commit 02378069c419fc63085f558bfd96a8b120a98526
parent 9bff978d7df886c77fdcd32a31e776b3b04180cc
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Thu, 5 Jan 2017 20:40:17 +0300
Sync infinite depth formula.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 27 | ++++++++++++++------------- |
| phd-diss.org | | | 91 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- |
2 files changed, 104 insertions(+), 14 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -876,10 +876,10 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
dx dy
\end{equation*}
Решение уравнения будем искать в виде обратного преобразования Фурье
-$\phi(x,z) = \InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное равенство со знаком
-"+"\footnote{Выражение $v = - i u$ не подходит в данной задаче, поскольку
-потенциал скорости должен стремиться к нулю с увеличением глубины (с уменьшением
-$z$).}, решение можно переписать как
+$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Применяя полученное равенство со
+знаком "+"\footnote{Выражение $v={-i}{u}$ не подходит в данной задаче, поскольку
+потенциал скорости должен стремиться к нулю с увеличением глубины до
+бесконечности.}, решение перепишется как
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-2d}
\phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x).
@@ -896,8 +896,8 @@ $z$).}, решение можно переписать как
\end{equation*}
где $\Fun{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
-$\Fourier{\Fun{z}}(u) = e^{2\pi u z}$. Подставляя выражение для
-$\phi$ в граничное условие, получим
+$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение для $\phi$ в
+граничное условие, получим
\begin{equation*}
\zeta_t
=
@@ -938,13 +938,14 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
\end{equation}
Множитель $e^{2\pi u z}/(2\pi u)$ делает график функции от которой берется
-обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси OY. Это затрудняет
-применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на концах
-промежутка принимает нулевое значение. Реализация же этого обратного
-преобразования с помощью численного интегрирования не позволит получить
-преимущество над решением всей системы уравнений с помощью разностных схем.
-Решением проблемы является использование формулы eqref:eq:solution-2d-full для
-жидкости конечной глубины с заведомо большим значением глубины водоема $h$.
+обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси $OY$. Это
+затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на
+концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
+интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
+системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
+используя формулу eqref:eq:solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
+заведомо большим значением глубины водоема $h$. Вывод формулы дан в следующем
+разделе.
**** Формула для жидкости конечной глубины.
На дне водоема вертикальная составляющая скорости перемещения жидкости должна
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -710,8 +710,97 @@ determining pressures under wavy ocean surface.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:pressure-2d
:END:
-
**** Formula for of infinite depth fluid.
+Two-dimensional Laplace equation with Robin boundary condition is written as
+\begin{align}
+ \label{eq:problem-2d}
+ & \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
+ & \zeta_t + \zeta_x\phi_x = \frac{\zeta_x}{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} \phi_x - \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,t).\nonumber
+\end{align}
+Use Fourier method to solve this problem. Applying Fourier transform to both
+sides of the equation yields
+\begin{equation*}
+ -4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
+ \Fourier{\phi(x,z)}(u,v) = 0,
+\end{equation*}
+hence $v = \pm i u$. Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier
+transform:
+\begin{equation*}
+ \Fourier{f(x,y)}(u,v) =
+ \iint\limits_{-\infty}^{\phantom{--}\infty}
+ f(x,y)
+ e^{-2\pi i (x u + y v)}
+ dx dy
+\end{equation*}
+We seek solution in the form of inverse Fourier transform
+$\phi(x,z)=\InverseFourier{E(u,v)}(x,z)$. Plugging
+$v={i}{u}$\footnote{$v={-i}{u}$ is not applicable because velocity potential
+must go to nought when depth goes to infinity.} into the formula yields
+\begin{equation}
+ \label{eq:guessed-sol-2d}
+ \phi(x,z) = \InverseFourier{e^{2\pi u z}E(u)}(x).
+\end{equation}
+In order to make substitution $z=\zeta(x,t)$ not interfere with Fourier
+transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
+\begin{equation*}
+ \phi(x,z)
+ =
+ \Fun{z}
+ \ast
+ \InverseFourier{E(u)}(x),
+\end{equation*}
+where $\Fun{z}$ --- a function, form of which is defined in section
+[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
+$\Fourier{\Fun{z}}(u)=e^{2\pi{u}{z}}$. Plugging expressions for $\phi$ into the
+boundary condition yields
+\begin{equation*}
+ \zeta_t
+ =
+ \left( i f(x) - 1 \right)
+ \left[
+ \Fun{z}
+ \ast
+ \InverseFourier{2\pi u E(u)}(x)
+ \right],
+\end{equation*}
+where $f(x)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$. Applying Fourier transform
+to both sides of this equation yields formula for coefficients $E$:
+\begin{equation*}
+ E(u) =
+ \frac{1}{2\pi u}
+ \frac{
+ \Fourier{\zeta_t / \left(i f(x) - 1\right)}(u)
+ }{
+ \Fourier{\Fun{z}}(u)
+ }
+\end{equation*}
+Finally, substituting $z$ for $\zeta(x,t)$ and plugging resulting equation into
+eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for $\phi(x,z)$:
+\begin{equation}
+ \label{eq:solution-2d}
+ \boxed{
+ \phi(x,z)
+ =
+ \InverseFourier{
+ \frac{e^{2\pi u z}}{2\pi u}
+ \frac{
+ \Fourier{ \zeta_t / \left(i f(x) - 1\right) }(u)
+ }{
+ \Fourier{ \Fun{\zeta(x,t)} }(u)
+ }
+ }(x).
+ }
+\end{equation}
+
+Multiplier $e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})$ makes graph of a function to which Fourier
+transform of which is applied asymmetric with respect to $OY$ axis. This makes
+it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought on both
+ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not faster
+than solving the initial system of equations with numerical schemes. This
+problem is alleviated by using formula eqref:eq:solution-2d-full for finite
+depth fluid with wittingly large depth $h$. This formula is derived in the
+following section.
+
**** Formula for of finite depth fluid.
**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
*** Three-dimensional velocity field
