commit 9bff978d7df886c77fdcd32a31e776b3b04180cc
parent a0ab313efa61044151949eb4531f4c6ca16fe542
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Thu, 5 Jan 2017 19:01:32 +0300
Sync pressure intro.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 76 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------------------ |
| phd-diss.org | | | 48 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
2 files changed, 88 insertions(+), 36 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -808,42 +808,46 @@ eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать мет
Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
** Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью
-Поиск аналитических решений граничных задач для классических уравнений часто
-связан с исследованием различных свойств решения, и для таких исследований
-запись формулы общего решения неудобна ввиду своей сложности и наличия
-интегралов от неизвестных функций. Одним из методов нахождения аналитических
-решений ДУЧП является метод Фурье. Основой метода служит преобразование Фурье,
-применение которого к любому ДУЧП позволяет свести его к алгебраическому, а его
-решение записывается как обратное преобразование Фурье от некоторой функции
-(которая часто содержит преобразования Фурье от других функций). Поскольку
-преобразования не всегда можно записать аналитически, то вместо этого ищутся
-частные решения задачи и анализируется их поведение в различных областях. В то
-же время, вычисление дискретных преобразований Фурье на компьютере не
-представляет сложности ввиду наличия многочисленного семейства алгоритмов БПФ.
-Эти алгоритмы используют симметрию для понижения асимптотической сложности с
-квадратичной $\mathcal{O}(n^2)$ до $\mathcal{O}(n \log_2 n)$. Таким образом,
-метод Фурье подходит для поиска аналитических частных решений ДУЧП, а общее
-решение, полученное этим методом, может стать основой для построения
-высокопроизводительных \emph{гибридных} методов решения ДУЧП, в которых
-преобразования Фурье от неизвестных функций производятся численно.
-
-Альтернативным подходом, который повсеместно применяется в решении ДУЧП,
-является сведение их к разностным уравнениям, решаемым с помощью построения
-различных численных схем. При этом решение получается приближенным, а сложность
-алгоритмов сопоставима со сложностью алгоритма БПФ. Например, стационарное
-эллиптическое уравнение в частных производных преобразуется в неявную разностную
-схему, решаемую итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение
-трехдиагональной или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки (алгоритм Томаса).
-Асимптотическая сложность алгоритма составляет $\mathcal{O}(n m)$, где $n$ ---
-количество точек на сетке взволнованной поверхности, $m$ --- число итераций.
-
-С вычислительной точки зрения наличие большого количества преобразований Фурье в
-решении является преимуществом. Решения полученные с помощью метода Фурье явные,
-а значит хорошо масштабируются на большое количество параллельно работающих
-вычислительных ядер с использованием простейших приемов параллельного
-программирования. Эти преимущества обусловили выбор метода Фурье в качестве
-рабочего для получения явного аналитического решения задачи определения давлений
-под взволнованной морской поверхностью.
+Аналитические решения граничных задач для классических уравнений часто
+используются для исследования различных свойств уравнений, и для таких
+исследований запись формулы общего решения неудобна ввиду своей сложности и
+наличия интегралов от неизвестных функций. Одним из методов нахождения
+аналитических решений ДУЧП является метод Фурье. Основой метода служит
+преобразование Фурье, применение которого к любому ДУЧП позволяет свести его к
+алгебраическому, а его решение записывается как обратное преобразование Фурье от
+некоторой функции (которая может содержать преобразования Фурье от других
+функций). Поскольку эти преобразования не всегда можно записать аналитически, то
+вместо этого ищутся частные решения задачи и анализируется их поведение в
+различных областях. В то же время, вычисление дискретных преобразований Фурье на
+компьютере возможно для любой дискретно заданной функции и эффективно при
+использовании алгоритмов БПФ. Эти алгоритмы используют симметрию комплексных
+экспонент для понижения асимптотической сложности с $\mathcal{O}(n^2)$ до
+$\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если общее решение содержит
+преобразования Фурье от неизвестных функций, они все равно могут быть взяты
+численно, а использование алгоритмов БПФ делает этот подход эффективным.
+
+Альтернативным подходом является сведение их к разностным уравнениям, решаемым с
+помощью построения различных численных схем. При этом решение получается
+приближенным, а асимптотическая сложность соответствующих алгоритмов сопоставима
+со сложностью алгоритма БПФ. Например, стационарное эллиптическое уравнение в
+частных производных преобразуется в неявную разностную схему, решаемую
+итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение трехдиагональной
+или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки (алгоритм Томаса). Асимптотическая
+сложность алгоритма составляет $\mathcal{O}({n}{m})$, где $n$ --- количество
+точек на сетке взволнованной поверхности, $m$ --- число итераций. Несмотря на
+широкое распространение, итеративные алгоритмы неэффективно отображаются на
+архитектуру параллельных машин; в частности, отображение на сопроцессоры может
+включать в себя копирование данных на сопроцессор и обратно на каждой итерации,
+что отрицательно сказывается на их производительности. В то же время, наличие
+большого количества преобразований Фурье в решении является скорее
+преимуществом, чем недостатком. Во-первых, решения, полученные с помощью метода
+Фурье, явные, а значит хорошо масштабируются на большое количество параллельно
+работающих вычислительных ядер с использованием простейших приемов параллельного
+программирования. Во-вторых, для алгоритмов БПФ существуют готовые
+оптимизированные реализация для различных архитектур процессоров и сопроцессоров
+(GPU, MIC). Эти преимущества обусловили выбор метода Фурье в качестве рабочего
+для получения явного аналитического решения задачи определения давлений под
+взволнованной морской поверхностью.
*** Двухмерное поле скоростей
:PROPERTIES:
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -668,6 +668,54 @@ bisection method. Using the same approximation in Gram---Charlier series does
not lead to such errors.
** Determining wave pressures for discretely given wavy surface
+Analytic solutions to boundary problems in classical equations are often used to
+study different properties of the solution, and for that purpose general
+solution formula is too difficult to study, as it contains integrals of unknown
+functions. Fourier method is one of the methods to find analytic solutions to
+PDE. It is based on application of Fourier transform to each part of PDE, which
+reduces the equation to algebraic, and the solution is written as inverse
+Fourier transform of some function (which may contain Fourier transforms of
+other functions). Since, it is not possible to write analytic forms of these
+Fourier transforms in all cases, unique solutions are found and their behaviour
+is studied in different domains instead. At the same time, computing discrete
+Fourier transforms on the computer is possible for any discretely defined
+function and efficient when using FFT algorithms. These algorithms use symmetry
+of complex exponentials to decrease asymptotic complexity from
+$\mathcal{O}(n^2)$ to $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. So, even if general solution
+contains Fourier transforms of unknown functions, they still can be computed
+numerically, and FFT family of algorithms makes this approach efficient.
+
+Alternative approach to solve PDE is to reduce it to difference equations, which
+are solved by constructing various numerical schemes. This approach leads to
+approximate solution, and asymptotic complexity of corresponding algorithms is
+comparable to that of FFT. For example, stationary elliptic PDE transforms to
+implicit numerical scheme which is solved by iterative method on each step of
+which a tridiagonal of five-diagonal system of algebraic equations is solved by
+Thomas algorithm. Asymptotic complexity of this approach is
+$\mathcal{O}({n}{m})$, where $n$ --- number of wavy surface grid points, $m$ ---
+number of iterations. Despite their wide spread, iterative algorithms are
+inefficient on parallel computer architectures; in particular, their mapping to
+co-processors may involve copying data in and out of the co-processor in each
+iteration, which negatively affects their performance. At the same time, high
+number of Fourier transforms in the solution is an advantage, rather than a
+disadvantage. First, solutions obtained by Fourier method are explicit, hence
+their implementations scales with the large number of parallel computer cores.
+Second, there are implementations of FFT optimised for different processor
+architectures as well as co-processors (GPU, MIC) which makes it easy to get
+high performance on any computing platform. These advantages substantiate the
+choice of Fourier method to obtain explicit analytic solution to the problem of
+determining pressures under wavy ocean surface.
+
+*** Two-dimensional velocity field
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:pressure-2d
+:END:
+
+**** Formula for of infinite depth fluid.
+**** Formula for of finite depth fluid.
+**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
+*** Three-dimensional velocity field
+
* Numerical methods and experimental results
** The shape of ACF for different types of waves
*** Two methods to find ocean waves ACF
