commit 171827e17c4cad8461de940d9759bb0895fe9ffe
parent f2f8a56f3149624015d55be40c329ce0c0afcba1
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Sat, 14 Jan 2017 12:41:43 +0300
Sync wavy surface elevation probability distribution function.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 71 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------- |
| phd-diss.org | | | 79 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
2 files changed, 117 insertions(+), 33 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -1249,17 +1249,20 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
** Дополнительные формулы, методы и алгоритмы для модели АРСС
*** Аппроксимация распределения аппликат
-Одним из входных параметров генератора взволвнованной морской поверхности служит
-фнукция распределения волновых аппликат, которая может быть задана
-полиномиальной аппроксимацией натурных данных или аналитически.
+Одним из параметров генератора взволнованной морской поверхности служит функция
+плотности распределения (ФПР) аппликат этой поверхности. Она задается либо
+полиномиальной аппроксимацией натурных данных, либо аналитически.
+**** Разложение в ряд Грама---Шарлье.
В cite:huang1980experimental было экспериментально показано, что распределение
-аппликат взволнованной морской поверхности отличается от нормального ненулевым
-экцессом и асимметрией. В cite:рожков1996теория показано, что такое
-распределение можно разложить в ряд Грама---Шарлье:
+аппликат морской поверхности отличается от нормального ненулевым эксцессом и
+асимметрией. В cite:рожков1996теория показано, что такое распределение
+раскладывается в ряд Грама---Шарлье:
\begin{align}
\label{eq:skew-normal-1}
- F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z) - \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!} + \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
+ F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z)
+ - \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
+ + \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
& =
\frac{1}{2} \text{erf}\left[\frac{z}{\sqrt{2}}\right]
-
@@ -1278,52 +1281,50 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
\right],
\end{align}
где $\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})$, $\gamma_1$ --- асимметрия,
-$\gamma_2$ --- эксцесс, $f$ --- плотность распределения, $F$ --- функция
-распределения. Согласно cite:рожков1990вероятностные для аппликат морских волн
-значение асимметрии выбирается на интервале $0.1 \leq \gamma_1 \leq 0,52]$, а
-значение эксцесса на интервале $0,1 \leq \gamma_2 \leq 0,7$. Вид плотности
-распределения при различных параметрах показан на [[fig:skew-normal-1]].
-
-
+$\gamma_2$ --- эксцесс, $f$ --- ФПР, $F$ --- функция распределения (ФР).
+Согласно cite:рожков1990вероятностные для аппликат морских волн значение
+асимметрии выбирается на интервале $0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]$, а значение
+эксцесса на интервале $0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}$. Семейство плотностей
+распределения при различных параметрах показано на [[fig:skew-normal-1]].
#+name: fig:skew-normal-1
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-1 волновых аппликат при различных значениях асимметрии $\gamma_1$ и эксцесса $\gamma_2$.
+#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии $\gamma_1$ и эксцесса $\gamma_2$.
[[file:build/skew-normal-1.eps]]
+**** Асимметричное нормальное распределение.
Альтернативной аппроксимацией распределения волновых аппликат служит формула
асимметричного нормального распределения:
\begin{align}
\label{eq:skew-normal-2}
F(z; \alpha) & = \frac{1}{2}
- \mathrm{erfc}\left[-\frac{z}{\sqrt{2}}
- \right]-2 T(z,\alpha ), \nonumber \\
+ \mathrm{erfc}\left[-\frac{z}{\sqrt{2}}\right]-2 T(z,\alpha ), \nonumber \\
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
\end{align}
где $T$ --- функция Оуэна cite:owen1956tables. Эта формула не позволяет задать
-значения аимметрии и эксцесса по отдельности --- оба значения регулируются
+значения асимметрии и эксцесса по отдельности --- оба значения регулируются
параметром $\alpha$. Преимущество данной формулы лишь в относительной простоте
-вычисления: в некоторые программы и библиотеки математических функций встроена
-либо она сама, либо функция Оуэна и функция ошибки. График функции для разных
-значений $\alpha$ представлен на рис. [[fig:skew-normal-2]].
+вычисления: эта функция встроена в некоторые программы и библиотеки
+математических функций. График функции для разных значений $\alpha$ представлен
+на [[fig:skew-normal-2]].
#+name: fig:skew-normal-2
#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии $\alpha$.
[[file:build/skew-normal-2.eps]]
+**** Тестирование.
Решение уравнения eqref:eq:distribution-transformation с выбранной функцией
-распределения можно произвести в каждой точке сгенерированной поверхности, что
-даст наиболее точные результаты, но с вычислительной точки зрения эффективнее
-решить это уравнение в фиксированных узлах, а затем интерполировать решение
-методом наименьших квадратов (МНК). В этом случае точность будет меньше. Так для
-многочлена 12-го порядка и интерполяционной сетке из 500 узлов, построенной на
-промежутке $-5\sigma_z \leq z \leq 5\sigma_z$, погрешность составляет
-$\approx0,43\cdot10^{-3}$. Увеличение порядка многочлена приводит либо к переполнениям
-при интерполяции МНК, либо к дополнительным коэффициентам близким к нулю;
-увеличение количества узлов влияет на результат незначительно. В большинстве
-случаев трех коэффициентов ряда Грама---Шарлье было достаточно для
-преобразования автоковариационной функции; относительная погрешность без
-интерполяции составляет $10^{-5}$.
+распределения можно произвести либо в каждой точке генерируемой поверхности, что
+даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке фиксированной сетки,
+интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК). Во втором случае
+точность будет меньше. Например, интерполяция многочленом 12-го порядка на сетке
+из 500 узлов, построенной на промежутке $-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z$, дает
+погрешность $\approx{0,43}\cdot10^{-3}$. Увеличение порядка многочлена приводит
+либо к переполнениям при интерполяции МНК, либо к дополнительным коэффициентам
+близким к нулю; увеличение размера сетки влияет на результат незначительно. В
+большинстве случаев трех коэффициентов ряда Грама---Шарлье было достаточно для
+преобразования АКФ; относительная погрешность без интерполяции составляет
+$10^{-5}$.
*** Алгоритм генерации белого шума
Чтобы исключить периодичность из сгенерированной моделью ветрового волнения
@@ -1567,6 +1568,10 @@ eqref:eq:solution-2d-full велось по соответствующему с
| <<<ЦПТ>>> | центральная предельная теорема |
| <<<ПМ>>> | аппроксимация Пирсона---Московица для спектра морского волнения |
| <<<ЮУ>>> | система уравнений Юла---Уокера |
+| <<<МНК>>> | метод наименьших квадратов |
+| <<<ФПР>>> | функция плотности распределения |
+| <<<ФР>>> | функция распределения |
+
#+begin_latex
\input{postamble}
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -1336,6 +1336,82 @@ steps.
** Additional formulae, methods and algorithms for ARMA model
*** Wave elevation distribution approximation
+One of the parameters of ocean wavy surface generator is probability density
+function (PDF) of the surface elevation. This distribution is given by either
+polynomial approximation of /in situ/ data or analytic formula.
+
+**** Gram---Charlier series expansion.
+In cite:huang1980experimental the authors experimentally show, that PDF of sea
+surface elevation is distinguished from normal distribution by non-nought
+kurtosis and skewness. In cite:рожков1996теория the authors show, that this type
+of PDF expands in Gram---Charlier series:
+\begin{align}
+ \label{eq:skew-normal-1}
+ F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z)
+ - \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
+ + \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
+ & =
+ \frac{1}{2} \text{erf}\left[\frac{z}{\sqrt{2}}\right]
+ -
+ \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
+ \left[
+ \frac{1}{6} \gamma_1 \left(z^2-1\right)
+ + \frac{1}{24} \gamma_2 z \left(z^2-3\right)
+ \right]
+ ,\nonumber \\
+ f(z; \gamma_1, \gamma_2) & =
+ \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
+ \left[
+ \frac{1}{6} \gamma_1 z \left(z^2-3\right)
+ + \frac{1}{24} \gamma_2 \left(z^4-6z^2+3\right)
+ +1
+ \right],
+\end{align}
+where $\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})$, $\gamma_1$ --- skewness,
+$\gamma_2$ --- kurtosis, $f$ --- PDF, $F$ --- cumulative distribution function
+(CDF). According to cite:рожков1990вероятностные for ocean waves skewness is
+selected from interval $0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]$ and kurtosis from interval
+$0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}$. Family of probability density functions for
+different parameters is shown in [[fig:skew-normal-1]].
+
+#+name: fig:skew-normal-1
+#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-1 of ocean wavy surface elevation for different values of skewness $\gamma_1$ and kurtosis $\gamma_2$.
+[[file:build/skew-normal-1.eps]]
+
+**** Skew-normal distribution.
+Alternative approach is to approximate distribution of ocean wavy surface
+elevation by skew-normal distribution:
+\begin{align}
+ \label{eq:skew-normal-2}
+ F(z; \alpha) & = \frac{1}{2}
+ \mathrm{erfc}\left[-\frac{z}{\sqrt{2}}\right]-2 T(z,\alpha ), \nonumber \\
+ f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
+ \mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
+\end{align}
+where $T$ --- Owen $T$-function cite:owen1956tables. Using this formula it is
+impossible to specify skewness and kurtosis separately --- both values are
+adjusted via $\alpha$ parameter. The only advantage of the formula is its
+relative computational simplicity: this function is available in some programmes
+and mathematical libraries. Its graph for different values of $\alpha$ is shown
+in [[fig:skew-normal-2]].
+
+#+name: fig:skew-normal-2
+#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-2 of ocean wavy surface for different values of skewness coefficient $\alpha$.
+[[file:build/skew-normal-2.eps]]
+
+**** Evaluation.
+Equation eqref:eq:distribution-transformation with selected wave elevation
+distribution may be solved either in every point of generated wavy surface,
+which gives the most accurate results, or in every fixed grid point
+interpolating result via least-squares (LS) polynomial. In the second case
+precision is lower. For example, interpolating 12^th order polynomial on a fixed
+grid of 500 points on interval $-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z$ gives error of
+$\approx{0.43}\cdot10^{-3}$. Increasing polynomial order leads to either numeric
+overflows during LS interpolation, or more coefficient close to nought;
+increasing the size of the grid has insignificant effect on the result. In the
+majority of cases three Gram---Charlier series coefficients is enough to
+transform ACF; relative error without interpolation is $10^{-5}$.
+
*** White noise generation
*** Wavy surface generation
*** Velocity potential normalisation formulae
@@ -1518,6 +1594,9 @@ stationary and MA model parameters finding algorithm to converge.
| <<<CLT>>> | central limit theorem |
| <<<PM>>> | Pierson---Moskowitz ocean wave spectrum approximation |
| <<<YW>>> | Yule---Walker equations |
+| <<<LS>>> | least squares |
+| <<<PDF>>> | probability density function |
+| <<<CDF>>> | cumulative distribution function |
#+begin_export latex
\input{postamble}
