commit a496738a1560259cc718c9f6226e63d139bc2125
parent d76af84a059922e774bb641186868450e7bc927e
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 3 Nov 2017 17:28:10 +0300
Fill paragraphs.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 164 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------------------ |
1 file changed, 90 insertions(+), 74 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -82,11 +82,12 @@
взволнованной поверхности).
3. Разработать метод для определения поля давлений под дискретно заданной
взволнованной поверхностью. Такие формулы обычно выводятся для конкретной
- модели путем подстановки формулы профиля волны в\nbsp{}eqref:eq-problem, однако
- процесс АРСС не содержит в себе формулу профиля волны в явном виде, поэтому
- для него необходимо было получить решение для взволнованной поверхности
- общего вида (для которой не существует аналитического выражения) без
- линеаризации граничных условий (ГУ) и предположении о малости амплитуд волн.
+ модели путем подстановки формулы профиля волны в\nbsp{}eqref:eq-problem,
+ однако процесс АРСС не содержит в себе формулу профиля волны в явном виде,
+ поэтому для него необходимо было получить решение для взволнованной
+ поверхности общего вида (для которой не существует аналитического выражения)
+ без линеаризации граничных условий (ГУ) и предположении о малости амплитуд
+ волн.
4. Верифицировать интегральные характеристики взволнованной поверхности
на соответствие реальным морским волнам.
5. Разработать комплекс программ, реализующего созданную модель и метод расчета
@@ -784,7 +785,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
-Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
+Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение
+в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для
+\(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\label{eq-solution-2d}
\boxed{
@@ -807,9 +810,9 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
-используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
-заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в следующем
-разделе.
+используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины
+с заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в
+следующем разделе.
**** Формула для жидкости конечной глубины.
На дне водоема вертикальная составляющая скорости перемещения жидкости должна
@@ -830,10 +833,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
\end{equation*}
откуда имеем \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) и
-\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Константа \(C\) здесь произвольна, поскольку
-при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов \(E(u)\). Подставляя
-полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d-full, получаем
-выражение
+\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Константа \(C\) здесь произвольна,
+поскольку при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов \(E(u)\).
+Подставляя полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\)
+в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d-full, получаем выражение
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
@@ -887,15 +890,17 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
}{x}
.
\end{equation*}
-Профиль прогрессивной волны описывается формулой \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\).
-Подстановка этого выражения в\nbsp{}eqref:eq-solution-2d дает равенство
-\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). Чтобы свести его к
-формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
+Профиль прогрессивной волны описывается формулой
+\(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\). Подстановка этого выражения
+в\nbsp{}eqref:eq-solution-2d дает равенство
+\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). Чтобы свести его
+к формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий \(e^{-2\pi{k}{z}}\), как
противоречащий условию \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\).
После взятия действительной части выражения получится известная формула линейной
теории \(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\). Аналогично,
-предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full до
+предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить
+формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full до
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
=
@@ -925,17 +930,18 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
достаточно большой глубины можно использовать любую из функций (\(\cosh\) или
\(\sinh\)) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
-Сведение формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full к формулам
-линейной теории волн показывает, что формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d для жидкости
-бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
-использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
+Сведение формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full к
+формулам линейной теории волн показывает, что формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d
+для жидкости бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости
+с использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
конечной глубины, полагая \(h\) равным характерному значению глубины
исследуемого водоема. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории
происходит с аналогичными предположениями.
*** Трехмерное поле скоростей
-В трех измерениях исходная система уравнений\nbsp{}eqref:eq-problem переписывается как
+В трех измерениях исходная система уравнений\nbsp{}eqref:eq-problem
+переписывается как
\begin{align}
\label{eq-problem-3d}
& \phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0,\\
@@ -1058,10 +1064,11 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
-аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими
-выражениями для полиномов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно
-упростить, используя следующее равенство:
+\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение
+уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись
+полиномиальной аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и
+аналитическими выражениями для полиномов Эрмита, формулу определения
+коэффициентов можно упростить, используя следующее равенство:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int\limits_\infty^\infty
@@ -1085,9 +1092,10 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
аппроксимацию для \(f(y)\) также для преобразования поверхности, однако на
практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
-резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
-Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
-Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
+резкому уменьшению ее точности. В этих точках
+уравнение\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом
+бисекции. Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для
+коэффициентов ряда Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
* Численные методы и результаты экспериментов
** Форма АКФ для разных волновых профилей
@@ -1163,9 +1171,9 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
выражение\nbsp{}eqref:eq-decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
-соответствия\nbsp{}eqref:eq-standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
-фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в
-начало координат.
+соответствия\nbsp{}eqref:eq-standing-wave-acf. Это можно осуществить либо,
+изменяя фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум
+функции в начало координат.
**** АКФ прогрессивной волны.
Профиль трехмерной плоской прогрессивной волны задается как
@@ -1327,15 +1335,16 @@ legend(
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
**** Тестирование.
-Решение уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation с выбранной функцией
-распределения можно произвести либо в каждой точке генерируемой поверхности, что
-даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке фиксированной сетки,
-интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК). Во втором случае
-точность будет меньше. Например, интерполяция многочленом 12-го порядка на сетке
-из 500 узлов, построенной на промежутке \(-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z\), дает
-погрешность \(\approx{0,43}\cdot10^{-3}\). Увеличение порядка многочлена приводит
-либо к переполнениям при интерполяции МНК, либо к дополнительным коэффициентам
-близким к нулю; увеличение размера сетки влияет на результат незначительно. В
+Решение уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation с выбранной
+функцией распределения можно произвести либо в каждой точке генерируемой
+поверхности, что даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке
+фиксированной сетки, интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК).
+Во втором случае точность будет меньше. Например, интерполяция многочленом 12-го
+порядка на сетке из 500 узлов, построенной на промежутке
+\(-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z\), дает погрешность
+\(\approx{0,43}\cdot10^{-3}\). Увеличение порядка многочлена приводит либо к
+переполнениям при интерполяции МНК, либо к дополнительным коэффициентам близким
+к нулю; увеличение размера сетки влияет на результат незначительно. В
большинстве случаев трех коэффициентов ряда Грама---Шарлье было достаточно для
преобразования АКФ; относительная погрешность без интерполяции составляет
\(10^{-5}\).
@@ -1407,8 +1416,8 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-В решениях\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full двухмерной задачи
-определения поля давлений присутствуют функции
+В решениях\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full
+двухмерной задачи определения поля давлений присутствуют функции
\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) и
\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\), которые могут быть
записаны аналитически различными выражениями и представляют сложность при
@@ -1558,12 +1567,13 @@ for (i in seq(0, 4)) {
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
:END:
-Сравнение полученных общих формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
-оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и малых
-амплитуд. В общем случае аналитическое выражение для потенциала скорости
+Сравнение полученных общих формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d
+и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн
+позволяет оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и
+малых амплитуд. В общем случае аналитическое выражение для потенциала скорости
неизвестно даже для плоских волн, поэтому сравнение производится численно. Имея
-ввиду выводы раздела [[#sec:pressure-2d]], сравниваются только формулы для случая
-конечной глубины.
+ввиду выводы раздела [[#sec:pressure-2d]], сравниваются только формулы для
+случая конечной глубины.
**** Отличие от формул линейной теории волн.
Для того чтобы получить поля потенциалов скоростей, взволнованная морская
@@ -1573,15 +1583,19 @@ for (i in seq(0, 4)) {
полученной взволнованной поверхности. Эксперименты проводились для волн малых и
больших амплитуд.
-Эксперимент показал, что поля потенциалов скоростей, полученные по формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для конечной глубины и по формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-linear линейной теории, качественно отличаются
-(см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). Во-первых, контуры
-потенциала скорости имеют вид затухающей синусоиды, что отличается от овальной
-формы, описываемой линейной теории волн. Во-вторых, по мере приближения к дну
-водоема потенциал скорости затухает гораздо быстрее, чем в линейной теории, а
-область, где сконцентрирована большая часть энергии волны, еще больше приближена
-к ее гребню. Аналогичный численный эксперимент, в котором из формулы\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full были исключены члены, которыми пренебрегают в рамках
-линейной теории волн, показал, что полное соответствие получившихся полей
-потенциалов скоростей (насколько это позволяет сделать машинная точность).
+Эксперимент показал, что поля потенциалов скоростей, полученные по
+формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для конечной глубины и по
+формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-linear линейной теории, качественно
+отличаются (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). Во-первых,
+контуры потенциала скорости имеют вид затухающей синусоиды, что отличается от
+овальной формы, описываемой линейной теории волн. Во-вторых, по мере приближения
+к дну водоема потенциал скорости затухает гораздо быстрее, чем в линейной
+теории, а область, где сконцентрирована большая часть энергии волны, еще больше
+приближена к ее гребню. Аналогичный численный эксперимент, в котором из
+формулы\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full были исключены члены, которыми
+пренебрегают в рамках линейной теории волн, показал, что полное соответствие
+получившихся полей потенциалов скоростей (насколько это позволяет сделать
+машинная точность).
#+name: fig-potential-field-nonlinear
#+header: :width 8 :height 11
@@ -1634,16 +1648,18 @@ arma.plot_velocity_potential_field_legend(
**** Отличие от формул теории волн малой амплитуды.
Эксперимент, в котором сравнивались поля потенциалов скоростей, полученные
численно различными формулами, показал, что поля скоростей, полученные по
-формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full и формуле для волн малой амплитуды\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом эксперименте
-использовались две реализации взволнованной морской поверхности, полученные по
-модели АР: одна содержала волны малой амплитуды, другая\nbsp{}--- большой.
-Интегрирование в формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full велось по диапазону волновых
-чисел, полученному из морской поверхности. Для волн малой амплитуды обе формулы
-показали сопоставимые результаты (разница в значениях скорости приписывается
-стохастической природе модели АР), в то время как для волн больших амплитуд
-устойчивое поле скоростей дала только формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full
-(рис.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). Таким образом, общая формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full показывает удовлетворительные результаты, не вводя
-ограничения на амплитуду волн.
+формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full и формуле для волн малой
+амплитуды\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом
+эксперименте использовались две реализации взволнованной морской поверхности,
+полученные по модели АР: одна содержала волны малой амплитуды, другая\nbsp{}---
+большой. Интегрирование в формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full велось по
+диапазону волновых чисел, полученному из морской поверхности. Для волн малой
+амплитуды обе формулы показали сопоставимые результаты (разница в значениях
+скорости приписывается стохастической природе модели АР), в то время как для
+волн больших амплитуд устойчивое поле скоростей дала только
+формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full (рис.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]).
+Таким образом, общая формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full показывает
+удовлетворительные результаты, не вводя ограничения на амплитуду волн.
#+name: fig-velocity-field-2d
#+name: fig-velocity-field-2d
@@ -1685,12 +1701,12 @@ arma.plot_velocity(
В то время как эксперимент показал, что применение НБП с распределением РГШ
увеличивает крутизну волн, то же самое нельзя сказать об асимметричном
-нормальном распределении (рис.\nbsp{}[[fig-nit]]). Использование этого
-распределения приводит к взволнованной поверхности, в которой аппликаты всегда
-больше или равны нулю. Таким образом, асимметричное нормальное распределение не
-подходит для НБП. НБП увеличивает высоту и крутизну как прогрессивных, так и
-стоячих волн. Увеличение параметра либо асимметрии, либо эксцесса РГШ приводит
-в увеличению как высоты, так и крутизны волн. Ошибка аппроксимации АКФ
+нормальном распределении (рис.\nbsp{}[[fig-nit]]). Использование этого распределения
+приводит к взволнованной поверхности, в которой аппликаты всегда больше или
+равны нулю. Таким образом, асимметричное нормальное распределение не подходит
+для НБП. НБП увеличивает высоту и крутизну как прогрессивных, так и стоячих
+волн. Увеличение параметра либо асимметрии, либо эксцесса РГШ приводит в
+увеличению как высоты, так и крутизны волн. Ошибка аппроксимации АКФ
(ур.\nbsp{}eqref:eq-nit-error) принимает значения от 0.20 для РГШ до 0.70 для
асимметричного нормального распределения (табл.\nbsp{}[[tab-nit-error]]).
