commit 25a899b20c1a0e9fc4b5540c4844fadbadd9adfe
parent 464ea504b5a6ff300d8f2b53799ec83cd403ef49
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 3 Jan 2017 17:19:48 +0300
Sync AR process section.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 76 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------------- |
| phd-diss.org | | | 141 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------------- |
2 files changed, 140 insertions(+), 77 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -12,6 +12,7 @@
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \supervisor{Научный руководитель\\д.т.н Дегтярев Александр Борисович}
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \newcites{published}{Список опубликованных по теме диссертации работ}
#+OPTIONS: todo:nil title:nil ':t H:5
+#+STARTUP: indent
# default export options
#+begin_src emacs-lisp :exports none :results silent
@@ -388,34 +389,53 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
* Модель АРСС в задаче имитационного моделирования морского волнения
** Основные формулы трехмерного процесса AРСС
*** Три возможных процесса
-**** Процесс авторегрессии (АР).
-Авторегрессионная модель представляет взволнованную морскую поверхность в виде
-пространственно-временного поля, каждая точка которого является взвешенной
-суммой предыдущих по времени точек и некоторой случайной переменной (белого
-шума). Таким образом, состояние взволнованной поверхности в заданный момент
-времени находится в авторегрессионной зависимости от состояний в предыдущие
-моменты времени и от случайной переменной с нормальным распределением. Такая
-зависимость определяется соотношением
-\begin{equation*}
+Модель АРСС для морского волнения определяет взволнованную морскую поверхность
+как трехмерный (два пространственных и одно временное измерение) процесс
+авторегрессии скользящего среднего: каждая точка взволнованной поверхности
+представляется в виде взвешенной суммы предыдущих по времени и пространству
+точек и взвешенной суммы предыдущих по времени и пространству нормально
+распределенных случайных импульсов. Основным уравнением для трехмерного процесса
+АРСС является
+\begin{equation}
\zeta_{\vec i}
=
- \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N} \Phi_{\vec j}
- \zeta_{\vec i - \vec j} +
- \epsilon_{\vec i},
-\end{equation*}
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j} \zeta_{\vec i - \vec j}
+ +
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
+ ,
+ \label{eq:arma-process}
+\end{equation}
где $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, $\Phi$ ---
-коэффициенты авторегрессии, $\Phi_{\vec 0} \equiv 0$ по определению, $\epsilon$
---- белый шум, $N$ --- порядок регрессии по каждому из измерений, а стрелки
-обозначают многокомпонентные индексы, содержащие значение для каждого измерения.
-В общем случае в качестве компонент могут выступать любые скалярные величины,
-такие как температура, соленость и концентрация какого-либо раствора в воде.
-
-% TODO куда деть соленость?
-
-Коэффициенты авторегрессии опеределяются из многомерных уравнений Юла---Уокера,
-которые получаются домножением на $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ обеих частей
-уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения Юла---Уокера
-записываются как
+коэффициенты процесса АР, $\Theta$ --- коэффициенты процесса СС, $\epsilon$ ---
+белый шум, имеющий Гауссово распределение, $\vec N$ --- порядок процесса АР,
+$\vec M$ --- порядок процесса СС, причем $\Phi_{\vec 0} \equiv 0$, $\Theta_{\vec
+0} \equiv 0$. Здесь стрелки обозначают многокомпонентные индексы, содержащие
+отдельную компоненту для каждого измерения. В общем случае в качестве компонент
+могут выступать любые скалярные величины (температура, соленость, концентрация
+какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат коэффициенты и
+порядки процессов АР и СС.
+
+**** Процесс авторегрессии (АР).
+
+
+Процесс АР это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом вместо их
+взвешенной суммы:
+\begin{equation}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j} \zeta_{\vec i - \vec j}
+ +
+ \epsilon_{i,j,k}
+ .
+ \label{eq:ar-process}
+\end{equation}
+Коэффициенты авторегрессии $\Phi$ определяются из многомерных уравнений
+Юла---Уокера, получаемых после домножения на $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ обеих
+частей уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения
+Юла---Уокера записываются как
\begin{equation}
\label{eq:yule-walker}
\gamma_{\vec k}
@@ -432,7 +452,7 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
\end{cases}
\end{equation}
-где $\gamma$ --- \gls{АКФ} процесса $\zeta$, $\Var{\epsilon}$ --- дисперсия
+где $\gamma$ --- АКФ процесса $\zeta$, $\Var{\epsilon}$ --- дисперсия
белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений Юла---Уокера,
используемой в данной работе, имеет следующий вид.
\begin{equation*}
@@ -490,8 +510,8 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
Поскольку по определению $\Phi_{\vec 0}\equiv0$, то первую строку и столбец
матрицы $\Gamma$ можно отбросить. Матрица $\Gamma$, как и оставшаяся от нее
матрица, будут блочно-теплицевы, положительно определены и симметричны, поэтому
-систему уравнений Юла---Уокера можно решить методом Холецкого, предназначенного
-для таких матриц.
+систему уравнений Юла---Уокера можно эффективно решить методом Холецкого,
+специально предназначенного для таких матриц.
После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
уравнения eqref:eq:yule-walker при $\vec k = \vec 0$ как
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -12,6 +12,7 @@
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \supervisor{Supervisor\\Alexander Degtyarev}
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \newcites{published}{Publications on the subject of thesis}
#+OPTIONS: todo:nil title:nil ':t H:5
+#+STARTUP: indent
* Introduction
**** Topic relevance.
@@ -359,95 +360,133 @@ are plugged to dynamic boundary condition to obtain pressures.
* ARMA model for ocean wave simulation
** Governing equations for 3-dimensional ARMA process
*** Three possible processes
-Three-dimensional autoregressive moving average process is defined by
+ARMA ocean simulation model defines ocean wavy surface as three-dimensional (two
+dimensions in space and one in time) autoregressive moving average process:
+every surface point is represented as a weighted sum of previous in time and
+space points plus weighted sum of previous in time and space normally
+distributed random impulses. The governing equation for 3-D ARMA process is
\begin{equation}
- \zeta_{i,j,k} =
- \sum\limits_{l=0}^{p_1}
- \sum\limits_{m=0}^{p_2}
- \sum\limits_{n=0}^{p_3}
- \Phi_{l,m,n} \zeta_{i-l,j-m,k-n}
- +
- \sum\limits_{l=0}^{q_1}
- \sum\limits_{m=0}^{q_2}
- \sum\limits_{n=0}^{q_3}
- \Theta_{l,m,n} \epsilon_{i-l,j-m,k-n}
- ,
- \label{eq:arma-process}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j} \zeta_{\vec i - \vec j}
+ +
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
+ ,
+ \label{eq:arma-process}
\end{equation}
-where $\zeta$ --- wave elevation, $\Phi$ --- AR coefficients, $\Theta$ --- MA
-coefficients, $\epsilon$ --- white noise with Gaussian distribution,
-$(p_1,p_2,p_3)$ --- AR process order, $(q_1,q_2,q_3)$ --- MA process order, and
-$\Phi_{0,0,0} \equiv 0$, $\Theta_{0,0,0} \equiv 0$. The input parameters are
-AR/MA process coefficients and order.
+where $\zeta$ --- wave elevation, $\Phi$ --- AR process coefficients, $\Theta$
+--- MA process coefficients, $\epsilon$ --- white noise with Gaussian
+distribution, $\vec N$ --- AR process order, $\vec M$ --- MA process order, and
+$\Phi_{\vec 0} \equiv 0$, $\Theta_{\vec 0} \equiv 0$. Here arrows denote
+multi-component indices with a component for each dimension. In general, any
+scalar quantity can be a component (temperature, salinity, concentration of some
+substance in water etc.). Equation parameters are AR and MA process coefficients
+and order.
**** Autoregressive (AR) process.
+AR process is ARMA process with only one random impulse instead of theirs
+weighted sum:
+\begin{equation}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j} \zeta_{\vec i - \vec j}
+ +
+ \epsilon_{i,j,k}
+ .
+ \label{eq:ar-process}
+\end{equation}
The coefficients $\Phi$ are calculated from ACF via three-dimensional
-Yule---Walker equations:
+Yule---Walker equations, which are obtained after multiplying both parts of the
+previous equation by $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ and computing the expected value.
+Generic form of YW equations is
+\begin{equation}
+ \label{eq:yule-walker}
+ \gamma_{\vec k}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j}
+ \text{ }\gamma_{\vec{k}-\vec{j}}
+ +
+ \Var{\epsilon} \delta_{\vec{k}},
+ \qquad
+ \delta_{\vec{k}} =
+ \begin{cases}
+ 1, \quad \text{if } \vec{k}=0 \\
+ 0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
+ \end{cases}
+\end{equation}
+where $\gamma$ --- ACF of process $\zeta$, $\Var{\epsilon}$ --- white noise
+variance. Matrix form of three-dimensional YW equations, which is used in the
+present work, is
\begin{equation*}
\Gamma
\left[
\begin{array}{l}
- \Phi_{0,0,0}\\
+ \Phi_{\vec 0}\\
\Phi_{0,0,1}\\
- \vdotswithin{\Phi_{0,0,0}}\\
- \Phi_{p_1,p_2,p_3}
+ \vdotswithin{\Phi_{\vec 0}}\\
+ \Phi_{\vec N}
\end{array}
\right]
- =
+ =
\left[
\begin{array}{l}
- K_{0,0,0}-\Var{\epsilon}\\
- K_{0,0,1}\\
- \vdotswithin{K_{0,0,0}}\\
- K_{p_1,p_2,p_3}
+ \gamma_{0,0,0}-\Var{\epsilon}\\
+ \gamma_{0,0,1}\\
+ \vdotswithin{\gamma_{\vec 0}}\\
+ \gamma_{\vec N}
\end{array}
\right],
\qquad
\Gamma=
\left[
\begin{array}{llll}
- \Gamma_0 & \Gamma_1 & \cdots & \Gamma_{p_1} \\
+ \Gamma_0 & \Gamma_1 & \cdots & \Gamma_{N_1} \\
\Gamma_1 & \Gamma_0 & \ddots & \vdotswithin{\Gamma_0} \\
\vdotswithin{\Gamma_0} & \ddots & \ddots & \Gamma_1 \\
- \Gamma_{p_1} & \cdots & \Gamma_1 & \Gamma_0
+ \Gamma_{N_1} & \cdots & \Gamma_1 & \Gamma_0
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-where $\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)$, $\Var{\epsilon}$ --- white noise
-variance, and
+where $\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)$ and
\begin{equation*}
- \Gamma_i =
+ \Gamma_i =
\left[
\begin{array}{llll}
- \Gamma^0_i & \Gamma^1_i & \cdots & \Gamma^{p_2}_i \\
+ \Gamma^0_i & \Gamma^1_i & \cdots & \Gamma^{N_2}_i \\
\Gamma^1_i & \Gamma^0_i & \ddots & \vdotswithin{\Gamma^0_i} \\
\vdotswithin{\Gamma^0_i} & \ddots & \ddots & \Gamma^1_i \\
- \Gamma^{p_2}_i & \cdots & \Gamma^1_i & \Gamma^0_i
+ \Gamma^{N_2}_i & \cdots & \Gamma^1_i & \Gamma^0_i
\end{array}
\right]
\qquad
- \Gamma_i^j=
+ \Gamma_i^j=
\left[
\begin{array}{llll}
- K_{i,j,0} & K_{i,j,1} & \cdots & K_{i,j,p_3} \\
- K_{i,j,1} & K_{i,j,0} & \ddots &x \vdotswithin{K_{i,j,0}} \\
- \vdotswithin{K_{i,j,0}} & \ddots & \ddots & K_{i,j,1} \\
- K_{i,j,p_3} & \cdots & K_{i,j,1} & K_{i,j,0}
+ \gamma_{i,j,0} & \gamma_{i,j,1} & \cdots & \gamma_{i,j,N_3} \\
+ \gamma_{i,j,1} & \gamma_{i,j,0} & \ddots &x \vdotswithin{\gamma_{i,j,0}} \\
+ \vdotswithin{\gamma_{i,j,0}} & \ddots & \ddots & \gamma_{i,j,1} \\
+ \gamma_{i,j,N_3} & \cdots & \gamma_{i,j,1} & \gamma_{i,j,0}
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-Since $\Phi_{0,0,0}\equiv0$, the first row and column of $\Gamma$ can be
+Since $\Phi_{\vec 0}\equiv0$, the first row and column of $\Gamma$ can be
eliminated. Matrix $\Gamma$ is block-toeplitz, positive definite and symmetric,
-hence the system is solved by Cholesky decomposition. White noise variance is
-estimated by
+hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition, which is
+particularly suitable for these types of matrices.
+
+After solving this system of equations white noise variance is estimated from
+eqref:eq:yule-walker by plugging $\vec k = \vec 0$:
\begin{equation*}
- \Var{\epsilon} =
- K_{0,0,0}
- -
- \sum\limits_{i=0}^{p_1}
- \sum\limits_{i=0}^{p_2}
- \sum\limits_{k=0}^{p_3}
- \Phi_{i,j,k} K_{i,j,k}.
+ \Var{\epsilon} =
+ \Var{\zeta}
+ -
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j}
+ \text{ }\gamma_{\vec{j}}.
\end{equation*}
**** Moving average (MA) process.
@@ -762,6 +801,10 @@ exit
*** TODO Discuss graphs
*** Verification of velocity potential fields
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
+:END:
+
*** Non-physical nature of ARMA model
ARMA model, owing to its non-physical nature, does not have the notion of ocean
wave; it simulates wavy surface as a whole instead. Motions of individual waves
