commit e73981355377723279d67208de34fe1ff563f7f2
parent ef341d4a0aa3b84278a98e8c370223d7bd3d167a
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Sun, 4 Jun 2017 15:33:14 +0300
Correct formulae in GC expansion.
Diffstat:
2 files changed, 35 insertions(+), 44 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -1458,32 +1458,28 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
раскладывается в ряд Грама---Шарлье:
\begin{align}
\label{eq-skew-normal-1}
- F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z)
- - \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
- + \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
- & =
- \frac{1}{2} \text{erf}\left[\frac{z}{\sqrt{2}}\right]
- -
- \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
- \left[
- \frac{1}{6} \gamma_1 \left(z^2-1\right)
- + \frac{1}{24} \gamma_2 z \left(z^2-3\right)
- \right]
- ,\nonumber \\
- f(z; \gamma_1, \gamma_2) & =
- \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
+ & F(z; \mu=0, \sigma=1, \gamma_1, \gamma_2) \approx
+ \Phi(z; \mu, \sigma) \frac{2 + \gamma_2}{2}
+ - \frac{2}{3} \phi(z; \mu, \sigma)
+ \left(\gamma_2 z^3+\gamma_1
+ \left(2 z^2+1\right)\right) \nonumber
+ \\
+ & f(z; \gamma_1, \gamma_2) \approx
+ \frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\left[
+ 1+
\frac{1}{6} \gamma_1 z \left(z^2-3\right)
+ \frac{1}{24} \gamma_2 \left(z^4-6z^2+3\right)
- +1
\right],
\end{align}
-где \(\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})\), \(\gamma_1\)\nbsp{}--- асимметрия,
-\(\gamma_2\)\nbsp{}--- эксцесс, \(f\)\nbsp{}--- ФПР, \(F\)\nbsp{}--- функция распределения (ФР).
-Согласно\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные для аппликат морских волн значение
-асимметрии выбирается на интервале \(0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]\), а значение
-эксцесса на интервале \(0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}\). Семейство плотностей
-распределения при различных параметрах показано на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
+где \(\Phi(z)\)\nbsp{}--- ФР нормального распределения, \(\phi\)\nbsp{}--- ФПР
+нормального распределения, \(\gamma_1\)\nbsp{}--- асимметрия,
+\(\gamma_2\)\nbsp{}--- эксцесс, \(f\)\nbsp{}--- ФПР, \(F\)\nbsp{}--- функция
+распределения (ФР). Согласно\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные для аппликат
+морских волн значение асимметрии выбирается на интервале
+\(0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]\), а значение эксцесса на интервале
+\(0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}\). Семейство плотностей распределения при различных
+параметрах показано на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
#+name: fig-skew-normal-1
#+begin_src R :file build/skew-normal-1-ru.pdf
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -1683,32 +1683,27 @@ kurtosis and skewness. In\nbsp{}cite:рожков1996теория the authors sh
of PDF expands in Gram---Charlier series:
\begin{align}
\label{eq-skew-normal-1}
- F(z; \gamma_1, \gamma_2) & \approx \phi(z)
- - \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
- + \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
- & =
- \frac{1}{2} \text{erf}\left[\frac{z}{\sqrt{2}}\right]
- -
- \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
- \left[
- \frac{1}{6} \gamma_1 \left(z^2-1\right)
- + \frac{1}{24} \gamma_2 z \left(z^2-3\right)
- \right]
- ,\nonumber \\
- f(z; \gamma_1, \gamma_2) & \approx
- \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
+ & F(z; \mu=0, \sigma=1, \gamma_1, \gamma_2) \approx
+ \Phi(z; \mu, \sigma) \frac{2 + \gamma_2}{2}
+ - \frac{2}{3} \phi(z; \mu, \sigma)
+ \left(\gamma_2 z^3+\gamma_1
+ \left(2 z^2+1\right)\right) \nonumber
+ \\
+ & f(z; \mu, \sigma, \gamma_1, \gamma_2) \approx
+ \phi(z; \mu, \sigma)
\left[
- \frac{1}{6} \gamma_1 z \left(z^2-3\right)
- + \frac{1}{24} \gamma_2 \left(z^4-6z^2+3\right)
- +1
+ 1+
+ \frac{1}{3!} \gamma_1 H_3 \left(\frac{z-\mu}{\sigma}\right)
+ + \frac{1}{4!} \gamma_2 H_4 \left(\frac{z-\mu}{\sigma}\right)
\right],
\end{align}
-where \(\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})\), \(\gamma_1\)\nbsp{}--- skewness,
-\(\gamma_2\)\nbsp{}--- kurtosis, \(f\)\nbsp{}--- PDF, \(F\)\nbsp{}--- cumulative distribution function
-(CDF). According to\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные for ocean waves skewness is
-selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from interval
-\(0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}\). Family of probability density functions for
-different parameters is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
+where \(\Phi(z)\)\nbsp{}--- CDF of normal distribution, \(\phi\)\nbsp{}--- PDF
+of normal distribution, \(\gamma_1\)\nbsp{}--- skewness, \(\gamma_2\)\nbsp{}---
+kurtosis, \(f\)\nbsp{}--- PDF, \(F\)\nbsp{}--- cumulative distribution function
+(CDF). According to\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные for ocean waves skewness
+is selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from
+interval \(0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}\). Family of probability density functions
+for different parameters is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
#+NAME: fig-skew-normal-1
#+begin_src R :file build/skew-normal-1.pdf
