910,14 +912,13 @@ depth difference near free surface is negligible). So, for sufficiently large
depth any function (\(\cosh\) or \(\sinh\)) may be used for velocity potential
computation near free surface.
-Reducing\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full to the
+Reducing\nbsp{}eqref:eq-solution-2d and\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full to the
known formulae from linear wave theory shows, that formula for infinite
depth\nbsp{}eqref:eq-solution-2d is not suitable to compute velocity potentials
with Fourier method, because it does not have symmetry, which is required for
Fourier transform. However, formula for finite depth can be used instead by
setting \(h\) to some characteristic water depth. For standing wave reducing to
linear wave theory formulae is made under the same assumptions.
-
*** Three-dimensional velocity field
Three-dimensional version of\nbsp{}eqref:eq-problem is written as
\begin{align}
@@ -975,7 +976,7 @@ transforms in the equation have radially symmetric kernels, i.e.\nbsp{}replace
\(u\) and \(v\) with \(\Kveclen\). There are two points supporting this
assumption. First, in numerical implementation integration is done over positive
wave numbers, so the sign of \(u\) and \(v\) does not affect the solution.
-Second, the rate growth of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher
+Second, the growth rate of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher
than the one of \(u\) or \(\Kveclen\), so the substitution has small effect on
the magnitude of the solution. Despite these two points, a use of more
mathematically rigorous approach would be preferable.
@@ -991,27 +992,33 @@ and plugging the result into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for
{ \FourierY{\mathcal{D}_3\left( x,y,\zeta\left(x,y\right) \right)}{u,v} }
}{x,y},
\end{equation}
-where \(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
+where
+\(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
+
+*** Conclusion
+Formulae derived in this section allow to numerically compute velocity potential
+field (and hence pressure field) near discretely or mathematically given wavy
+sea surface, bypassing assumptions of linear wavy theory and theory of small
+amplitude waves.
** Modelling non-linearity of sea waves
ARMA model allows to model asymmetry of wave elevation distribution,
i.e.\nbsp{}generate sea waves, distribution of \(z\)-coordinate of which has
non-nought kurtosis and asymmetry. Such distribution is inherent to real sea
-waves\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
-
-Wave asymmetry is modelled by non-linear inertia-less transform (NIT) of
-stochastic process, however, transforming resulting wavy surface means
-transforming initial ACF. In order to alleviate this, ACF must be preliminary
-transformed as shown in\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
+waves\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear. Wave asymmetry is modelled by non-linear
+inertia-less transform (NIT) of stochastic process, however, transforming
+resulting wavy surface means transforming initial ACF. In order to alleviate
+this, ACF must be preliminary transformed as shown
+in\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
**** Wavy surface transformation.
Explicit formula \(z=f(y)\) that transforms wavy surface to desired
one-dimensional distribution \(F(z)\) is the solution of non-linear
transcendental equation \(F(z)=\Phi(y)\), where \(\Phi(y)\)\nbsp{}---
one-dimensional Gaussian distribution. Since distribution of wave elevation is
-often given by some approximation based on field data, this equation is solved
-numerically with respect to \(z_k\) in each grid point \(y_k|_{k=0}^N\) of
-generated wavy surface. In this case equation is rewritten as
+often given by some approximation based on /in situ/ data, this equation is
+solved numerically with respect to \(z_k\) in each grid point \(y_k|_{k=0}^N\)
+of generated wavy surface. In this case equation is rewritten as
\begin{equation}
\label{eq-distribution-transformation}
F(z_k)
@@ -1063,9 +1070,9 @@ fields become equal with desired accuracy \(\epsilon\):
In\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis the author suggests using polynomial
approximation \(f(y)\) also for wavy surface transformation, however, in
-practice sea surface realisation often contains points, where \(z\)-coordinate
-is beyond the limits of the approximation, which makes solution invalid. In
-these points it is more efficient to solve
+practice sea surface realisation often contains points, in which
+\(z\)-coordinate is beyond the limits of the approximation, leading to sharp
+precision decrease. In these points it is more efficient to solve
equation\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation by bisection method. Using
the same approximation in Gram---Charlier series does not lead to such errors.
