commit 5012273676f09f44b86a634695ec79c650da1889
parent 29cb7bf9f696f4081638cedb47ebd1299b029bf6
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 6 Jan 2017 16:03:29 +0300
Fix formulae and conclusions.
Diffstat:
3 files changed, 33 insertions(+), 17 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -873,7 +873,7 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
\iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
f(x,y)
e^{-2\pi i (x u + y v)}
- dx dy
+ dx dy.
\end{equation*}
Решение уравнения будем искать в виде обратного преобразования Фурье
$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Подставляя[fn::Выражение $v={-i}{u}$
@@ -973,8 +973,16 @@ $C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}$. Константа $C$ здесь прои
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Выполняя аналогичные предыдущему разделу операции, получаем окончательное
-выражение для $\phi(x,z)$:
+Подставляя $\phi$ в граничное условие на свободной поверхности, получаем
+\begin{equation*}
+ \zeta_t = f(x) \InverseFourierY{ 2\pi i u \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}
+ - \InverseFourierY{ 2\pi u \SinhX{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
+\end{equation*}
+Здесь $\sinh$ и $\cosh$ дают схожие результаты вблизи свободной поверхности, и,
+поскольку эта область является наиболее интересной с точки зрения практического
+применения, положим $\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}$. Выполняя
+аналогичные предыдущему разделу операции, получаем окончательное выражение для
+$\phi(x,z)$:
\begin{equation}
\boxed{
\phi(x,z,t)
@@ -1057,11 +1065,11 @@ $\sinh$) для вычисления потенциала скорости вб
Сведение формул eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full к формулам
линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq:solution-2d для жидкости
бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
-использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для применения
-быстрого преобразования Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно
-использовать формулу для конечной глубины, полагая $h$ равным характерному
-значению глубины исследуемого водоема. Для стоячих волн сведение к формулам
-линейной теории происходит с аналогичными предположениями.
+использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
+Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
+конечной глубины, полагая $h$ равным характерному значению глубины исследуемого
+водоема. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории происходит с
+аналогичными предположениями.
*** Трехмерное поле скоростей
В трех измерениях исходная система уравнений eqref:eq:problem переписывается как
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -730,7 +730,7 @@ transform:
\iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
f(x,y)
e^{-2\pi i (x u + y v)}
- dx dy
+ dx dy.
\end{equation*}
We seek solution in the form of inverse Fourier transform
$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Plugging[fn::$v={-i}{u}$ is not
@@ -826,8 +826,15 @@ Plugging formulae for $C_1$ and $C_2$ into eqref:eq:guessed-sol-2d-full yields
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Performing analogous to the previous section transformations yields final
-formula for $\phi(x,z)$:
+Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
+\begin{equation*}
+ \zeta_t = f(x) \InverseFourierY{ 2\pi i u \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}
+ - \InverseFourierY{ 2\pi u \SinhX{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
+\end{equation*}
+Here $\sinh$ and $\cosh$ give similar results near free surface, and since this
+is the main area of interest in practical applications, we assume that
+$\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}$. Performing analogous to the
+previous section transformations yields final formula for $\phi(x,z)$:
\begin{equation}
\boxed{
\phi(x,z,t)
@@ -910,10 +917,10 @@ computation near free surface.
Reducing eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full to the known formulae
from linear wave theory shows, that formula for infinite depth
eqref:eq:solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
-method, because it does not have symmetry, which is required for discrete
-Fourier transform. However, formula for finite depth can be used instead by
-setting $h$ to some characteristic water depth. For standing wave reducing to
-linear wave theory formulae is made under the same assumptions.
+method, because it does not have symmetry, which is required for Fourier
+transform. However, formula for finite depth can be used instead by setting $h$
+to some characteristic water depth. For standing wave reducing to linear wave
+theory formulae is made under the same assumptions.
*** Three-dimensional velocity field
Three-dimensional version of eqref:eq:problem is written as
@@ -958,7 +965,7 @@ Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
\begin{array}{rl}
\zeta_t = & i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
+ & i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
- - & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
+ - & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \SinhX{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
\end{array}
\end{equation*}
where $f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$ and
@@ -971,7 +978,7 @@ coefficients $E$:
\FourierY{\zeta_t}{u,v} = &
\FourierY{i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
+ & \FourierY{i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
- - & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
+ - & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \SinhX{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
\end{array}
\end{equation*}
Final solution is obtained after plugging $E(u,v)$ into eqref:eq:guessed-sol-3d.
diff --git a/preamble.tex b/preamble.tex
@@ -39,6 +39,7 @@
\newcommand{\FunSecond}[1]{\mathcal{D}_2\left(x,#1\right)}
\newcommand{\FunThird}[1]{\mathcal{D}_2\left(x,#1\right)}
\newcommand{\Sinh}[1]{\cosh\left(#1\right)}
+\newcommand{\SinhX}[1]{\sinh\left(#1\right)}
\newcommand{\FourierY}[2]{\mathcal{F}_{#2}\!\left\{#1\right\}}
\newcommand{\InverseFourierY}[2]{\mathcal{F}^{-1}_{#2}\!\left\{#1\right\}}
