commit e534e6ad88c0c04e0828e0ce4496e046233ed664
parent 82c5c2068b8cd77510512d2df8567e073d1323b1
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 28 Oct 2016 12:47:20 +0300
Copy text from final work.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 133 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
1 file changed, 133 insertions(+), 0 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -114,6 +114,139 @@ cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development, ч
эффективно работающая в распределенной вычислительной среде и на
многопроцессорной системе с общей памятью.
* Обзор литературы
+** Анализ моделей ветрового волнения
+
+Вычисление давлений возможно только при условии знания вида взволнованной
+поверхности, и для ее генерации существует ряд моделей ветрового волнения,
+наиболее изученной из которых является модель Лонге---Хиггинса
+cite:longuet1957statistical. Подробный сравнительный анализ этой модели и модели
+авторегрессии проведен в работах
+cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
+
+Модель Лонге---Хиггинса представляет взволнованную морскую поверхность в виде
+суперпозиции элементарных гармонических волн случайных амплитуд $c_n$ и фаз
+$\epsilon_n$, непрерывно распределенных на интервале $[0,2\pi]$, которая
+определяется формулой
+\begin{equation}
+ \label{eq:longuet-higgins}
+ \zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n)
+\end{equation}
+Волновые числа $(u_n,v_n)$ непрерывно распределены на плоскости $(u,v)$, т.е. площадка $du \times dv$ содержит бесконечно большое количество волновых чисел. Частота связана с волновыми числами дисперсионным соотношением $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$, а функция $\zeta(x,y,t)$ является трехмерным эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом, определяемым соотношением
+\begin{equation*}
+ 2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2
+\end{equation*}
+где $E_\zeta(u,v)$ --- двумерная спектральная плотность энергии волн. Коэффициенты $c_n$ определяются из энергетического спектра волнения $S(\omega)$ по формуле
+\begin{equation*}
+ c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
+\end{equation*}
+
+Модель Лонге---Хиггинса отличается простотой численного алгоритма и
+наглядностью, моделируя физически адекватную морскую поверхность, но на практике
+она обладает рядом недостатков, среди которых можно выделить
+следующие cite:degtyarev2011modelling.
+- Модель Лонге---Хиггинса рассчитана на представление стационарного гауссова
+ поля и не подходит для решения более общих задач, что является следствием
+ центральной предельной теоремы (сумма большого числа гармоник со случайной
+ амплитудой и фазой будет иметь нормальное распределение в независимости от
+ исходного распределения фаз и амплитуд).
+- Модель Лонге---Хиггинса, обладая свойством периодичности, требует высокой
+ степени дискретизации частотно‑направленного спектра волн, а значит и большого
+ количества частот для проведения длительных численных экспериментов, что
+ негативно сказывается на скорости счета.
+- В численных экспериментах скорость сходимости
+ выражения~\eqref{eq:longuet-higgins} низка и имеет вероятностный характер,
+ т.к. не обеспечена сходимость по фазам $\epsilon_n$.
+- Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов сопряжено с большой
+ трудоемкостью вычислений.
+Таким образом, модель Лонге---Хиггинса может быть применена для решения задач
+поведения динамического объекта только в линейной постановке, является
+неэффективной для длительных экспериментов и основана на теории волн малой
+амплитуды.
+
+** Известные методы определения поля давлений
+
+Задача определения давлений под взволнованной морской поверхностью сводится к
+обратной задаче гидродинамики для несжимаемой невязкой жидкости. Система
+уравнений для несжимаемой невязкой жидкости в общем виде записывается
+как cite:kochin1966theoretical
+\begin{align}
+ & \nabla^2\phi = 0,\nonumber\\
+ & \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq:problem}\\
+ & D\zeta = \nabla \phi \cdot \vec{n}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\nonumber
+\end{align}
+где $\phi$ --- потенциал скорости, $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной
+поверхности, $p$ --- давление жидкости, $\rho$ --- плотность жидкости,
+$\vec{\upsilon} = (\phi_x, \phi_y, \phi_z)$ --- вектор скорости, $g$ ---
+ускорение свободного падения и $D$ --- субстациональная производная (производная
+Лагранжа). Первое уравнение является уравнением неразрывности (уравнение
+Лапласа), второе --- законом сохранения импульса, которое иногда называют
+динамическим граничным условием; третье уравнение --- кинематическое граничное
+условие, которое сводится к равенству нормальной составляющей скорости жидкости
+($\nabla \phi \cdot \vec{n}$) в каждой точке взволнованной поверхности
+$\zeta(x,y,t)$ скорости перемещения этой поверхности ($D\zeta$).
+
+Обратная задача гидродинамики заключается в решении этой системы уравнений
+относительно $\phi$. В такой постановке уравнение Лапласа и кинематическое \gls{ГУ}
+используются для нахождения потенциала скорости, а динамическое \gls{ГУ} --- для
+вычисления давлений по известным производным потенциала. Таким образом, с
+математической точки зрения обратная задача гидродинамики сводится к решению
+уравнения Лапласа со смешанным \gls{ГУ} --- задаче Робена для уравнения Лапласа.
+
+*** Теория волн малых амплитуд
+В cite:stab2012 дается решение обратной задачи гидродинамики для случая
+идеальной несжимаемой жидкости в рамках теории волн малых амплитуд (в
+предположении, что длина волны много больше ее высоты: $\lambda \gg h$). В этом
+случае обратная задача линейна и сводится к уравнению Лапласа со смешанным
+граничным условием, а уравнение движения используется только для нахождения
+давлений по известным значениям производных потенциала скорости. Предположение о
+малости амплитуд волн означает слабое изменение локального волнового числа во
+времени и пространстве по сравнению с подъемом (апптикатой) взволнованной
+поверхности. Это позволяет определить специальную формулу производной
+$\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула является основой
+предлагаемого решения. В двухмерном случае решение записывается как
+\begin{align}
+ \left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
+ -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{-I(x)}
+ \int\limits_{0}^x\frac{\partial\dot{\zeta}/\partial
+ z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq:old-sol-2d}\\
+ I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
+\end{align}
+где $\alpha$ --- уклоны волн. В трехмерном случае решение записывается в виде
+эллиптического дифференциального уравнения в частных производных:
+\begin{align*}
+ & \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \left( 1 + \alpha_x^2 \right) +
+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \left( 1 + \alpha_y^2 \right) +
+ 2\alpha_x\alpha_y \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} + \\
+ & \left(
+ \frac{\partial \alpha_x}{\partial z} +
+ \alpha_x \frac{\partial \alpha_x}{\partial x} +
+ \alpha_y \frac{\partial \alpha_x}{\partial y}
+ \right) \frac{\partial \phi}{\partial x} + \\
+ & \left(
+ \frac{\partial \alpha_y}{\partial z} +
+ \alpha_x \frac{\partial \alpha_y}{\partial x} +
+ \alpha_y \frac{\partial \alpha_y}{\partial y}
+ \right) \frac{\partial \phi}{\partial y} + \\
+ & \frac{\partial \dot{\zeta}}{\partial z} +
+ \alpha_x \dot{\alpha_x} + \alpha_y \dot{\alpha_y} = 0.
+\end{align*}
+Уравнение предполагается решаеть численно с помощью разностных методов.
+
+Как будет показано в~\cref{sec:compare-formulae} формула~\eqref{eq:old-sol-2d}
+расходится при попытке вычислить поле скоростей для волн больших амлитуд, а
+значит не может быть использована вместе с авторегрессионной моделью.
+
+*** Линеаризация граничного условия
+Модель Лонге---Хиггинса позволяет вывести явную формулу вычисления поля
+скоростей путем линеаризации кинематического граничного условия:
+\begin{equation*}
+\phi(x,y,z,t) = \sum_n \frac{c_n g}{\omega_n}
+ e^{\sqrt{u_n^2+v_n^2} z}
+ \sin(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
+\end{equation*}
+Эта формула может быть продифференцирована для получения производных потенциала
+и последующего вычисления давлений из динамического граничного условия.
+
* Применение модели АРСС в задаче имитационного моделирования морского волнения
* Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверзностью
* Высокопроизводительный программный комплекс для моделировани морского волнения
