arma-thesis

git clone https://git.igankevich.com/arma-thesis.git
Log | Files | Refs | LICENSE

commit a91bc8a39657e2bc8ce26d957e0663a0ece6f7b1
parent f317eac32422190202d0c61e72191075a6c1d70c
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date:   Mon,  9 Jan 2017 14:07:39 +0300

Revise examples.

Diffstat:
phd-diss-ru.org | 34++++++++++++++++------------------
phd-diss.org | 38+++++++++++++++++++-------------------
2 files changed, 35 insertions(+), 37 deletions(-)

diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org @@ -1177,11 +1177,10 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$ \zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t). \label{eq:standing-wave} \end{equation} -Для того чтобы получить АКФ с помощью аналитического метода домножим эту формулу -на затухающую экспоненту, поскольку преобразование Фурье определено для функции -$f$, для которой справедливо -$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула профиля -преобразуется в +Найдем АКФ с помощью аналитического метода. Домножив формулу на затухающую +экспоненту (поскольку преобразование Фурье определено для функции $f$, для +которой справедливо $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$), +получим \begin{equation} \zeta(t, x, y) = A @@ -1189,9 +1188,9 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t). \label{eq:decaying-standing-wave} \end{equation} -Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения, -получим многочлен высокой степени, который при помощи программы для символьных -вычислений можно аппроксимировать выражением +Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения с +помощью программы для символьных вычислений, получим многочлен высокой степени, +который аппроксимируем выражением \begin{equation} K(t,x,y) = \gamma @@ -1200,16 +1199,16 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула \cos \left[ \beta x + \beta y \right]. \label{eq:standing-wave-acf} \end{equation} -Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина мы получили ту же самую -формулу, но с косинусами вместо синусов. Эта замена важна, поскольку значение +Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина получаем исходную +формулу, но с косинусами вместо синусов. Это различие важно, поскольку значение АКФ в точке $(0,0,0)$ равно дисперсии процесса АРСС, которое при использовании синусов было бы неверным. Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то выражение eqref:eq:decaying-standing-wave необходимо адаптировать для -соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить, изменяя фазу -синуса, или заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в начало -координат. +соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя +фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в +начало координат. **** АКФ прогрессивной волны. Профиль трехмерной плоской прогрессивной волны задается как @@ -1217,8 +1216,7 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула \zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y). \label{eq:propagating-wave} \end{equation} -Для нахождения АКФ по аналитическому методу можно повторить шаги, описанные в -предыдущем разделе, и получить +Для аналитического метода повторение шагов из предыдущих двух параграфов дает \begin{equation} K(t,x,y) = \gamma @@ -1226,9 +1224,9 @@ $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула \cos\left[\beta (t+x+y) \right]. \label{eq:propagating-wave-acf} \end{equation} -Для нахождения АКФ по эмпирическому методу профиль волны можно просто домножить -на затухающую экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это -требовалось в предыдущем разделе). +Для эмпирического метода профиль волны можно просто домножить на затухающую +экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это требовалось для стоячей +волны). *** Сравнение изученных методов Подводя итоги, можно сказать, что применение аналитического метода нахождения diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org @@ -1260,15 +1260,14 @@ to test ARMA model. *** Examples of ACFs for various types of wave profiles **** Standing wave. -For three-dimensional plain standing wave the profile is approximated by +For three-dimensional plain standing wave the profile is given by \begin{equation} \zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t). \label{eq:standing-wave} \end{equation} -In order to get ACF via analytic method one needs to multiply this formula by -a decaying exponent, because Fourier transform is defined for a function $f$ that -$f \underset{x \rightarrow \pm \infty}{\longrightarrow} 0$. The formula of the -profile then transforms to +Find ACF via analytic method. Multiplying the formula by a decaying exponent +(because Fourier transform is defined for a function $f$ that +$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$) yields \begin{equation} \zeta(t, x, y) = A @@ -1276,9 +1275,9 @@ profile then transforms to \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t). \label{eq:decaying-standing-wave} \end{equation} -Then, if one takes 3D Fourier transform of this formula via any capable -symbolic computation programme, the resulting polynomial may be fitted to the -following ACF approximation. +Then, apply 3D Fourier transform to both sides of the equation via symbolic +computation programme, fit the resulting polynomial to the following +approximation: \begin{equation} K(t,x,y) = \gamma @@ -1287,24 +1286,24 @@ following ACF approximation. \cos \left[ \beta x + \beta y \right]. \label{eq:standing-wave-acf} \end{equation} -So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get the same formula but with -sines replaced with cosines. This replacement is important because the value of -ACF at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines -the value would be wrong. +So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get initial formula but with +cosines instead of sines. This difference is important because the value of ACF +at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines the +value would be wrong. If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way is to adapt eqref:eq:decaying-standing-wave to match eqref:eq:standing-wave-acf. -This can be done by changing the phase of the sine, or by replacing sine with -cosine to move the maximum of the function to $(0,0,0)$. +This can be done either by changing the phase of the sine, or by substituting +sine with cosine to move the maximum of the function to the origin of +coordinates. **** Propagating wave. -Three-dimensional profile of this type of wave is approximated by +Three-dimensional profile of plain propagating wave is given by \begin{equation} \zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y). \label{eq:propagating-wave} \end{equation} -For the analytic method one may repeat steps from the previous two paragraphs -with ACF approximated by +For the analytic method repeating steps from the previous two paragraphs yields \begin{equation} K(t,x,y) = \gamma @@ -1312,8 +1311,9 @@ with ACF approximated by \cos\left[\beta (t+x+y) \right]. \label{eq:propagating-wave-acf} \end{equation} -For the empirical method propagating wave profile is simply multiplied by -a decaying exponent without need to adapt the maximum value of ACF. +For the empirical method the wave profile is simply multiplied by a decaying +exponent without need to adapt the maximum value of ACF (as it is required for +standing wave). *** Comparison of studied methods To summarise, the analytic method of finding ocean wave's ACF reduces to the