commit a91bc8a39657e2bc8ce26d957e0663a0ece6f7b1
parent f317eac32422190202d0c61e72191075a6c1d70c
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 9 Jan 2017 14:07:39 +0300
Revise examples.
Diffstat:
2 files changed, 35 insertions(+), 37 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -1177,11 +1177,10 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:standing-wave}
\end{equation}
-Для того чтобы получить АКФ с помощью аналитического метода домножим эту формулу
-на затухающую экспоненту, поскольку преобразование Фурье определено для функции
-$f$, для которой справедливо
-$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула профиля
-преобразуется в
+Найдем АКФ с помощью аналитического метода. Домножив формулу на затухающую
+экспоненту (поскольку преобразование Фурье определено для функции $f$, для
+которой справедливо $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$),
+получим
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) =
A
@@ -1189,9 +1188,9 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
\sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:decaying-standing-wave}
\end{equation}
-Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения,
-получим многочлен высокой степени, который при помощи программы для символьных
-вычислений можно аппроксимировать выражением
+Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения с
+помощью программы для символьных вычислений, получим многочлен высокой степени,
+который аппроксимируем выражением
\begin{equation}
K(t,x,y) =
\gamma
@@ -1200,16 +1199,16 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
\cos \left[ \beta x + \beta y \right].
\label{eq:standing-wave-acf}
\end{equation}
-Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина мы получили ту же самую
-формулу, но с косинусами вместо синусов. Эта замена важна, поскольку значение
+Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина получаем исходную
+формулу, но с косинусами вместо синусов. Это различие важно, поскольку значение
АКФ в точке $(0,0,0)$ равно дисперсии процесса АРСС, которое при использовании
синусов было бы неверным.
Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
выражение eqref:eq:decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
-соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить, изменяя фазу
-синуса, или заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в начало
-координат.
+соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
+фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в
+начало координат.
**** АКФ прогрессивной волны.
Профиль трехмерной плоской прогрессивной волны задается как
@@ -1217,8 +1216,7 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
\zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y).
\label{eq:propagating-wave}
\end{equation}
-Для нахождения АКФ по аналитическому методу можно повторить шаги, описанные в
-предыдущем разделе, и получить
+Для аналитического метода повторение шагов из предыдущих двух параграфов дает
\begin{equation}
K(t,x,y) =
\gamma
@@ -1226,9 +1224,9 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула
\cos\left[\beta (t+x+y) \right].
\label{eq:propagating-wave-acf}
\end{equation}
-Для нахождения АКФ по эмпирическому методу профиль волны можно просто домножить
-на затухающую экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это
-требовалось в предыдущем разделе).
+Для эмпирического метода профиль волны можно просто домножить на затухающую
+экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это требовалось для стоячей
+волны).
*** Сравнение изученных методов
Подводя итоги, можно сказать, что применение аналитического метода нахождения
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -1260,15 +1260,14 @@ to test ARMA model.
*** Examples of ACFs for various types of wave profiles
**** Standing wave.
-For three-dimensional plain standing wave the profile is approximated by
+For three-dimensional plain standing wave the profile is given by
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:standing-wave}
\end{equation}
-In order to get ACF via analytic method one needs to multiply this formula by
-a decaying exponent, because Fourier transform is defined for a function $f$ that
-$f \underset{x \rightarrow \pm \infty}{\longrightarrow} 0$. The formula of the
-profile then transforms to
+Find ACF via analytic method. Multiplying the formula by a decaying exponent
+(because Fourier transform is defined for a function $f$ that
+$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$) yields
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) =
A
@@ -1276,9 +1275,9 @@ profile then transforms to
\sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:decaying-standing-wave}
\end{equation}
-Then, if one takes 3D Fourier transform of this formula via any capable
-symbolic computation programme, the resulting polynomial may be fitted to the
-following ACF approximation.
+Then, apply 3D Fourier transform to both sides of the equation via symbolic
+computation programme, fit the resulting polynomial to the following
+approximation:
\begin{equation}
K(t,x,y) =
\gamma
@@ -1287,24 +1286,24 @@ following ACF approximation.
\cos \left[ \beta x + \beta y \right].
\label{eq:standing-wave-acf}
\end{equation}
-So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get the same formula but with
-sines replaced with cosines. This replacement is important because the value of
-ACF at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines
-the value would be wrong.
+So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get initial formula but with
+cosines instead of sines. This difference is important because the value of ACF
+at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines the
+value would be wrong.
If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way
is to adapt eqref:eq:decaying-standing-wave to match eqref:eq:standing-wave-acf.
-This can be done by changing the phase of the sine, or by replacing sine with
-cosine to move the maximum of the function to $(0,0,0)$.
+This can be done either by changing the phase of the sine, or by substituting
+sine with cosine to move the maximum of the function to the origin of
+coordinates.
**** Propagating wave.
-Three-dimensional profile of this type of wave is approximated by
+Three-dimensional profile of plain propagating wave is given by
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y).
\label{eq:propagating-wave}
\end{equation}
-For the analytic method one may repeat steps from the previous two paragraphs
-with ACF approximated by
+For the analytic method repeating steps from the previous two paragraphs yields
\begin{equation}
K(t,x,y) =
\gamma
@@ -1312,8 +1311,9 @@ with ACF approximated by
\cos\left[\beta (t+x+y) \right].
\label{eq:propagating-wave-acf}
\end{equation}
-For the empirical method propagating wave profile is simply multiplied by
-a decaying exponent without need to adapt the maximum value of ACF.
+For the empirical method the wave profile is simply multiplied by a decaying
+exponent without need to adapt the maximum value of ACF (as it is required for
+standing wave).
*** Comparison of studied methods
To summarise, the analytic method of finding ocean wave's ACF reduces to the
