commit 1fe368f974f9f9f7bbf4214fdc3c62e2368823a3
parent e4d1fcc400df4d6f98a9f1c765128b77034c50f3
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Thu, 3 Nov 2016 10:26:00 +0300
Copy and edit velocity field verification.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 96 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- |
1 file changed, 86 insertions(+), 10 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -571,21 +571,22 @@ $2^{19937}-1$. Если предположить, что взволнованн
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-В решениях двухмерной задачи~\eqref{eq:solution-2d} и eqref:eq:solution-2d-full
+
+В решениях двухмерной задачи eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full
присутствуют функции $\Fun{z}=\InverseFourier{e^{2\pi u z}}(x)$ и
$\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут быть
представлены аналитически различными выражениями, представляющими сложность для
вычислений на компьютере. Каждая из функций является преобразованием Фурье от
линейной комбинации экспонент, которое для таких функций определено неоднозначно
-(см.~\ref{tab:delta-functions}). Для получения однозначного аналитического
-выражения можно воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2 \pi u h}$, которая также
-должна быть включена в выражение для коэффициентов $E(u)$. Численные
-эксперименты показали, что нормировка хоть и позволяет получить решение с
-адекватными величинами потенциалов скорости, но оно мало отличается от выражений
-из линейной теории волн, в которых члены с $\zeta$ опускаются.
+(см. [[tab:delta-functions]]). Для получения однозначного аналитического выражения
+можно воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2 \pi u h}$, которая также включается
+в выражение для коэффициентов $E(u)$. Численные эксперименты показывают, что
+нормировка хоть и позволяет получить решение с адекватными величинами
+потенциалов скорости, оно мало отличается от выражений из линейной теории волн,
+в которых члены с $\zeta$ опускаются.
#+name: tab:delta-functions
-#+caption: Формулы вычисления функций $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из~\cref{sec:pressure-2d}, использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
+#+caption: Формулы вычисления функций $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из \cref{sec:pressure-2d}, использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| $\Fun{z}$ | $\delta (x+i z)$ | $\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)$ |
@@ -595,16 +596,91 @@ $\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут
*** Методика постановки численных экспериментов
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
*** Верификация полей потенциалов скоростей
-Сравнение полученных общих формул~\eqref{eq:solution-2d} и
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
+:END:
+Сравнение полученных общих формул eqref:eq:solution-2d и
eqref:eq:solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и малых
амплитуд. В общем случае получить аналитическое выражение даже для плоских волн
не представляется возможным, поэтому сравнение производится численно. Имея ввиду
-выводы предыдущего раздела, сравниваются только формулы для случая конечной
+выводы раздела [[sec:pressure-2d]], сравниваются только формулы для случая конечной
глубины.
**** Отличие от формул линейной теории.
+В ходе численного эксперимента результаты, полученные по формуле
+eqref:eq:solution-2d-full для конечной глубины были сопоставлены с результатами,
+полученными по соответсвующей формуле eqref:eq:solution-2d-linear линейной
+теории, и проверка показала качественные различия в получившихся полях
+потенциалов скоростей (см. [[fig:potential-field-nonlinear]]). Во-первых,
+потенциальные линии имеют вид затухающей синусоиды, что отличается от овальной
+формы, описываемой в линейой теории волн. Во-вторых, по мере приближения к дну
+водоема потенциал гораздо быстрее затухает, чем описывается в линейной теории, а
+область, где сконцентрирована большая часть энергии волны, еще больше приближена
+к ее гребню. Аналогичный численный эксперимент, в котором из формулы
+eqref:eq:solution-2d-full были исключены члены, которыми пренебрегают в рамках
+линейной теории волн, показал, что полное соотвествие получившихся полей
+потенциалов скоростей (насколько это позволяет сделать машинная точность).
+
+#+name: fig:potential-field-nonlinear
+#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны $\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)$. Поле, полученное по формуле eqref:eq:solution-2d-full (слева) и по формуле линейной теории волн (справа).
+[[graphics/pressure/potentil-5.eps]]
+[[graphics/pressure/potentil-6.eps]]
+
**** Отличие от формул теории волн малой амплитуды.
+В ходе численного эксперимента результаты, полученные по формуле
+eqref:eq:solution-2d-full были сопоставлены с результатами, полученными по
+формуле для волн малой амплитуды eqref:eq:old-sol-2d, и проверка показала
+схожесть полей скоростей, вычисленных этими методами. Для определения скоростей
+использовалась реализации морской поверхности, построенные по авторегрессионной
+модели и различающиеся амплитудой волн. При этом интегрирование в формуле
+eqref:eq:solution-2d-full велось по соответствующему сгенерированной морской
+поверхности интервал волновых чисел. Эксперименты проводились для волн разных
+амплитуд, и для волн малой амплитуды оба метода показывают сопоставимые
+результаты, в то время как для волн высоких амплитуд стабильное поле скоростей
+дает только формула eqref:eq:solution-2d-full (см. [[fig:velocity-field-2d]]). Таким
+образом, полученная формула показывает удовлетворительные результаты для
+различных морских поверхностей, не вводя ограничения на величины амплитуд волн.
+
+#+begin_src gnuplot :exports none
+set loadpath GPVAL_PWD."/gnuplot" GPVAL_PWD."/data/velocity"
+system "mkdir -p build"
+cd "build"
+
+set terminal svg size 320, 200 font "Open Sans Regular, 12" linewidth 1 enhanced rounded dashed
+
+load 'linestyle.gnuplot'
+
+unset border
+set border 3
+set xtics nomirror out offset 0,0.5
+set ytics nomirror out offset 0.5,0
+
+set xrange [0:90]
+set yrange [-2:4]
+set xtics 0,30
+set ytics -2,2,4
+set xlabel 'x' offset 0,1
+set ylabel 'u(x)' offset 1.75,0
+
+set output 'high-amp-nocolor.svg'
+plot 'high-amp' title 'u_1(x)' ls 1 smooth csplines, \
+ 'high-amp-0' title 'u_2(x)' ls 2 smooth csplines
+system "inkscape --without-gui --export-eps=high-amp-nocolor.eps high-amp-nocolor.svg
+
+set output 'low-amp-nocolor.svg'
+plot 'low-amp' title 'u_1(x)' ls 1 smooth csplines, \
+ 'low-amp-0' title 'u_2(x)' ls 2 smooth csplines
+system "inkscape --without-gui --export-eps=low-amp-nocolor.eps low-amp-nocolor.svg
+
+exit
+#+end_src
+
+#+name: fig:velocity-field-2d
+#+caption: Сравнение полей скоростей на поверхности моря, полученных по общей формуле ($u_1$) и формуле для волн малой амплитуды ($u_2$). Поле скоростей для поверхности волн малой амплитуды (слева) и большой амплитуды (справа).
+[[build/low-amp-nocolor.eps]]
+[[build/high-amp-nocolor.eps]]
+
*** TODO Нефизическая природа модели
* Высокопроизводительный программный комплекс для моделирования морского волнения
* Заключение
