commit e4d1fcc400df4d6f98a9f1c765128b77034c50f3
parent abca224860e991695e87a490cff8724411c02bf9
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Thu, 3 Nov 2016 09:25:30 +0300
Copy velocity field normalisation section.
Diffstat:
1 file changed, 32 insertions(+), 0 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -567,10 +567,42 @@ $2^{19937}-1$. Если предположить, что взволнованн
накладывается на интервал разгона в начале части $N+1$, и значения в
соответсвтующих точках складываются.
+*** Формулы нормировки для потенциалов скоростей
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
+:END:
+В решениях двухмерной задачи~\eqref{eq:solution-2d} и eqref:eq:solution-2d-full
+присутствуют функции $\Fun{z}=\InverseFourier{e^{2\pi u z}}(x)$ и
+$\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут быть
+представлены аналитически различными выражениями, представляющими сложность для
+вычислений на компьютере. Каждая из функций является преобразованием Фурье от
+линейной комбинации экспонент, которое для таких функций определено неоднозначно
+(см.~\ref{tab:delta-functions}). Для получения однозначного аналитического
+выражения можно воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2 \pi u h}$, которая также
+должна быть включена в выражение для коэффициентов $E(u)$. Численные
+эксперименты показали, что нормировка хоть и позволяет получить решение с
+адекватными величинами потенциалов скорости, но оно мало отличается от выражений
+из линейной теории волн, в которых члены с $\zeta$ опускаются.
+
+#+name: tab:delta-functions
+#+caption: Формулы вычисления функций $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из~\cref{sec:pressure-2d}, использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
+| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
+|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
+| $\Fun{z}$ | $\delta (x+i z)$ | $\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)$ |
+| $\FunSecond{z}$ | $\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]$ | $\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]$ |
+
** Верификация модели АРСС
*** Методика постановки численных экспериментов
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
*** Верификация полей потенциалов скоростей
+Сравнение полученных общих формул~\eqref{eq:solution-2d} и
+eqref:eq:solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
+оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и малых
+амплитуд. В общем случае получить аналитическое выражение даже для плоских волн
+не представляется возможным, поэтому сравнение производится численно. Имея ввиду
+выводы предыдущего раздела, сравниваются только формулы для случая конечной
+глубины.
+
**** Отличие от формул линейной теории.
**** Отличие от формул теории волн малой амплитуды.
*** TODO Нефизическая природа модели
