commit 74e6359a6fafff9ae1f1d90de010fbf4cb523704
parent b62662143bdc5e01e74b7e7a7295e6ce6ff1736f
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 9 Jan 2017 13:04:03 +0300
Sync ACF derivation examples.
Diffstat:
2 files changed, 59 insertions(+), 2 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -1172,7 +1172,64 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
*** Примеры АКФ для различных волновых профилей
**** АКФ стоячей волны.
+Профиль трехмерной плоской стоячей волны задается как
+\begin{equation}
+ \zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
+ \label{eq:standing-wave}
+\end{equation}
+Для того чтобы получить АКФ с помощью аналитического метода домножим эту формулу
+на затухающую экспоненту, поскольку преобразование Фурье определено для функции
+$f$, для которой справедливо
+$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$. Тогда формула профиля
+преобразуется в
+\begin{equation}
+ \zeta(t, x, y) =
+ A
+ \exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
+ \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
+ \label{eq:decaying-standing-wave}
+\end{equation}
+Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения,
+получим многочлен высокой степени, который при помощи подходящего инженерного
+языка программирования можно аппроксимировать выражением
+\begin{equation}
+ K(t,x,y) =
+ \gamma
+ \exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
+ \cos \beta t
+ \cos \left[ \beta x + \beta y \right].
+ \label{eq:standing-wave-acf}
+\end{equation}
+Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина мы получили ту же самую
+формулу, но с косинусами вместо синусов. Эта замена важна, поскольку значение
+АКФ в точке $(0,0,0)$ равно дисперсии процесса АРСС, которое при использовании
+синусов было бы неверным.
+
+Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
+выражение eqref:eq:decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
+соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить, изменяя фазу
+синуса, или заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в начало
+координат.
+
**** АКФ прогрессивной волны.
+Профиль трехмерной плоской прогрессивной волны задается как
+\begin{equation}
+ \zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y).
+ \label{eq:propagating-wave}
+\end{equation}
+Для нахождения АКФ по аналитическому методу можно повторить шаги, описанные в
+предыдущем разделе, и получить
+\begin{equation}
+ K(t,x,y) =
+ \gamma
+ \exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
+ \cos\left[\beta (t+x+y) \right].
+ \label{eq:propagating-wave-acf}
+\end{equation}
+Для нахождения АКФ по эмпирическому методу профиль волны можно просто домножить
+на затухающую экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это
+требовалось в предыдущем разделе).
+
*** Сравнение изученных методов
** Дополнительные формулы, методы и алгоритмы для модели АРСС
*** Аппроксимация распределения аппликат
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -1260,7 +1260,7 @@ model.
*** Examples of ACFs for various types of wave profiles
**** Standing wave.
-For three-dimensional standing wave the profile is approximated by
+For three-dimensional plain standing wave the profile is approximated by
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:standing-wave}
@@ -1289,7 +1289,7 @@ following ACF approximation.
\end{equation}
So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get the same formula but with
sines replaced with cosines. This replacement is important because the value of
-ACF at $(0,0,0)$ equals to the variance of wave elevation, and if one used sines
+ACF at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines
the value would be wrong.
If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way
