commit 29cb7bf9f696f4081638cedb47ebd1299b029bf6
parent d80ae3399ff2d21ec2f24523e27ba2fe2917a7be
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 6 Jan 2017 13:58:02 +0300
Finish pressure part.
- Sync English/Russian version.
- Fix footnotes.
- Fix Fourier transforms.
- Fix formulae.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 180 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
| phd-diss.org | | | 223 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- |
| preamble.tex | | | 3 | +++ |
3 files changed, 293 insertions(+), 113 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -864,25 +864,25 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
обоих частей уравнений Лапласа и получим
\begin{equation*}
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
- \Fourier{\phi(x,z)}(u,v) = 0,
+ \FourierY{\phi(x,z)}{u,v} = 0,
\end{equation*}
откуда имеем $v = \pm i u$. Здесь и далее будет использоваться следующая
симметричная форма преобразования Фурье:
\begin{equation*}
- \Fourier{f(x,y)}(u,v) =
+ \FourierY{f(x,y)}{u,v} =
\iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
f(x,y)
e^{-2\pi i (x u + y v)}
dx dy
\end{equation*}
Решение уравнения будем искать в виде обратного преобразования Фурье
-$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное равенство со
-знаком "+"\footnote{Выражение $v={-i}{u}$ не подходит в данной задаче, поскольку
-потенциал скорости должен стремиться к нулю с увеличением глубины до
-бесконечности.}, решение перепишется как
+$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Подставляя[fn::Выражение $v={-i}{u}$
+не подходит в данной задаче, поскольку потенциал скорости должен стремиться к
+нулю с увеличением глубины до бесконечности.} $v={i}{u}$ в формулу, решение
+перепишется как
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-2d}
- \phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x).
+ \phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
Для того чтобы подстановка $z=\zeta(x,t)$ не помешала использованию
преобразований Фурье в решении, перепишем eqref:eq:guessed-sol-2d в виде
@@ -892,11 +892,11 @@ $\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное
=
\Fun{z}
\ast
- \InverseFourier{E(u)}(x),
+ \InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
где $\Fun{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
-$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение для $\phi$ в
+$\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение для $\phi$ в
граничное условие, получим
\begin{equation*}
\zeta_t
@@ -905,7 +905,7 @@ $\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение
\left[
\Fun{z}
\ast
- \InverseFourier{2\pi u E(u)}(x)
+ \InverseFourierY{2\pi u E(u)}{x}
\right],
\end{equation*}
где $f(x) = {\zeta_x}/{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} - \zeta_x$. Применяя преобразование
@@ -914,9 +914,9 @@ $\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение
E(u) =
\frac{1}{2\pi u}
\frac{
- \Fourier{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}(u)
+ \FourierY{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}{u}
}{
- \Fourier{\Fun{z}}(u)
+ \FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
Выполняя подстановку $z=\zeta(x,t)$ и подставляя полученное выражение в
@@ -926,14 +926,14 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
\boxed{
\phi(x,z)
=
- \InverseFourier{
+ \InverseFourierY{
\frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u}
\frac{
- \Fourier{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }(u)
+ \FourierY{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }{u}
}{
- \Fourier{ \Fun{\zeta(x,t)} }(u)
+ \FourierY{ \Fun{\zeta(x,t)} }{u}
}
- }(x).
+ }{x}.
}
\end{equation}
@@ -955,22 +955,23 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
\begin{equation}
\phi(x,z)
=
- \InverseFourier{
+ \InverseFourierY{
\left( C_1 e^{2\pi u z} + C_2 e^{-2\pi u z} \right)
E(u)
- }(x).
+ }{x}.
\label{eq:guessed-sol-2d-full}
\end{equation}
Подставляя $\phi$ в условие на дне водоема, получим
\begin{equation*}
C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
\end{equation*}
-откуда имеем $C_1=\frac{1}{2} C e^{2\pi u h}$ и $C_2=-\frac{1}{2}C e^{-2\pi u
-h}$. Константа $C$ здесь произвольна, поскольку при подстановке станет частью
-неизвестных коэффициентов $E(u)$. Подставляя полученные выражения для $C_1$ и
-$C_2$ в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем выражение
+откуда имеем $C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}$ и
+$C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}$. Константа $C$ здесь произвольна, поскольку
+при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов $E(u)$. Подставляя
+полученные выражения для $C_1$ и $C_2$ в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем
+выражение
\begin{equation*}
- \phi(x,z) = \InverseFourier{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }(x).
+ \phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
Выполняя аналогичные предыдущему разделу операции, получаем окончательное
выражение для $\phi(x,z)$:
@@ -978,25 +979,25 @@ $C_2$ в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем выражение
\boxed{
\phi(x,z,t)
=
- \InverseFourier{
+ \InverseFourierY{
\frac{\Sinh{2\pi u (z+h)}}{2\pi u}
\frac{
- \Fourier{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }(u)
+ \FourierY{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }{u}
}{
- \Fourier{ \FunSecond{\zeta(x,t)} }(u)
+ \FourierY{ \FunSecond{\zeta(x,t)} }{u}
}
- }(x),
+ }{x},
}
\label{eq:solution-2d-full}
\end{equation}
где $\FunSecond{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
-$\Fourier{\FunSecond{z}}(u) = \Sinh{2\pi u z}$.
+$\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}$.
**** Сведение к формулам линейной теории волн.
Справедливость полученных формул проверим, подставив в качестве $\zeta(x,t)$
-известные аналитические выражения для плоских волн. Для вычисления
-преобразований Фурье символьно воспользуемся пакетом Mathematica
+известные аналитические выражения для плоских волн. Символьные вычисления
+преобразований Фурье в этом разделе производились с помощью пакета Mathematica
cite:mathematica10. В линейной теории широко используется предположение о
малости амплитуд волн, что позволяет упростить исходную систему уравнений
eqref:eq:problem-2d до
@@ -1008,60 +1009,60 @@ eqref:eq:problem-2d до
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
=
- -\InverseFourier{
+ -\InverseFourierY{
\frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u}
- \Fourier{\zeta_t}(u)
- }(x)
+ \FourierY{\zeta_t}{u}
+ }{x}
.
\end{equation*}
-# Таким образом, в линейном случае потенциал скорости волн малых амплитуд равен
-# свертке производной по времени от функции, описывающей взволнованную
-# поверхность, с ... (TODO).
-
-\noindent Профиль прогрессивной волны описывается формулой
-$\zeta(x,t)=A\cos(2\pi (k x - t))$. Подстановка этого выражения в формулу для
-бесконечной глубины дает равенство $\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k} \sin (2 \pi (k x -
-t)) \Sinh{2 \pi k z}$. Чтобы свести его к формуле линейной теории волн,
-необходимо представить гиперболический синус в экспоненциальной форме и
-отбросить член, содержащий $e^{-2\pi k z}$, как противоречащий условию
-$\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$. После взятия
-действительной части выражения получится формула линейной теории $\phi(x,z,t) =
-\frac{A}{k} e^{2 \pi k z} \sin(2 \pi (k x - t))$. Аналогично, предположение о
-малости амплитуд волн позволяет упростить формулу eqref:eq:solution-2d-full до
+Профиль прогрессивной волны описывается формулой $\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))$.
+Подстановка этого выражения в eqref:eq:solution-2d дает равенство
+$\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}$. Чтобы свести его к
+формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
+экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий $e^{-2\pi{k}{z}}$, как
+противоречащий условию $\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$.
+После взятия действительной части выражения получится известная формула линейной
+теории $\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))$. Аналогично,
+предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу
+eqref:eq:solution-2d-full до
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
=
- -\InverseFourier{
+ -\InverseFourierY{
\frac{\Sinh{2\pi u (z+h)}}{2\pi u \Sinh{2\pi u h}}
- \Fourier{\zeta_t}(u)
- }(x).
+ \FourierY{\zeta_t}{u}
+ }{x}.
\end{equation*}
-Подстановка формулы для прогрессивной плоской волны в это выражение дает
+Подстановка формулы для прогрессивной плоской волны вместо $\zeta(x,t)$ дает
равенство
\begin{equation}
-\label{eq:solution-2d-linear}
-\phi(x,z,t)=\frac{A}{k} \frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} } \sin (2 \pi (k x-t)),
+ \label{eq:solution-2d-linear}
+ \phi(x,z,t)=\frac{A}{k}
+ \frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} }
+ \sin(2 \pi (k x-t)),
\end{equation}
что соответствует формуле линейной теории для конечной глубины.
-Различная запись решения уравнения Лапласа, в котором затухающая экспонента
-может встречаться как со знаком "+", так и со знаком "-", может стать
-причиной разницы в формуле, где вместо $\cosh$ будет использоваться $\sinh$.
-Выражение $\frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} } \approx \frac{\cosh
-(2 \pi k (z+h))}{ \cosh (2 \pi k h) }$ превращается в строгое равенство на
-поверхности, и разница между правой левой частью увеличивается при приближении к
-дну водоема (для достаточно большой глубины ошибка вблизи поверхности жидкости
-незначительна), поэтому на практике для расчетов вблизи взволнованной поверности
-можно использовать любую из функций.
+Различные записи решения уравнения Лапласа, в которых затухающая экспонента
+может встречаться как со знаком "+", так и со знаком "-", могут стать причиной
+разницы между формулами линейно теории и формулами, выведенными в данной работе,
+где вместо $\sinh$ используется $\cosh$. Выражение
+$\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}$
+превращается в строгое равенство на поверхности, и разница между правой левой
+частью увеличивается при приближении к дну водоема (для достаточно большой
+глубины ошибка вблизи поверхности жидкости незначительна). Поэтому для
+достаточно большой глубины можно использовать любую из функций ($\cosh$ или
+$\sinh$) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
Сведение формул eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full к формулам
-линейной теории волн показало, что формула eqref:eq:solution-2d не подходит для
-расчета потенциала на бесконечной глубине с использованием численных методов,
-т.к. не обладает необходимой для применения быстрого преобразования Фурье
-симметрией. Для такого случая можно использовать формулу для конечной глубины,
-полагая $h$ равным характерному значению глубины исследуемого водоема. Для
-стоячих волн сведение к формулам линейной теории происходит с аналогичными
-предположениями.
+линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq:solution-2d для жидкости
+бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
+использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для применения
+быстрого преобразования Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно
+использовать формулу для конечной глубины, полагая $h$ равным характерному
+значению глубины исследуемого водоема. Для стоячих волн сведение к формулам
+линейной теории происходит с аналогичными предположениями.
+
*** Трехмерное поле скоростей
В трех измерениях исходная система уравнений eqref:eq:problem переписывается как
\begin{align}
@@ -1073,50 +1074,51 @@ $\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$. После взятия
+\frac{\zeta_y}{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1 + \zeta_y^2}}} \phi_y
- \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,y,t).\nonumber
\end{align}
-Для ее решения воспользуемся методом Фурье. Возьмем преобразование Фурье от
-обоих частей уравнений Лапласа и получим
+Для ее решения также воспользуемся методом Фурье. Возьмем преобразование Фурье
+от обоих частей уравнений Лапласа и получим
\begin{equation*}
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 + w^2 \right)
- \Fourier{\phi(x,y,z)}(u,v,w) = 0,
+ \FourierY{\phi(x,y,z)}{u,v,w} = 0,
\end{equation*}
-откуда имеем $w = \pm i \sqrt{u^2 + v^2}$. Решение уравнения будем искать в виде
-обратного преобразования Фурье $\phi(x,y,z) = \InverseFourier{E(u,v,w)}(x,y,z)$.
+откуда имеем $w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}$. Решение уравнения будем искать в виде
+обратного преобразования Фурье $\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}$.
Применяя полученное равенство, получаем
\begin{equation*}
- \phi(x,y,z) = \InverseFourier{
+ \phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
\left(
C_1 e^{2\pi \sqrt{u^2+v^2} z}
-C_2 e^{-2\pi \sqrt{u^2+v^2} z}
\right)
E(u,v)
- }(x,y).
+ }{x,y}.
\end{equation*}
Подставляя $\phi$ в условие на дне водоема аналогично двухмерному случаю,
получаем
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-3d}
- \phi(x,y,z) = \InverseFourier{
+ \phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
\Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
- }(x,y).
+ }{x,y}.
\end{equation}
Подставляя выражение для $\phi$ в граничное условие, получим
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
- \zeta_t = & i f_1(x) \InverseFourier{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}(x,y) \\
- + & i f_2(x) \InverseFourier{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}(x,y) \\
- - & \InverseFourier{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}(x,y)
+ \zeta_t = & i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
+ + & i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
+ - & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
\end{array}
\end{equation*}
-где $f_1(x,y) = {\zeta_x}/{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} - \zeta_x$ и
-$f_2(x,y) = {\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1 + \zeta_y^2}}} - \zeta_y$.
-Применяя преобразование Фурье к обеим частям, получаем выражение для коэффициентов $E$:
+где $f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$ и
+$f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$.
+Применяя преобразование Фурье к обеим частям, получаем выражение для
+коэффициентов $E$:
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
- \Fourier{\zeta_t}(u,v) = &
- \Fourier{i f_1(x) \InverseFourier{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}}(x,y)}(u,v) E(u,v)\\
- + & \Fourier{i f_2(x) \InverseFourier{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}}(x,y)}(u,v) E(u,v)\\
+ \FourierY{\zeta_t}{u,v} = &
+ \FourierY{i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
+ + & \FourierY{i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
- & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
\end{array}
\end{equation*}
@@ -1270,8 +1272,8 @@ $2^{19937}-1$. Если предположить, что взволнованн
:END:
В решениях двухмерной задачи eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full
-присутствуют функции $\Fun{z}=\InverseFourier{e^{2\pi u z}}(x)$ и
-$\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут быть
+присутствуют функции $\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi u z}}{x}$ и
+$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi u z}}{x}$, которые могут быть
представлены аналитически различными выражениями, представляющими сложность для
вычислений на компьютере. Каждая из функций является преобразованием Фурье от
линейной комбинации экспонент, которое для таких функций определено неоднозначно
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -84,7 +84,7 @@ was still much work to be done to make it useful in practice.
Usually, such formulae are derived for a particular model by substituting
wave profile into the eq. eqref:eq:problem, however, ARMA process does not
provide explicit wave profile formula, so this problem had to be solved for
- general wavy surface (which is not defined by an analytic expression),
+ general wavy surface (which is not defined by an analytic formula),
without linearisation of boundaries and assumption of small-amplitude waves.
4. Finally, verify wavy surface integral characteristics to match the ones of
real ocean waves.
@@ -149,7 +149,7 @@ programming language allowing visual control of programme correctness.
ARMA model is verified by comparing generated wavy surface integral
characteristics (distribution of wave elevation, wave heights and lengths etc.)
to the ones of real ocean waves. Pressure field formula is derived in
-Mathematica language, where resulting expressions are verified by built-in
+Mathematica language, where resulting formulae are verified by built-in
graphical means.
ARMA model and pressure field formula were incorporated into Large Amplitude
@@ -281,7 +281,7 @@ is mostly a different problem.
coefficients, has complex block-block structure.
2. Optimal model order (in a sense that target spectrum agrees with initial) is
determined manually.
-3. Instead of PM spectrum, analytic expressions for standing and propagating
+3. Instead of PM spectrum, analytic formulae for standing and propagating
waves ACF are used as the model input.
4. Three-dimensional wavy surface should be compatible with real ocean surface
not only in terms of spectral characteristics, but also in the shape of wave
@@ -639,7 +639,7 @@ where
\end{equation*}
$H_m$ --- Hermite polynomial, and $f(y)$ --- solution to equation
eqref:eq:distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
-$f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i$ and analytic expressions for Hermite
+$f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i$ and analytic formulae for Hermite
polynomial yields
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
@@ -721,24 +721,24 @@ Use Fourier method to solve this problem. Applying Fourier transform to both
sides of the equation yields
\begin{equation*}
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
- \Fourier{\phi(x,z)}(u,v) = 0,
+ \FourierY{\phi(x,z)}{u,v} = 0,
\end{equation*}
hence $v = \pm i u$. Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier
transform:
\begin{equation*}
- \Fourier{f(x,y)}(u,v) =
+ \FourierY{f(x,y)}{u,v} =
\iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
f(x,y)
e^{-2\pi i (x u + y v)}
dx dy
\end{equation*}
We seek solution in the form of inverse Fourier transform
-$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Plugging
-$v={i}{u}$\footnote{$v={-i}{u}$ is not applicable because velocity potential
-must go to nought when depth goes to infinity.} into the formula yields
+$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Plugging[fn::$v={-i}{u}$ is not
+applicable because velocity potential must go to nought when depth goes to
+infinity.] $v={i}{u}$ into the formula yields
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-2d}
- \phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x).
+ \phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
In order to make substitution $z=\zeta(x,t)$ not interfere with Fourier
transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
@@ -747,12 +747,12 @@ transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
=
\Fun{z}
\ast
- \InverseFourier{E(u)}(x),
+ \InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
where $\Fun{z}$ --- a function, form of which is defined in section
[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
-$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Plugging expressions for $\phi$ into the
-boundary condition yields
+$\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Plugging formula $\phi$ into the boundary
+condition yields
\begin{equation*}
\zeta_t
=
@@ -760,7 +760,7 @@ boundary condition yields
\left[
\Fun{z}
\ast
- \InverseFourier{2\pi u E(u)}(x)
+ \InverseFourierY{2\pi u E(u)}{x}
\right],
\end{equation*}
where $f(x)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$. Applying Fourier transform
@@ -769,9 +769,9 @@ to both sides of this equation yields formula for coefficients $E$:
E(u) =
\frac{1}{2\pi u}
\frac{
- \Fourier{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}(u)
+ \FourierY{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}{u}
}{
- \Fourier{\Fun{z}}(u)
+ \FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
Finally, substituting $z$ for $\zeta(x,t)$ and plugging resulting equation into
@@ -781,14 +781,14 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for $\phi(x,z)$:
\boxed{
\phi(x,z)
=
- \InverseFourier{
+ \InverseFourierY{
\frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u}
\frac{
- \Fourier{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }(u)
+ \FourierY{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }{u}
}{
- \Fourier{ \Fun{\zeta(x,t)} }(u)
+ \FourierY{ \Fun{\zeta(x,t)} }{u}
}
- }(x).
+ }{x}.
}
\end{equation}
@@ -802,8 +802,179 @@ depth fluid with wittingly large depth $h$. This formula is derived in the
following section.
**** Formula for finite depth fluid.
+On the sea bottom vertical fluid velocity component equals nought: $\phi_z=0$ on
+$z=-h$, where $h$ --- water depth. In this case equation $v=-{i}{u}$, which came
+from Laplace equation, can not be neglected, hence the solution is sought in the
+following form:
+\begin{equation}
+ \phi(x,z)
+ =
+ \InverseFourierY{
+ \left( C_1 e^{2\pi u z} + C_2 e^{-2\pi u z} \right)
+ E(u)
+ }{x}.
+ \label{eq:guessed-sol-2d-full}
+\end{equation}
+Plugging $\phi$ into the boundary condition on the sea bottom yields
+\begin{equation*}
+ C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
+\end{equation*}
+hence $C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}$ and
+$C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}$. Constant $C$ may take arbitrary value
+here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients $E(u)$.
+Plugging formulae for $C_1$ and $C_2$ into eqref:eq:guessed-sol-2d-full yields
+\begin{equation*}
+ \phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
+\end{equation*}
+Performing analogous to the previous section transformations yields final
+formula for $\phi(x,z)$:
+\begin{equation}
+\boxed{
+ \phi(x,z,t)
+ =
+ \InverseFourierY{
+ \frac{\Sinh{2\pi u (z+h)}}{2\pi u}
+ \frac{
+ \FourierY{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }{u}
+ }{
+ \FourierY{ \FunSecond{\zeta(x,t)} }{u}
+ }
+ }{x},
+}
+ \label{eq:solution-2d-full}
+\end{equation}
+where $\FunSecond{z}$ --- a function, form of which is defined in section
+[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
+$\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}$.
+
**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
+Check the validity of derived formulae by substituting $\zeta(x,t)$ with known
+analytic formula for plain waves. Symbolic computation of Fourier transforms in
+this section were performed in Mathematica cite:mathematica10. In the framework
+of linear wave theory assume that waves have small amplitude compared to their
+lengths, which allows us simplifying initial system of equations
+eqref:eq:problem-2d to
+\begin{align*}
+ & \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
+ & \zeta_t = -\phi_z & \text{на }z=\zeta(x,t),
+\end{align*}
+solution to which is written as
+\begin{equation*}
+ \phi(x,z,t)
+ =
+ -\InverseFourierY{
+ \frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u}
+ \FourierY{\zeta_t}{u}
+ }{x}
+ .
+\end{equation*}
+Propagating wave profile is defined as $\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))$. Plugging
+this formula into eqref:eq:solution-2d yields
+$\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}$. In order to reduce
+it to the formula from linear wave theory, rewrite hyperbolic sine in
+exponential form, discard the term containing $e^{-2\pi{k}{z}}$ as contradicting
+condition $\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$. Taking real
+part of the resulting formula yields
+$\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))$, which corresponds to
+the known formula from linear wave theory. Similarly, under small-amplitude
+waves assumption the formula for finite depth fluid eqref:eq:solution-2d-full is
+reduced to
+\begin{equation*}
+ \phi(x,z,t)
+ =
+ -\InverseFourierY{
+ \frac{\Sinh{2\pi u (z+h)}}{2\pi u \Sinh{2\pi u h}}
+ \FourierY{\zeta_t}{u}
+ }{x}.
+\end{equation*}
+Substituting $\zeta(x,t)$ with propagating plain wave profile formula yields
+\begin{equation}
+ \label{eq:solution-2d-linear}
+ \phi(x,z,t)=\frac{A}{k}
+ \frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} }
+ \sin(2 \pi (k x-t)),
+\end{equation}
+which corresponds to the formula from linear wave theory for finite depth fluid.
+
+Different forms of Laplace equation solutions, in which decaying exponent is
+written with either "+" or "-" signs, may cause incompatibilities between
+formulae from linear wave theory and formulae derived in this work, where
+$\sinh$ is used instead of $\cosh$. Equality
+$\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}$
+becomes strict on the free surface, and difference between left-hand and
+right-hand sides increases when approaching sea bottom (for sufficiently large
+depth difference near free surface is negligible). So, for sufficiently large
+depth any function ($\cosh$ or $\sinh$) may be used for velocity potential
+computation near free surface.
+
+Reducing eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full to the known formulae
+from linear wave theory shows, that formula for infinite depth
+eqref:eq:solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
+method, because it does not have symmetry, which is required for discrete
+Fourier transform. However, formula for finite depth can be used instead by
+setting $h$ to some characteristic water depth. For standing wave reducing to
+linear wave theory formulae is made under the same assumptions.
+
*** Three-dimensional velocity field
+Three-dimensional version of eqref:eq:problem is written as
+\begin{align}
+ \label{eq:problem-3d}
+ & \phi_xx + \phi_yy + \phi_zz = 0,\\
+ & \zeta_t + \zeta_x\phi_x + \zeta_y\phi_y
+ =
+ \frac{\zeta_x}{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} \phi_x
+ +\frac{\zeta_y}{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1 + \zeta_y^2}}} \phi_y
+ - \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,y,t).\nonumber
+\end{align}
+Again, use Fourier method to solve it. Applying Fourier transform to both sides
+of Laplace equation yields
+\begin{equation*}
+ -4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 + w^2 \right)
+ \FourierY{\phi(x,y,z)}{u,v,w} = 0,
+\end{equation*}
+hence $w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}$. We seek solution in the form of inverse Fourier
+transform $\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}$. Plugging
+$w=i\sqrt{u^2+v^2}$ into the formula yields
+\begin{equation*}
+ \phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
+ \left(
+ C_1 e^{2\pi \sqrt{u^2+v^2} z}
+ -C_2 e^{-2\pi \sqrt{u^2+v^2} z}
+ \right)
+ E(u,v)
+ }{x,y}.
+\end{equation*}
+Plugging $\phi$ into the boundary condition on the sea bottom (analogous to
+two-dimensional case) yields
+\begin{equation}
+ \label{eq:guessed-sol-3d}
+ \phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
+ \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
+ }{x,y}.
+\end{equation}
+Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
+\begin{equation*}
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rl}
+ \zeta_t = & i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
+ + & i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y} \\
+ - & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
+ \end{array}
+\end{equation*}
+where $f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$ and
+$f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$.
+Applying Fourier transform to both sides of the equation yields formula for
+coefficients $E$:
+\begin{equation*}
+ \arraycolsep=1.4pt
+ \begin{array}{rl}
+ \FourierY{\zeta_t}{u,v} = &
+ \FourierY{i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
+ + & \FourierY{i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
+ - & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
+ \end{array}
+\end{equation*}
+Final solution is obtained after plugging $E(u,v)$ into eqref:eq:guessed-sol-3d.
* Numerical methods and experimental results
** The shape of ACF for different types of waves
@@ -818,10 +989,10 @@ the absolute square of the function:
\label{eq:wiener-khinchin}
\end{equation}
When $\zeta$ is replaced with actual wave profile, this formula gives you
-analytic expression for the corresponding ACF.
+analytic formula for the corresponding ACF.
For three-dimensional wave profile (2D in space and 1D in time) analytic
-expression is a polynomial of high order and is best obtained via computer
+formula is a polynomial of high order and is best obtained via computer
algebra software. Then for practical usage it can be approximated by
superposition of exponentially decaying cosines (which is how ACF of a
stationary ARMA process looks like cite:box1976time).
@@ -847,7 +1018,7 @@ For three-dimensional standing wave the profile is approximated by
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:standing-wave}
\end{equation}
-In order to get ACF via analytic method one needs to multiply this expression by
+In order to get ACF via analytic method one needs to multiply this formula by
a decaying exponent, because Fourier transform is defined for a function $f$ that
$f \underset{x \rightarrow \pm \infty}{\longrightarrow} 0$. The formula of the
profile then transforms to
@@ -858,7 +1029,7 @@ profile then transforms to
\sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
\label{eq:decaying-standing-wave}
\end{equation}
-Then, if one takes 3D Fourier transform of this expression via any capable
+Then, if one takes 3D Fourier transform of this formula via any capable
computer algebra software, the resulting polynomial may be fitted to the
following ACF approximation.
\begin{equation}
@@ -920,6 +1091,10 @@ found in the following steps:
*** Wave elevation distribution approximation
*** White noise generation
*** Wavy surface generation
+*** Velocity potential normalisation formulae
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
+:END:
** ARMA model verification
*** Numerical experiments implementation methodology
*** Verification of wavy surface integral characteristics
diff --git a/preamble.tex b/preamble.tex
@@ -40,5 +40,8 @@
\newcommand{\FunThird}[1]{\mathcal{D}_2\left(x,#1\right)}
\newcommand{\Sinh}[1]{\cosh\left(#1\right)}
+\newcommand{\FourierY}[2]{\mathcal{F}_{#2}\!\left\{#1\right\}}
+\newcommand{\InverseFourierY}[2]{\mathcal{F}^{-1}_{#2}\!\left\{#1\right\}}
+
\newcommand{\FourierX}[3]{\mathcal{F}_{#2}\!\left\{#1\right\}\!\left(#3\right)}
\newcommand{\InverseFourierX}[3]{\mathcal{F}^{-1}_{#2}\!\left\{#1\right\}\!\left(#3\right)}
