commit 5a775f53d9da4be66d1b276f570f7b2ae9a627e1
parent e534e6ad88c0c04e0828e0ce4496e046233ed664
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 28 Oct 2016 21:09:21 +0300
Edit Longuet---Higgins model part.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 62 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------- |
1 file changed, 37 insertions(+), 25 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -115,53 +115,64 @@ cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development, ч
многопроцессорной системе с общей памятью.
* Обзор литературы
** Анализ моделей ветрового волнения
+Вычисление давлений возможно только при условии знания формы взволнованной
+поверхности, которая задается либо дискретно в каждой точке пространственной
+сетки, либо непрерывно с помощью аналитической формулы, используемой для
+генерации поверхности. Знание такой формулы может упростить вычисление давлений,
+фактически сведя задачу к генерации поля давлений, а не самой взволнованной
+поверхности.
-Вычисление давлений возможно только при условии знания вида взволнованной
-поверхности, и для ее генерации существует ряд моделей ветрового волнения,
-наиболее изученной из которых является модель Лонге---Хиггинса
-cite:longuet1957statistical. Подробный сравнительный анализ этой модели и модели
-авторегрессии проведен в работах
+Наиболее изученной и широко распространненной моделью ветрового волнения
+является модель Лонге---Хиггинса cite:longuet1957statistical. Подробный
+сравнительный анализ этой модели и модели авторегрессии проведен в работах
cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
Модель Лонге---Хиггинса представляет взволнованную морскую поверхность в виде
суперпозиции элементарных гармонических волн случайных амплитуд $c_n$ и фаз
-$\epsilon_n$, непрерывно распределенных на интервале $[0,2\pi]$, которая
-определяется формулой
+$\epsilon_n$, непрерывно распределенных на интервале $[0,2\pi]$, определяемую
+формулой
\begin{equation}
\label{eq:longuet-higgins}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n)
\end{equation}
-Волновые числа $(u_n,v_n)$ непрерывно распределены на плоскости $(u,v)$, т.е. площадка $du \times dv$ содержит бесконечно большое количество волновых чисел. Частота связана с волновыми числами дисперсионным соотношением $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$, а функция $\zeta(x,y,t)$ является трехмерным эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом, определяемым соотношением
+Волновые числа $(u_n,v_n)$ непрерывно распределены на плоскости $(u,v)$, т.е.
+площадка $du \times dv$ содержит бесконечно большое количество волновых чисел.
+Частота связана с волновыми числами дисперсионным соотношением
+$\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является трехмерным
+эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом, определяемым
+соотношением
\begin{equation*}
2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2
\end{equation*}
-где $E_\zeta(u,v)$ --- двумерная спектральная плотность энергии волн. Коэффициенты $c_n$ определяются из энергетического спектра волнения $S(\omega)$ по формуле
+где $E_\zeta(u,v)$ --- двумерная спектральная плотность энергии волн.
+Коэффициенты $c_n$ определяются из энергетического спектра волнения $S(\omega)$
+по формуле
\begin{equation*}
c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
\end{equation*}
Модель Лонге---Хиггинса отличается простотой численного алгоритма и
-наглядностью, моделируя физически адекватную морскую поверхность, но на практике
-она обладает рядом недостатков, среди которых можно выделить
-следующие cite:degtyarev2011modelling.
-- Модель Лонге---Хиггинса рассчитана на представление стационарного гауссова
- поля и не подходит для решения более общих задач, что является следствием
- центральной предельной теоремы (сумма большого числа гармоник со случайной
- амплитудой и фазой будет иметь нормальное распределение в независимости от
- исходного распределения фаз и амплитуд).
-- Модель Лонге---Хиггинса, обладая свойством периодичности, требует высокой
- степени дискретизации частотно‑направленного спектра волн, а значит и большого
- количества частот для проведения длительных численных экспериментов, что
- негативно сказывается на скорости счета.
+наглядностью, моделируя физически адекватную морскую поверхность. Однако, на
+практике она обладает рядом недостатков cite:degtyarev2011modelling.
+- Модель рассчитана на представление стационарного гауссова поля и не подходит
+ для решения более общих задач, что является следствием центральной предельной
+ теоремы (сумма большого числа гармоник со случайной амплитудой и фазой будет
+ иметь нормальное распределение в независимости от исходного распределения фаз
+ и амплитуд).
+- Для исключения периодичности, модель требует высокой степени дискретизации
+ частотно‑направленного спектра волн, а значит и большого количества частот для
+ проведения длительных численных экспериментов, что негативно сказывается на
+ скорости счета на компьютере.
- В численных экспериментах скорость сходимости
выражения~\eqref{eq:longuet-higgins} низка и имеет вероятностный характер,
т.к. не обеспечена сходимость по фазам $\epsilon_n$.
- Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов сопряжено с большой
трудоемкостью вычислений.
-Таким образом, модель Лонге---Хиггинса может быть применена для решения задач
-поведения динамического объекта только в линейной постановке, является
-неэффективной для длительных экспериментов и основана на теории волн малой
-амплитуды.
+
+Таким образом, модель Лонге---Хиггинса применима для решения задачи генерации
+взволнованной морской поверхности только в линейной постановке, неэффективна для
+длительных экспериментов и основана на теории волн малой амплитуды (см.
+Приложение XXX).
** Известные методы определения поля давлений
@@ -254,3 +265,4 @@ $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула я
* Благодарности
* Список литературы
* Приложение
+** TODO Вывод формулы модели Лонге---Хиггинса
