commit cf2d383b3533c4d68a5c199ff76b17831a319a43
parent 6d6e59ec8408d1c74036ee2e2c8c1587fba702c3
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 7 Nov 2017 16:39:30 +0300
Edit nonlinear and pressures sections.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 95 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------------------------- |
| arma-thesis.org | | | 107 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------------------------- |
2 files changed, 104 insertions(+), 98 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -671,25 +671,26 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\end{align*}
Уравнение предполагается решать численно путем сведения к разностному.
-Как будет показано в [[#sec:compare-formulae]] формула\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d
-расходится при попытке вычислить поле скоростей для волн больших амплитуд, а
-значит не может быть использована вместе с моделью ветрового волнения,
-генерирующей волны произвольных амплитуд.
+Как будет показано в разд.\nbsp{}[[#sec:compare-formulae]]
+формула\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d расходится при попытке вычислить поле
+скоростей для волн больших амплитуд, а значит не может быть использована
+совместно с моделью морского волнения, генерирующей волны произвольных амплитуд.
**** Линеаризация граничного условия.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: linearisation
:END:
-Модель Лонге---Хиггинса позволяет вывести явную формулу для поля
-скоростей путем линеаризации кинематического граничного условия. Формула для
-потенциала скорости запишется как
+
+Модель ЛХ позволяет вывести явную формулу для поля скоростей путем линеаризации
+кинематического граничного условия. Формула для потенциала скорости запишется
+как
\begin{equation*}
\phi(x,y,z,t) = \sum_n \frac{c_n g}{\omega_n}
e^{\sqrt{u_n^2+v_n^2} z}
\sin(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation*}
-Формула дифференцируется для получения производных потенциала, а полученные
-значения подставляются в динамическое граничное условие для вычисления давлений.
+Формула дифференцируется для получения производных потенциала, которые
+подставляются в динамическое граничное условие для определения поля давлений.
** Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью
Аналитические решения граничных задач для классических уравнений часто
@@ -697,7 +698,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
исследований запись формулы общего решения неудобна ввиду своей сложности и
наличия интегралов от неизвестных функций. Одним из методов нахождения
аналитических решений ДУЧП является метод Фурье. Основой метода служит
-преобразование Фурье, применение которого к любому ДУЧП позволяет свести его к
+преобразование Фурье, применение которого к некоторым ДУЧП позволяет свести их к
алгебраическому, а его решение записывается как обратное преобразование Фурье от
некоторой функции (которая может содержать преобразования Фурье от других
функций). Поскольку эти преобразования не всегда можно записать аналитически, то
@@ -710,13 +711,13 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
преобразования Фурье от неизвестных функций, они все равно могут быть взяты
численно, а использование алгоритмов БПФ делает этот подход эффективным.
-Альтернативным подходом является сведение их к разностным уравнениям, решаемым с
-помощью построения различных численных схем. При этом решение получается
-приближенным, а асимптотическая сложность соответствующих алгоритмов сопоставима
-со сложностью алгоритма БПФ. Например, стационарное эллиптическое уравнение в
-частных производных преобразуется в неявную разностную схему, решаемую
-итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение трехдиагональной
-или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки (алгоритм Томаса). Асимптотическая
+Альтернативным подходом к решению ДУЧП является их сведение к разностным
+уравнениям, решаемым с помощью построения различных численных схем. При этом
+решение получается приближенным, а асимптотическая сложность соответствующих
+алгоритмов сопоставима со сложностью алгоритма БПФ. Например, стационарное
+эллиптическое уравнение в частных производных преобразуется в неявную разностную
+схему, решаемую итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение
+трехдиагональной или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки. Асимптотическая
сложность алгоритма составляет \(\mathcal{O}({n}{m})\), где \(n\)\nbsp{}---
количество точек на сетке взволнованной поверхности, \(m\)\nbsp{}--- число
итераций. Несмотря на широкое распространение, итеративные алгоритмы
@@ -730,13 +731,14 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
с использованием простейших приемов параллельного программирования. Во-вторых,
для алгоритмов БПФ существуют готовые оптимизированные реализация для различных
архитектур процессоров и сопроцессоров (GPU, MIC). Эти преимущества обусловили
-выбор метода Фурье в качестве рабочего для получения явного аналитического
-решения задачи определения давлений под взволнованной морской поверхностью.
+выбор метода Фурье в качестве рабочего для получения явного решения задачи
+определения давлений под взволнованной морской поверхностью.
*** Двухмерное поле скоростей
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:pressure-2d
:END:
+
**** Формула для жидкости бесконечной глубины.
Задача Робена для уравнения Лапласа в двух измерениях записывается как
\begin{align}
@@ -779,7 +781,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
где \(\Fun{z}\)\nbsp{}--- некоторая функция, вид которой будет определен в
-[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
+разд.\nbsp{}[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
\(\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}\). Подставляя выражение для \(\phi\) в
граничное условие, получим
\begin{equation*}
@@ -822,21 +824,21 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
}
\end{equation}
-Множитель \(e^{2\pi u z}/(2\pi u)\) делает график функции от которой берется
-обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси \(OY\). Это
+Множитель \(e^{2\pi u z}/(2\pi u)\) делает график функции, от которой берется
+обратное преобразования Фурье, несимметричным относительно оси \(OY\). Это
затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на
-концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
-интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
-системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
-используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины
-с заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в
+концах промежутка принимает нулевое значение. В то же время, использование
+численного интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над
+решением всей системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно
+обойти, используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной
+глубины с заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в
следующем разделе.
**** Формула для жидкости конечной глубины.
На дне водоема вертикальная составляющая скорости перемещения жидкости должна
-равняться нулю, т.е. \(\phi_z=0\) на \(z=-h\), где \(h\)\nbsp{}--- глубина водоема. В этом
-случае пренебречь равенством \(v = -i u\), полученным из уравнения Лапласа,
-нельзя, и решение ищется в виде
+равняться нулю, т.е.\nbsp{}\(\phi_z=0\) на \(z=-h\), где \(h\)\nbsp{}--- глубина
+водоема. В этом случае пренебречь равенством \(v = -i u\), полученным из
+уравнения Лапласа, нельзя, и решение ищется в виде
\begin{equation}
\phi(x,z)
=
@@ -883,8 +885,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
}
\label{eq-solution-2d-full}
\end{equation}
-где \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- некоторая функция, вид которой будет определен в
-[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
+где \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- некоторая функция, вид которой будет определен
+в\nbsp{}[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
\(\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}\).
**** Сведение к формулам линейной теории волн.
@@ -951,9 +953,9 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
Сведение формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full к
формулам линейной теории волн показывает, что формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d
для жидкости бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости
-с использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
-Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
-конечной глубины, полагая \(h\) равным характерному значению глубины
+с использованием метода Фурье, т.к.\nbsp{}не обладает необходимой для
+преобразования Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать
+формулу для конечной глубины, полагая \(h\) равным характерному значению глубины
исследуемого водоема. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории
происходит с аналогичными предположениями.
@@ -1011,15 +1013,15 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
Также как и в разделе\nbsp{}[[#sec:pressure-2d]] мы предполагаем, что
\(\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}\) вблизи свободной поверхности,
однако в трехмерном случае этого недостаточно для решения задачи. Для того чтобы
-получить аналитическую формулу для коэффициентов \(E\), мы должны предположить,
-что преобразования Фурье в равенстве имеют радиально симметричные ядра, т.е.
-заменить \(u\) и \(v\) на \(\Kveclen\). Есть два момента, поддерживающих это
-предположение. Во-первых, в численной реализации интегрирование ведется по
-положительным волновым числам, так что знак \(u\) и \(v\) не влияет на решение.
-Во-вторых, скорость роста \(\cosh\) в ядре интеграла значительно больше, чем
-скорость роста \(u\) или \(\Kveclen\), так что замена слабо влияет на величину
-решения. Несмотря на эти два момента, использование более математически строго
-подхода было бы предпочтительнее.
+получить явную формулу для коэффициентов \(E\), мы должны предположить, что
+преобразования Фурье в равенстве имеют радиально симметричные ядра,
+т.е.\nbsp{}заменить \(u\) и \(v\) на \(\Kveclen\). Есть два момента,
+поддерживающих это предположение. Во-первых, в численной реализации
+интегрирование ведется по положительным волновым числам, так что знак \(u\) и
+\(v\) не влияет на решение. Во-вторых, скорость роста \(\cosh\) в ядре интеграла
+значительно больше, чем скорость роста \(u\) или \(\Kveclen\), так что замена
+слабо влияет на величину решения. Несмотря на эти два момента, использование
+более математически строго подхода было бы предпочтительнее.
Выполняя замену, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства и
подставляя результат в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d, получаем выражение для
@@ -1037,8 +1039,8 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
** Моделирование нелинейности морских волн
Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
-т.е. генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
-ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для
+т.е.\nbsp{}генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых
+имеет ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для
реальных морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
@@ -1120,6 +1122,7 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec-wave-acfs
:END:
+
**** Аналитический метод.
Прямой способ нахождения АКФ, соответствующей заданному профилю морской волны,
состоит в применении теоремы Винера---Хинчина. Согласно этой теореме
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -643,7 +643,7 @@ it numerically.
As will be shown in [[#sec:compare-formulae]] that\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d
diverges when attempted to calculate velocity field for large-amplitude waves,
-and this is the reason that it can not be used together with ARMA model, that
+and this is the reason that it can not be used in conjunction with a model, that
generates arbitrary-amplitude waves.
**** Linearisation of boundary condition.
@@ -659,51 +659,53 @@ kinematic boundary condition. Velocity potential formula is written as
\sin(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation*}
This formula is differentiated to obtain velocity potential derivatives, which
-are plugged to dynamic boundary condition to obtain pressures.
+are plugged to dynamic boundary condition to determine pressure field.
** Determining wave pressures for discretely given wavy surface
Analytic solutions to boundary problems in classical equations are often used to
study different properties of the solution, and for that purpose general
solution formula is too difficult to study, as it contains integrals of unknown
functions. Fourier method is one of the methods to find analytic solutions to
-PDE. It is based on application of Fourier transform to each part of PDE, which
-reduces the equation to algebraic, and the solution is written as inverse
-Fourier transform of some function (which may contain Fourier transforms of
-other functions). Since, it is not possible to write analytic forms of these
-Fourier transforms in all cases, unique solutions are found and their behaviour
-is studied in different domains instead. At the same time, computing discrete
+PDE. It is based on Fourier transform, applying of which to some PDEs reduces
+them to algebraic equations, and the solution is written as inverse Fourier
+transform of some function (which may contain Fourier transforms of other
+functions). Since, it is not possible to write analytic forms of these Fourier
+transforms in some cases, unique solutions are found and their behaviour is
+studied in different domains instead. At the same time, computing discrete
Fourier transforms on the computer is possible for any discretely defined
function and efficient when using FFT algorithms. These algorithms use symmetry
of complex exponentials to decrease asymptotic complexity from
-\(\mathcal{O}(n^2)\) to \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). So, even if general solution
-contains Fourier transforms of unknown functions, they still can be computed
-numerically, and FFT family of algorithms makes this approach efficient.
+\(\mathcal{O}(n^2)\) to \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). So, even if general
+solution contains Fourier transforms of unknown functions, they still can be
+computed numerically, and FFT family of algorithms makes this approach
+efficient.
Alternative approach to solve PDE is to reduce it to difference equations, which
are solved by constructing various numerical schemes. This approach leads to
approximate solution, and asymptotic complexity of corresponding algorithms is
comparable to that of FFT. For example, stationary elliptic PDE transforms to
implicit numerical scheme which is solved by iterative method on each step of
-which a tridiagonal of five-diagonal system of algebraic equations is solved by
+which a tridiagonal or five-diagonal system of algebraic equations is solved by
Thomas algorithm. Asymptotic complexity of this approach is
-\(\mathcal{O}({n}{m})\), where \(n\)\nbsp{}--- number of wavy surface grid points, \(m\)\nbsp{}---
-number of iterations. Despite their wide spread, iterative algorithms are
-inefficient on parallel computer architectures; in particular, their mapping to
-co-processors may involve copying data in and out of the co-processor in each
-iteration, which negatively affects their performance. At the same time, high
-number of Fourier transforms in the solution is an advantage, rather than a
-disadvantage. First, solutions obtained by Fourier method are explicit, hence
-their implementations scales with the large number of parallel computer cores.
-Second, there are implementations of FFT optimised for different processor
-architectures as well as co-processors (GPU, MIC) which makes it easy to get
-high performance on any computing platform. These advantages substantiate the
-choice of Fourier method to obtain explicit analytic solution to the problem of
-determining pressures under wavy sea surface.
+\(\mathcal{O}({n}{m})\), where \(n\)\nbsp{}--- number of wavy surface grid
+points, \(m\)\nbsp{}--- number of iterations. Despite their wide spread,
+iterative algorithms are inefficient on parallel computer architectures; in
+particular, their mapping to co-processors may involve copying data in and out
+of the co-processor in each iteration, which negatively affects their
+performance. At the same time, high number of Fourier transforms in the solution
+is an advantage, rather than a disadvantage. First, solutions obtained by
+Fourier method are explicit, hence their implementations scales with the large
+number of parallel computer cores. Second, there are implementations of FFT
+optimised for different processor architectures as well as co-processors (GPU,
+MIC) which makes it easy to get high performance on any computing platform.
+These advantages substantiate the choice of Fourier method to obtain explicit
+solution to the problem of determining pressures under wavy sea surface.
*** Two-dimensional velocity field
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:pressure-2d
:END:
+
**** Formula for infinite depth fluid.
Two-dimensional Laplace equation with Robin boundary condition is written as
\begin{align}
@@ -743,10 +745,10 @@ transforms, we rewrite\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d as a convolution:
\ast
\InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
-where \(\Fun{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in section
-[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
-\(\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}\). Plugging formula \(\phi\) into the boundary
-condition yields
+where \(\Fun{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in
+section\nbsp{}[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
+\(\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}\). Plugging formula \(\phi\) into the
+boundary condition yields
\begin{equation*}
\zeta_t
=
@@ -789,17 +791,17 @@ into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
Multiplier \(e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})\) makes graph of a function to which
Fourier transform of which is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis.
This makes it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought
-on both ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not
-faster than solving the initial system of equations with numerical schemes. This
-problem is alleviated by using formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full for
-finite depth fluid with wittingly large depth \(h\). This formula is derived in
-the following section.
+on both ends of the interval. At the same time, using numerical integration
+instead of FFT is not faster than solving the initial system of equations with
+numerical schemes. This problem is alleviated by using
+formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full for finite depth fluid with wittingly
+large depth \(h\). This formula is derived in the following section.
**** Formula for finite depth fluid.
-On the sea bottom vertical fluid velocity component equals nought: \(\phi_z=0\) on
-\(z=-h\), where \(h\)\nbsp{}--- water depth. In this case equation \(v=-{i}{u}\), which came
-from Laplace equation, can not be neglected, hence the solution is sought in the
-following form:
+On the sea bottom vertical fluid velocity component equals nought,
+i.e.\nbsp{}\(\phi_z=0\) on \(z=-h\), where \(h\)\nbsp{}--- water depth. In this
+case equation \(v=-{i}{u}\), which came from Laplace equation, can not be
+neglected, hence the solution is sought in the following form:
\begin{equation}
\phi(x,z)
=
@@ -845,8 +847,8 @@ previous section transformations yields final formula for \(\phi(x,z)\):
}
\label{eq-solution-2d-full}
\end{equation}
-where \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in section
-[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
+where \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in
+section\nbsp{}[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
\(\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}\).
**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
@@ -967,17 +969,17 @@ Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the free surface yields
where \(f_1(x,y)={\zeta_x}/{\SqrtZeta{1+\zeta_x^2+\zeta_y^2}}-\zeta_x\) and
\(f_2(x,y)={\zeta_y}/{\SqrtZeta{1+\zeta_x^2+\zeta_y^2}}-\zeta_y\).
-Like in Section\nbsp{}[[#sec:pressure-2d]] we assume that
+Like in section\nbsp{}[[#sec:pressure-2d]] we assume that
\(\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}\) near free surface, but in
three-dimensional case this is not enough to solve the problem. In order to get
-analytic formula for coefficients \(E\) we need to assume, that all Fourier
-transforms in the equation have radially symmetric kernels, i.e. replace \(u\)
-and \(v\) with \(\Kveclen\). There are two points supporting this assumption.
-First, in numerical implementation integration is done over positive wave
-numbers, so the sign of \(u\) and \(v\) does not affect the solution. Second,
-the rate growth of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher than the
-one of \(u\) or \(\Kveclen\), so the substitution has small effect on the
-magnitude of the solution. Despite these two points, a use of more
+explicit formula for coefficients \(E\) we need to assume, that all Fourier
+transforms in the equation have radially symmetric kernels, i.e.\nbsp{}replace
+\(u\) and \(v\) with \(\Kveclen\). There are two points supporting this
+assumption. First, in numerical implementation integration is done over positive
+wave numbers, so the sign of \(u\) and \(v\) does not affect the solution.
+Second, the rate growth of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher
+than the one of \(u\) or \(\Kveclen\), so the substitution has small effect on
+the magnitude of the solution. Despite these two points, a use of more
mathematically rigorous approach would be preferable.
Making the replacement, applying Fourier transform to both sides of the equation
@@ -994,9 +996,9 @@ and plugging the result into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for
where \(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
** Modelling non-linearity of sea waves
-ARMA model allows to model asymmetry of wave elevation distribution, i.e.\nbsp{}
-generate sea waves, distribution of \(z\)-coordinate of which has non-nought
-kurtosis and asymmetry. Such distribution is inherent to real sea
+ARMA model allows to model asymmetry of wave elevation distribution,
+i.e.\nbsp{}generate sea waves, distribution of \(z\)-coordinate of which has
+non-nought kurtosis and asymmetry. Such distribution is inherent to real sea
waves\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
Wave asymmetry is modelled by non-linear inertia-less transform (NIT) of
@@ -1074,6 +1076,7 @@ the same approximation in Gram---Charlier series does not lead to such errors.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec-wave-acfs
:END:
+
**** Analytic method of finding the ACF.
The straightforward way to find ACF for a given sea wave profile is to apply
Wiener---Khinchin theorem. According to this theorem the autocorrelation \(K\) of
