commit 0b364de7556734a488c3a31f88d7533d83ad911f
parent f27b84bbdd58e8f7df79cec5200b4b9d4b6f82e7
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Sun, 9 Apr 2017 14:42:09 +0300
Translate the paragraph.
Diffstat:
2 files changed, 33 insertions(+), 19 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -1303,19 +1303,32 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
\end{array}
\end{equation*}
где \(f_1(x,y)={\zeta_x}/{\SqrtZeta{1+\zeta_x^2+\zeta_y^2}}-\zeta_x\) и
-\(f_2(x,y)={\zeta_y}/{\SqrtZeta{1+\zeta_x^2+\zeta_y^2}}-\zeta_y\). Применяя
-преобразование Фурье к обеим частям, получаем выражение для коэффициентов \(E\):
+\(f_2(x,y)={\zeta_y}/{\SqrtZeta{1+\zeta_x^2+\zeta_y^2}}-\zeta_y\).
+
+Также как и в раделе\nbsp{}[[#sec:pressure-2d]] мы предполагаем, что
+\(\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}\) вблизи свободной поверхности,
+однако в трехмерном случае этого недостаточно для решения задачи. Для того чтобы
+получить аналитическую формулу для коэффициентов \(E\), мы должны предположить,
+что преобразования Фурье в равенстве имеют радиально симметричные ядра, т.е.
+заменить \(u\) и \(v\) на \(\Kveclen\). Есть два момента, поддерживающих это
+предположение. Во-первых, в численной реализации интегрирование ведется по
+положительным волновым числам, так что знак \(u\) и \(v\) не влияет на решение.
+Во-вторых, скорость роста \(\cosh\) в ядре интеграла значительно больше, чем
+скорость роста \(u\) или \(\Kveclen\), так что замена слабо влияет на величину
+решения. Несмотря на эти два момента, использование более математически строго
+подхода было бы предпочтительнее.
+
+Выполняя замену, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства и
+подставляя результат в eqref:eq-guessed-sol-3d, . получаем выражение для
+\(\phi\):
\begin{equation*}
- \arraycolsep=1.4pt
- \begin{array}{rl}
- \FourierY{\zeta_t}{u,v} = &
- \FourierY{i f_1(x,y) \InverseFourierY{2 \pi u \Sinh{2\pi \Kveclen (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
- + & \FourierY{i f_2(x,y) \InverseFourierY{2 \pi v \Sinh{2\pi \Kveclen (z+h)} E(u,v)}{x,y}}{u,v} \\
- - & 2 \pi \Kveclen \Sinh{2\pi \Kveclen (z+h)} E(u,v)
- \end{array}
+ \phi(x,y,z,t) = \InverseFourierY{
+ \frac{ \Sinh{\smash{2\pi \Kveclen (z+h)}} }{ 2\pi\Kveclen }
+ \frac{ \FourierY{ \zeta_t / \left( i f_1(x,y) + i f_2(x,y) - 1 \right)}{u,v} }
+ { \FourierY{\mathcal{D}_3\left( x,y,\zeta\left(x,y\right) \right)}{u,v} }
+ }{x,y},
\end{equation*}
-Окончательное решение получается при подстановке выражения для \(E(u,v)\)
-в eqref:eq-guessed-sol-3d.
+где \(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
* Численные методы и результаты экспериментов
** Форма АКФ для разных волновых профилей
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -1541,14 +1541,15 @@ analytic formula for coefficients \(E\) we need to assume, that all Fourier
transforms in the equation have radially symmetric kernels, i.e. replace \(u\)
and \(v\) with \(\Kveclen\). There are two points supporting this assumption.
First, in numerical implementation integration is done over positive wave
-numbers, so the sign of \(u\) and \(v\) does not affect the result. Second, the
-growth of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher than the growth
-of \(u\) or \(\Kveclen\), so the substitution has small effect on the magnitude
-of the solution. Despite these two points, a use of more mathematically rigorous
-approach would be preferable.
-
-Then applying Fourier transform to both sides of the equation and plugging the
-result into eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for \(\phi\):
+numbers, so the sign of \(u\) and \(v\) does not affect the solution. Second,
+the rate growth of \(\cosh\) term of the integral kernel is much higher than the
+one of \(u\) or \(\Kveclen\), so the substitution has small effect on the
+magnitude of the solution. Despite these two points, a use of more
+mathematically rigorous approach would be preferable.
+
+Making the replacement, applying Fourier transform to both sides of the equation
+and plugging the result into eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for
+\(\phi\):
\begin{equation*}
\phi(x,y,z,t) = \InverseFourierY{
\frac{ \Sinh{\smash{2\pi \Kveclen (z+h)}} }{ 2\pi\Kveclen }
