arma-thesis

git clone https://git.igankevich.com/arma-thesis.git
Log | Files | Refs | LICENSE

commit 02378069c419fc63085f558bfd96a8b120a98526
parent 9bff978d7df886c77fdcd32a31e776b3b04180cc
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date:   Thu,  5 Jan 2017 20:40:17 +0300

Sync infinite depth formula.

Diffstat:
phd-diss-ru.org | 27++++++++++++++-------------
phd-diss.org | 91++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
2 files changed, 104 insertions(+), 14 deletions(-)

diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org @@ -876,10 +876,10 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще dx dy \end{equation*} Решение уравнения будем искать в виде обратного преобразования Фурье -$\phi(x,z) = \InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное равенство со знаком -"+"\footnote{Выражение $v = - i u$ не подходит в данной задаче, поскольку -потенциал скорости должен стремиться к нулю с увеличением глубины (с уменьшением -$z$).}, решение можно переписать как +$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное равенство со +знаком "+"\footnote{Выражение $v={-i}{u}$ не подходит в данной задаче, поскольку +потенциал скорости должен стремиться к нулю с увеличением глубины до +бесконечности.}, решение перепишется как \begin{equation} \label{eq:guessed-sol-2d} \phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x). @@ -896,8 +896,8 @@ $z$).}, решение можно переписать как \end{equation*} где $\Fun{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в [[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение -$\Fourier{\Fun{z}}(u) = e^{2\pi u z}$. Подставляя выражение для -$\phi$ в граничное условие, получим +$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение для $\phi$ в +граничное условие, получим \begin{equation*} \zeta_t = @@ -938,13 +938,14 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж \end{equation} Множитель $e^{2\pi u z}/(2\pi u)$ делает график функции от которой берется -обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси OY. Это затрудняет -применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на концах -промежутка принимает нулевое значение. Реализация же этого обратного -преобразования с помощью численного интегрирования не позволит получить -преимущество над решением всей системы уравнений с помощью разностных схем. -Решением проблемы является использование формулы eqref:eq:solution-2d-full для -жидкости конечной глубины с заведомо большим значением глубины водоема $h$. +обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси $OY$. Это +затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на +концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного +интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей +системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти, +используя формулу eqref:eq:solution-2d-full для жидкости конечной глубины с +заведомо большим значением глубины водоема $h$. Вывод формулы дан в следующем +разделе. **** Формула для жидкости конечной глубины. На дне водоема вертикальная составляющая скорости перемещения жидкости должна diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org @@ -710,8 +710,97 @@ determining pressures under wavy ocean surface. :PROPERTIES: :CUSTOM_ID: sec:pressure-2d :END: - **** Formula for of infinite depth fluid. +Two-dimensional Laplace equation with Robin boundary condition is written as +\begin{align} + \label{eq:problem-2d} + & \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\ + & \zeta_t + \zeta_x\phi_x = \frac{\zeta_x}{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} \phi_x - \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,t).\nonumber +\end{align} +Use Fourier method to solve this problem. Applying Fourier transform to both +sides of the equation yields +\begin{equation*} + -4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right) + \Fourier{\phi(x,z)}(u,v) = 0, +\end{equation*} +hence $v = \pm i u$. Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier +transform: +\begin{equation*} + \Fourier{f(x,y)}(u,v) = + \iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty} + f(x,y) + e^{-2\pi i (x u + y v)} + dx dy +\end{equation*} +We seek solution in the form of inverse Fourier transform +$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Plugging +$v={i}{u}$\footnote{$v={-i}{u}$ is not applicable because velocity potential +must go to nought when depth goes to infinity.} into the formula yields +\begin{equation} + \label{eq:guessed-sol-2d} + \phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x). +\end{equation} +In order to make substitution $z=\zeta(x,t)$ not interfere with Fourier +transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution: +\begin{equation*} + \phi(x,z) + = + \Fun{z} + \ast + \InverseFourier{E(u)}(x), +\end{equation*} +where $\Fun{z}$ --- a function, form of which is defined in section +[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation +$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Plugging expressions for $\phi$ into the +boundary condition yields +\begin{equation*} + \zeta_t + = + \left( i f(x) - 1 \right) + \left[ + \Fun{z} + \ast + \InverseFourier{2\pi u E(u)}(x) + \right], +\end{equation*} +where $f(x)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$. Applying Fourier transform +to both sides of this equation yields formula for coefficients $E$: +\begin{equation*} + E(u) = + \frac{1}{2\pi u} + \frac{ + \Fourier{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}(u) + }{ + \Fourier{\Fun{z}}(u) + } +\end{equation*} +Finally, substituting $z$ for $\zeta(x,t)$ and plugging resulting equation into +eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for $\phi(x,z)$: +\begin{equation} + \label{eq:solution-2d} + \boxed{ + \phi(x,z) + = + \InverseFourier{ + \frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u} + \frac{ + \Fourier{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }(u) + }{ + \Fourier{ \Fun{\zeta(x,t)} }(u) + } + }(x). + } +\end{equation} + +Multiplier $e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})$ makes graph of a function to which Fourier +transform of which is applied asymmetric with respect to $OY$ axis. This makes +it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought on both +ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not faster +than solving the initial system of equations with numerical schemes. This +problem is alleviated by using formula eqref:eq:solution-2d-full for finite +depth fluid with wittingly large depth $h$. This formula is derived in the +following section. + **** Formula for of finite depth fluid. **** Reducing to the formulae from linear wave theory. *** Three-dimensional velocity field