commit 3583a4005418afd97c28778a015b64d32287394e
parent a496738a1560259cc718c9f6226e63d139bc2125
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 7 Nov 2017 10:43:16 +0300
Fill paragraphs.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 175 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------------------------- |
| arma-thesis.org | | | 138 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
2 files changed, 160 insertions(+), 153 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -16,8 +16,9 @@
для расчета качки судна, оценки величины воздействия внешних сил на плавучую
платформу или другой морской объект, а также для оценки вероятности
опрокидывания судна при заданных погодных условиях; однако, большинство из них
-используют линейную теорию для моделирования морского волнения\nbsp{}cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development, в
-рамках которой сложно воспроизвести определенные особенности ветро-волнового
+используют линейную теорию для моделирования морского
+волнения\nbsp{}cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development,
+в рамках которой сложно воспроизвести определенные особенности ветро-волнового
климата. Среди них можно выделить переход от нормальных погодных условий к
шторму и волнение, вызванное наложением множества систем ветровых волн и волн
зыби, распространяющихся в нескольких направлениях. Другой недостаток линейной
@@ -268,7 +269,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
независимости от спектра, подаваемого на вход модели. Использование меньшего
количества коэффициентов может решить проблему, но также уменьшит период
реализации. Таким образом, использование модели ЛХ для генерации волн с
- негауссовым распределением аппликат (которое имеют реальные морские волны\nbsp{}cite:huang1980experimental,рожков1996теория) не реализуемо на практике.
+ негауссовым распределением аппликат (которое имеют реальные морские
+ волны\nbsp{}cite:huang1980experimental,рожков1996теория) не реализуемо на
+ практике.
2. С вычислительной точки зрения, недостатком модели является нелинейный рост
времени генерации поверхности с увеличением размера реализации. Чем больше
размер реализации, тем больше коэффициентов (дискретных точек
@@ -292,16 +295,17 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
в качестве основы для построения более совершенных моделей.
**** Модель АРСС.
-В\nbsp{}cite:spanos1982arma модель АРСС используется для генерации временного ряда,
-спектр которого совпадает с аппроксимацией Пирсона---Московица для спектров
-морского волнения. Авторы проводят эксперименты для одномерных моделей АР, СС и
-АРСС. Они отмечают превосходное совпадение полученного и исходного спектров и
-более высокую вычислительную эффективность модели АРСС по сравнению с
+В\nbsp{}cite:spanos1982arma модель АРСС используется для генерации временного
+ряда, спектр которого совпадает с аппроксимацией Пирсона---Московица для
+спектров морского волнения. Авторы проводят эксперименты для одномерных моделей
+АР, СС и АРСС. Они отмечают превосходное совпадение полученного и исходного
+спектров и более высокую вычислительную эффективность модели АРСС по сравнению с
моделями, основанными на суммировании большого числа гармоник со случайными
фазами. Также отмечается, что для того чтобы спектр полученного временного ряда
совпадал с заданным, модели СС требуется меньшее количество коэффициентов, чем
-модели АР. В\nbsp{}cite:spanos1996efficient автор обобщает формулы для нахождения
-коэффициентов модели АРСС для случая нескольких (векторов) переменных.
+модели АР. В\nbsp{}cite:spanos1996efficient автор обобщает формулы для
+нахождения коэффициентов модели АРСС для случая нескольких (векторов)
+переменных.
Отличие данной работы от вышеперечисленных отличается в исследовании трехмерной
модели АРСС (два пространственных и одно временное измерение), что во многом
@@ -324,8 +328,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
а не является абстрактным многомерным случайным процессом, совпадающим с
реальным лишь статистически.
-В\nbsp{}cite:fusco2010short модель АР используется для прогнозирования волн зыби для
-управления преобразователем энергии волн (ПЭВ) в реальном времени. Для
+В\nbsp{}cite:fusco2010short модель АР используется для прогнозирования волн зыби
+для управления преобразователем энергии волн (ПЭВ) в реальном времени. Для
эффективной работы ПЭВ необходимо чтобы частота встроенного осциллятора
совпадала с частотой морских волн. Авторы статьи представляют подъем волны как
временной ряд и сравнивают эффективность модели АР, нейронных сеть и циклических
@@ -512,9 +516,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\Theta_{\vec j}^2
}.
\end{equation*}
-Авторы\nbsp{}cite:box1976time предлагают использовать метод Ньютона---Рафсона для
-решения этого уравнения с большей точностью, однако, этот метод не подходит для
-трех измерений. Использование более медленного метода не оказывает большого
+Авторы\nbsp{}cite:box1976time предлагают использовать метод Ньютона---Рафсона
+для решения этого уравнения с большей точностью, однако, этот метод не подходит
+для трех измерений. Использование более медленного метода не оказывает большого
эффекта на общую производительность программы, потому что количество
коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на генерацию
взволнованной поверхности.
@@ -555,19 +559,19 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
АР, однако, для того чтобы АКФ результирующего процесса соответствовала
заданной, необходимо предварительно скорректировать значения коэффициентов АР.
Существует несколько способов "смешивания" процессов АР и СС.
-- Подход, предложенный авторами\nbsp{}cite:box1976time, который включается в себя
- разделение АКФ на часть для процесса АР и часть для процесса СС по каждому из
- измерений, не подходит в данной ситуации, поскольку в трех измерениях
- невозможно таким образом разделить АКФ: всегда останутся части, которые не
- будут учтены ни в процессе АР, ни в процессе СС.
+- Подход, предложенный авторами\nbsp{}cite:box1976time, который включается в
+ себя разделение АКФ на часть для процесса АР и часть для процесса СС по
+ каждому из измерений, не подходит в данной ситуации, поскольку в трех
+ измерениях невозможно таким образом разделить АКФ: всегда останутся части,
+ которые не будут учтены ни в процессе АР, ни в процессе СС.
- Альтернативный подход состоит в использование одной и той же (неразделенной)
АКФ для обоих процессов разных порядков, однако, тогда характеристики
реализации (математической ожидание, дисперсия и др.) будут смещены: они
станут характеристика двух наложенных друг на друга процессов.
-Для первого подхода авторами\nbsp{}cite:box1976time предложена формула корректировки
-коэффициентов процесса АР, для второго же подхода такой формулы нет. Таким
-образом, лучшим решением на данный момент является использование процессов АР и
-СС по отдельности.
+Для первого подхода авторами\nbsp{}cite:box1976time предложена формула
+корректировки коэффициентов процесса АР, для второго же подхода такой формулы
+нет. Таким образом, лучшим решением на данный момент является использование
+процессов АР и СС по отдельности.
**** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн.
:PROPERTIES:
@@ -586,8 +590,8 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
Другой проблемой является невозможность автоматического определения оптимального
количества коэффициентов для трехмерных процессов АР и СС. Для одномерных
-процессов существуют итеративные методы\nbsp{}cite:box1976time, однако они расходятся
-в трехмерном случае.
+процессов существуют итеративные методы\nbsp{}cite:box1976time, однако они
+расходятся в трехмерном случае.
Последней проблемой, которая описана в разделе [[#sec:how-to-mix-ARMA]], является
невозможность "смешать" процесс АР и СС в трех измерениях.
@@ -614,17 +618,18 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
** Известные формулы определения поля давлений
**** Теория волн малых амплитуд.
-В\nbsp{}cite:stab2012,детярев1998моделирование,degtyarev1997analysis дается решение
-обратной задачи гидродинамики для случая идеальной несжимаемой жидкости в рамках
-теории волн малых амплитуд (в предположении, что длина волны много больше ее
-высоты: \(\lambda \gg h\)). В этом случае обратная задача линейна и сводится к
-уравнению Лапласа со смешанным граничным условием, а уравнение движения
-используется только для нахождения давлений по известным значениям производных
-потенциала скорости. Предположение о малости амплитуд волн означает слабое
-изменение локального волнового числа во времени и пространстве по сравнению с
-подъемом (аппликатой) взволнованной поверхности. Это позволяет вычислить
-производную подъема поверхности по \(z\) как \(\zeta_z=k\zeta\), где \(k\)\nbsp{}---
-волновое число. В двухмерном случае решение записывается явной формулой
+В\nbsp{}cite:stab2012,детярев1998моделирование,degtyarev1997analysis дается
+решение обратной задачи гидродинамики для случая идеальной несжимаемой жидкости
+в рамках теории волн малых амплитуд (в предположении, что длина волны много
+больше ее высоты: \(\lambda \gg h\)). В этом случае обратная задача линейна и
+сводится к уравнению Лапласа со смешанным граничным условием, а уравнение
+движения используется только для нахождения давлений по известным значениям
+производных потенциала скорости. Предположение о малости амплитуд волн означает
+слабое изменение локального волнового числа во времени и пространстве по
+сравнению с подъемом (аппликатой) взволнованной поверхности. Это позволяет
+вычислить производную подъема поверхности по \(z\) как \(\zeta_z=k\zeta\), где
+\(k\)\nbsp{}--- волновое число. В двухмерном случае решение записывается явной
+формулой
\begin{align}
\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
-\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{-I(x)}
@@ -1020,8 +1025,8 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
** Моделирование нелинейности морских волн
Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
т.е. генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
-ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
-морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
+ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для
+реальных морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
преобразования (НБП) случайного процесса, однако, любое нелинейное
@@ -1126,15 +1131,15 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
нахождения формы АКФ, не требующий использования сложного программного
обеспечения. Известно, что АКФ, представляющая собой суперпозицию
экспоненциально затухающих косинусов, является решением уравнения Стокса для
-гравитационных волн\nbsp{}cite:boccotti1983wind. Значит, если в моделируемом морском
-волнении важна только форма волны, а не точные ее характеристики, то заданный
-волновой профиль можно просто домножить на затухающую экспоненту, чтобы получить
-подходящую АКФ. Эта АКФ не отражает параметры волн, такие как высота и период,
-зато это открывает возможность моделировать волны определенных неаналитических
-форм, "рисуя" профиль волны, домножая его на экспоненту и используя
-результирующую функцию в качестве АКФ. Таким образом, эмпирический метод
-неточен, но более простой по сравнению с применением теоремы Винера---Хинчина;
-он, в основном, полезен для тестирования модели АРСС.
+гравитационных волн\nbsp{}cite:boccotti1983wind. Значит, если в моделируемом
+морском волнении важна только форма волны, а не точные ее характеристики, то
+заданный волновой профиль можно просто домножить на затухающую экспоненту, чтобы
+получить подходящую АКФ. Эта АКФ не отражает параметры волн, такие как высота и
+период, зато это открывает возможность моделировать волны определенных
+неаналитических форм, "рисуя" профиль волны, домножая его на экспоненту и
+используя результирующую функцию в качестве АКФ. Таким образом, эмпирический
+метод неточен, но более простой по сравнению с применением теоремы
+Винера---Хинчина; он, в основном, полезен для тестирования модели АРСС.
**** АКФ стоячей волны.
Профиль трехмерной плоской стоячей волны задается как
@@ -1222,10 +1227,10 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
полиномиальной аппроксимацией натурных данных, либо аналитически.
**** Разложение в ряд Грама---Шарлье.
-В\nbsp{}cite:huang1980experimental было экспериментально показано, что распределение
-аппликат морской поверхности отличается от нормального ненулевым эксцессом и
-асимметрией. В\nbsp{}cite:рожков1996теория показано, что такое распределение
-раскладывается в ряд Грама---Шарлье:
+В\nbsp{}cite:huang1980experimental было экспериментально показано, что
+распределение аппликат морской поверхности отличается от нормального ненулевым
+эксцессом и асимметрией. В\nbsp{}cite:рожков1996теория показано, что такое
+распределение раскладывается в ряд Грама---Шарлье:
\begin{align}
\label{eq-skew-normal-1}
& F(z; \mu=0, \sigma=1, \gamma_1, \gamma_2) \approx
@@ -1292,12 +1297,12 @@ legend(
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
\end{align}
-где \(T\)\nbsp{}--- функция Оуэна\nbsp{}cite:owen1956tables. Эта формула не позволяет задать
-значения асимметрии и эксцесса по отдельности\nbsp{}--- оба значения регулируются
-параметром \(\alpha\). Преимущество данной формулы лишь в относительной простоте
-вычисления: эта функция встроена в некоторые программы и библиотеки
-математических функций. График функции для разных значений \(\alpha\) представлен
-на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
+где \(T\)\nbsp{}--- функция Оуэна\nbsp{}cite:owen1956tables. Эта формула не
+позволяет задать значения асимметрии и эксцесса по отдельности\nbsp{}--- оба
+значения регулируются параметром \(\alpha\). Преимущество данной формулы лишь в
+относительной простоте вычисления: эта функция встроена в некоторые программы и
+библиотеки математических функций. График функции для разных значений \(\alpha\)
+представлен на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
#+name: fig-skew-normal-2
#+begin_src R :file build/skew-normal-2-ru.pdf
@@ -1459,19 +1464,19 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
распределений различных характеристик волн.
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
-В\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные авторы показывают, что некоторые характеристики
-морских волн (перечисленные в табл.\nbsp{}[[tab-weibull-shape]]) имеют распределение
-Вейбулла, а подъем взволнованной поверхности\nbsp{}--- нормальное распределение. Для
-верификации генерируемых моделями АР и СС реализаций используются спрямленные
-диаграммы (графики, в которых по оси \(OX\) откладываются квантили функции
-распределения, вычисленные аналитически, а по оси \(OY\)\nbsp{}--- вычисленные
-экспериментально). Если экспериментально полученное распределение соответствует
-аналитическому, то график представляет собой прямую линию. Концы графика могут
-отклоняться от прямой линии, поскольку не могут быть надежно получены из
-реализации конечной длины. Различные методы извлечения волн из реализации также
-могут привести к вариациям на концах графиков, извлечь каждую волну из
-реализации практически невозможно, поскольку они могут (и часто) накладываются
-друг на друга.
+В\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные авторы показывают, что некоторые
+характеристики морских волн (перечисленные в табл.\nbsp{}[[tab-weibull-shape]])
+имеют распределение Вейбулла, а подъем взволнованной поверхности\nbsp{}---
+нормальное распределение. Для верификации генерируемых моделями АР и СС
+реализаций используются спрямленные диаграммы (графики, в которых по оси \(OX\)
+откладываются квантили функции распределения, вычисленные аналитически, а по оси
+\(OY\)\nbsp{}--- вычисленные экспериментально). Если экспериментально полученное
+распределение соответствует аналитическому, то график представляет собой прямую
+линию. Концы графика могут отклоняться от прямой линии, поскольку не могут быть
+надежно получены из реализации конечной длины. Различные методы извлечения волн
+из реализации также могут привести к вариациям на концах графиков, извлечь
+каждую волну из реализации практически невозможно, поскольку они могут (и часто)
+накладываются друг на друга.
#+name: tab-weibull-shape
#+caption: Значение коэффициента формы \(k\) распределения Вейбулла для различных характеристик волн.
@@ -3258,12 +3263,12 @@ Zookeeper был бы лишним в данной конфигурации.
Такая же проблема возникает в планировщиках задач для высокопроизводительных
вычислений, руководящий узел (на котором запущен главный процесс планировщика
задач) является единой точкой сбоя.
-В\nbsp{}cite:uhlemann2006joshua,engelmann2006symmetric авторы копируют
-состояние планировщика задач на резервный узел, чтобы обеспечить высокую
-доступность руководящего узла, но роль резервного узла задается статически.
-Такое решение близко к симметричной архитектуре, поскольку не использует внешний
-сервис для обеспечения высокой доступности, но далеко от идеала, в котором
-резервный узел выбирается динамически.
+В\nbsp{}cite:uhlemann2006joshua,engelmann2006symmetric авторы копируют состояние
+планировщика задач на резервный узел, чтобы обеспечить высокую доступность
+руководящего узла, но роль резервного узла задается статически. Такое решение
+близко к симметричной архитектуре, поскольку не использует внешний сервис для
+обеспечения высокой доступности, но далеко от идеала, в котором резервный узел
+выбирается динамически.
Наконец, наиболее простой вариант высокой доступности руководящего узла
реализован в протоколе VRRP (Virtual Router Redundancy
@@ -3272,8 +3277,8 @@ Protocol)\nbsp{}cite:rfc2338,rfc3768,rfc5798. Несмотря на то что
планировщиках задач, поскольку спроектирован для маршрутизаторов, за которыми
стоят инвертированные прокси-серверы. В таких серверах отсутствует состояние
(очередь задач), которое необходимо восстановить после выхода из строя узла,
-поэтому их высокую доступность обеспечить проще. Это может быть реализовано
-даже без маршрутизаторов, используя вместо этого сервис
+поэтому их высокую доступность обеспечить проще. Это может быть реализовано даже
+без маршрутизаторов, используя вместо этого сервис
Keepalived\nbsp{}cite:cassen2002keepalived.
Симметричная архитектура выгодна для планировщиков задач, поскольку позволяет
@@ -3433,12 +3438,12 @@ Keepalived\nbsp{}cite:cassen2002keepalived.
- выход из строя главного узла (на котором запускается главный объект),
- выход из строя подчиненного узла (на который копируется главный объект
программы).
-Только два напрямую соединенных узла кластера были использованы в тесте. Выход из
-строя узла имитировался путем отправки сигнала ~SIGKILL~ резидентному процессу
-на соответствующем узле, сразу после того как копия главного объекта создана.
-Приложение сразу обнаруживало выход из строя узла, поскольку соответствующее
-соединение закрывалось; на практике, однако, выход узла из строя обнаруживается
-только по прошествии настраиваемого время ожидания протокола
+Только два напрямую соединенных узла кластера были использованы в тесте. Выход
+из строя узла имитировался путем отправки сигнала ~SIGKILL~ резидентному
+процессу на соответствующем узле, сразу после того как копия главного объекта
+создана. Приложение сразу обнаруживало выход из строя узла, поскольку
+соответствующее соединение закрывалось; на практике, однако, выход узла из строя
+обнаруживается только по прошествии настраиваемого время ожидания протокола
TCP\nbsp{}cite:rfc5482. Время выполнения этих запусков сравнивалось со временем
выполнения без имитирования выхода из строя узлов. Результаты тестов
представлены на рис.\nbsp{}[[fig-master-slave-failure]], а схема распределения
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -15,17 +15,19 @@
Software programmes, which simulates vessel behaviour in sea waves, are widely
used to model ship motion, estimate impact of external forces on floating
platform or other marine object, and estimate capsize probability under given
-weather conditions; however, to model sea waves most of the simulation codes
-use linear wave theory\nbsp{}cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development, in
-the framework of which it is difficult to reproduce certain peculiarities of
+weather conditions; however, to model sea waves most of the simulation codes use
+linear wave
+theory\nbsp{}cite:shin2003nonlinear,van2007forensic,kat2001prediction,van2002development,
+in the framework of which it is difficult to reproduce certain peculiarities of
wind wave climate. Among them are transition between normal and storm weather,
-and sea composed of multiple wave systems\nbsp{}--- both wind waves and swell\nbsp{}---
-heading from multiple directions. Another shortcoming of linear wave theory is
-an assumption, that wave amplitude is small compared to wave length. This makes
-calculations imprecise when modelling ship motion in irregular waves, for which
-the assumption does not hold. So, studying new and more advanced models and
-methods for sea simulation software may increase number of its application
-scenarios and foster a study of ship motion in extreme conditions in particular.
+and sea composed of multiple wave systems\nbsp{}--- both wind waves and
+swell\nbsp{}--- heading from multiple directions. Another shortcoming of linear
+wave theory is an assumption, that wave amplitude is small compared to wave
+length. This makes calculations imprecise when modelling ship motion in
+irregular waves, for which the assumption does not hold. So, studying new and
+more advanced models and methods for sea simulation software may increase number
+of its application scenarios and foster a study of ship motion in extreme
+conditions in particular.
**** State-of-the-art.
Autoregressive moving average (ARMA) model emerged in response to difficulties
@@ -275,16 +277,16 @@ framework of linear wave theory, inefficient for long-time simulations, and
difficult to use as a base for more advanced models.
**** ARMA model
-In\nbsp{}cite:spanos1982arma ARMA model is used to generate time series spectrum of
-which is compatible with Pierson---Moskowitz (PM) approximation of sea wave
+In\nbsp{}cite:spanos1982arma ARMA model is used to generate time series spectrum
+of which is compatible with Pierson---Moskowitz (PM) approximation of sea wave
spectrum. The authors carry out experiments for one-dimensional AR, MA and ARMA
models. They mention excellent agreement between target and initial spectra and
higher performance of ARMA model compared to models based on summing large
number of harmonic components with random phases. The also mention that in order
to reach agreement between target and initial spectrum MA model require lesser
-number of coefficients than AR model. In\nbsp{}cite:spanos1996efficient the authors
-generalise ARMA model coefficients determination formulae for multi-variate
-(vector) case.
+number of coefficients than AR model. In\nbsp{}cite:spanos1996efficient the
+authors generalise ARMA model coefficients determination formulae for
+multi-variate (vector) case.
One thing that distinguishes present work with respect to afore-mentioned ones
is the study of three-dimensional (2D in space and 1D in time) ARMA model, which
@@ -307,12 +309,12 @@ multi-dimensional stochastic process that is real only statistically.
In\nbsp{}cite:fusco2010short AR model is used to predict swell waves to control
wave-energy converters (WEC) in real-time. In order to make WEC more efficient
-its internal oscillator frequency should match the one of sea waves. The
-authors treat wave elevation as time series and compare performance of AR model,
-neural networks and cyclical models in forecasting time series future values. AR
-model gives the most accurate prediction of low-frequency swell waves for up to
-two typical wave periods. It is an example of successful application of AR
-process to sea wave modelling.
+its internal oscillator frequency should match the one of sea waves. The authors
+treat wave elevation as time series and compare performance of AR model, neural
+networks and cyclical models in forecasting time series future values. AR model
+gives the most accurate prediction of low-frequency swell waves for up to two
+typical wave periods. It is an example of successful application of AR process
+to sea wave modelling.
** Governing equations for 3-dimensional ARMA process
ARMA sea simulation model defines sea wavy surface as three-dimensional (two
@@ -491,8 +493,8 @@ Here coefficients \(\Theta\) are calculated from back to front: from
\Theta_{\vec j}^2
}.
\end{equation*}
-Authors of\nbsp{}cite:box1976time suggest using Newton---Raphson method to solve this
-equation with higher precision, however, this method does not work in three
+Authors of\nbsp{}cite:box1976time suggest using Newton---Raphson method to solve
+this equation with higher precision, however, this method does not work in three
dimensions. Using slower method does not have dramatic effect on the overall
programme performance, because the number of coefficients is small and most of
the time is spent generating wavy surface.
@@ -536,10 +538,10 @@ Generally speaking, ARMA process is obtained by plugging MA generated wavy
surface as random impulse to AR process, however, in order to get the process
with desired ACF one should re-compute AR coefficients before plugging. There
are several approaches to "mix" AR and MA processes.
-- The approach proposed in\nbsp{}cite:box1976time which involves dividing ACF into MA
- and AR part along each dimension is not applicable here, because in three
- dimensions such division is not possible: there always be parts of the ACF
- that are not taken into account by AR and MA process.
+- The approach proposed in\nbsp{}cite:box1976time which involves dividing ACF
+ into MA and AR part along each dimension is not applicable here, because in
+ three dimensions such division is not possible: there always be parts of the
+ ACF that are not taken into account by AR and MA process.
- The alternative approach is to use the same (undivided) ACF for both AR and MA
processes but use different process order, however, then realisation
characteristics (mean, variance etc.) become skewed: these are characteristics
@@ -564,23 +566,24 @@ use AR process for standing waves and MA process for progressive waves.
The other problem is inability to automatically determine optimal number of
coefficients for three-dimensional AR and MA processes. For one-dimensional
-processes this can be achieved via iterative methods\nbsp{}cite:box1976time,
-but they diverge in three-dimensional case.
+processes this can be achieved via iterative methods\nbsp{}cite:box1976time, but
+they diverge in three-dimensional case.
The final problem, which is discussed in [[#sec:how-to-mix-ARMA]], is inability to
"mix" AR and MA process in three dimensions.
-In practice some statements made for AR and MA processes in\nbsp{}cite:box1976time
-should be flipped for three-dimensional case. For example, the authors say that
-ACF of MA process cuts at \(q\) and ACF of AR process decays to nought infinitely,
-but in practice making ACF of 3-dimensional MA process not decay results in it
-being non-invertible and producing realisation that does not look like real
-sea waves, whereas doing the same for ACF of AR process results in stationary
-process and adequate realisation. Also, the authors say that one
-should allocate the first \(q\) points of ACF to MA process (as it often needed to
-describe the peaks in ACF) and leave the rest points to AR process, but in
-practice in case of ACF of a propagating wave AR process is stationary only for
-the first time slice of the ACF, and the rest is left to MA process.
+In practice some statements made for AR and MA processes
+in\nbsp{}cite:box1976time should be flipped for three-dimensional case. For
+example, the authors say that ACF of MA process cuts at \(q\) and ACF of AR
+process decays to nought infinitely, but in practice making ACF of 3-dimensional
+MA process not decay results in it being non-invertible and producing
+realisation that does not look like real sea waves, whereas doing the same for
+ACF of AR process results in stationary process and adequate realisation. Also,
+the authors say that one should allocate the first \(q\) points of ACF to MA
+process (as it often needed to describe the peaks in ACF) and leave the rest
+points to AR process, but in practice in case of ACF of a propagating wave AR
+process is stationary only for the first time slice of the ACF, and the rest is
+left to MA process.
To summarise, the only established scenario of applying ARMA model to sea wave
generation is to use AR process for standing waves and MA process for
@@ -1086,11 +1089,11 @@ looks like\nbsp{}cite:box1976time).
However, for three-dimensional case there exists simpler empirical method which
does not require sophisticated software to determine shape of the ACF. It is
known that ACF represented by exponentially decaying cosines satisfies first
-order Stokes' equations for gravity waves\nbsp{}cite:boccotti1983wind. So, if the
-shape of the wave profile is the only concern in the simulation, then one can
-simply multiply it by a decaying exponent to get appropriate ACF. This ACF does
-not reflect other wave profile parameters, such as wave height and period, but
-opens possibility to simulate waves of a particular non-analytic shape by
+order Stokes' equations for gravity waves\nbsp{}cite:boccotti1983wind. So, if
+the shape of the wave profile is the only concern in the simulation, then one
+can simply multiply it by a decaying exponent to get appropriate ACF. This ACF
+does not reflect other wave profile parameters, such as wave height and period,
+but opens possibility to simulate waves of a particular non-analytic shape by
"drawing" their profile, then multiplying it by an exponent and using the
resulting function as ACF. So, this empirical method is imprecise but offers
simpler alternative to Wiener---Khinchin theorem approach; it is mainly useful
@@ -1181,10 +1184,10 @@ function (PDF) of the surface elevation. This distribution is given by either
polynomial approximation of /in situ/ data or analytic formula.
**** Gram---Charlier series expansion.
-In\nbsp{}cite:huang1980experimental the authors experimentally show, that PDF of sea
-surface elevation is distinguished from normal distribution by non-nought
-kurtosis and skewness. In\nbsp{}cite:рожков1996теория the authors show, that this type
-of PDF expands in Gram---Charlier series:
+In\nbsp{}cite:huang1980experimental the authors experimentally show, that PDF of
+sea surface elevation is distinguished from normal distribution by non-nought
+kurtosis and skewness. In\nbsp{}cite:рожков1996теория the authors show, that
+this type of PDF expands in Gram---Charlier series:
\begin{align}
\label{eq-skew-normal-1}
& F(z; \mu=0, \sigma=1, \gamma_1, \gamma_2) \approx
@@ -1204,10 +1207,10 @@ of PDF expands in Gram---Charlier series:
where \(\Phi(z)\)\nbsp{}--- CDF of normal distribution, \(\phi\)\nbsp{}--- PDF
of normal distribution, \(\gamma_1\)\nbsp{}--- skewness, \(\gamma_2\)\nbsp{}---
kurtosis, \(f\)\nbsp{}--- PDF, \(F\)\nbsp{}--- cumulative distribution function
-(CDF). According to\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные for sea waves skewness
-is selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from
-interval \(0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}\). Family of probability density functions
-for different parameters is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
+(CDF). According to\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные for sea waves skewness is
+selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from interval
+\(0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}\). Family of probability density functions for
+different parameters is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
#+NAME: fig-skew-normal-1
#+begin_src R :file build/skew-normal-1.pdf
@@ -1250,12 +1253,12 @@ elevation by skew-normal distribution:
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
\end{align}
-where \(T\)\nbsp{}--- Owen \(T\)-function\nbsp{}cite:owen1956tables. Using this formula it is
-impossible to specify skewness and kurtosis separately\nbsp{}--- both values are
-adjusted via \(\alpha\) parameter. The only advantage of the formula is its
-relative computational simplicity: this function is available in some programmes
-and mathematical libraries. Its graph for different values of \(\alpha\) is shown
-in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
+where \(T\)\nbsp{}--- Owen \(T\)-function\nbsp{}cite:owen1956tables. Using this
+formula it is impossible to specify skewness and kurtosis separately\nbsp{}---
+both values are adjusted via \(\alpha\) parameter. The only advantage of the
+formula is its relative computational simplicity: this function is available in
+some programmes and mathematical libraries. Its graph for different values of
+\(\alpha\) is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
#+name: fig-skew-normal-2
#+begin_src R :file build/skew-normal-2.pdf
@@ -1319,10 +1322,9 @@ Twisters\nbsp{}cite:matsumoto1998dynamic may be used to provide such guarantee.
The essence of the algorithm is to find matrices of initial generator states,
that give maximally uncorrelated pseudo-random number sequences when Mersenne
Twisters are executed in parallel with these initial states. Since finding such
-initial states consumes considerable amount of processor time, vector of
-initial states is created preliminary with knowingly larger number of parallel
-threads and saved to a file, which is then read before starting white noise
-generation.
+initial states consumes considerable amount of processor time, vector of initial
+states is created preliminary with knowingly larger number of parallel threads
+and saved to a file, which is then read before starting white noise generation.
*** Wavy surface generation algorithm
In ARMA model value of wavy surface elevation at a particular point depends on
@@ -1346,11 +1348,11 @@ into equal parts each of which is generated independently, however, in the
beginning of each realisation there is ramp-up interval. To eliminate it
/overlap-add/
method\nbsp{}cite:oppenheim1989discrete,svoboda2011efficient,pavel2013algorithms
-(a popular method in signal processing) is used. The essence of the method is
-to add another interval, size of which is equal to the ramp-up interval size,
-to the end of each part. Then wavy surface is generated in each point of each
-part (including points from the added interval), the interval at the end of
-part \(N\) is superimposed on the ramp-up interval at the beginning of the part
+(a popular method in signal processing) is used. The essence of the method is to
+add another interval, size of which is equal to the ramp-up interval size, to
+the end of each part. Then wavy surface is generated in each point of each part
+(including points from the added interval), the interval at the end of part
+\(N\) is superimposed on the ramp-up interval at the beginning of the part
\(N+1\), and values in corresponding points are added.
#+name: fig-ramp-up-interval
