commit d25cc090fba3bd71d472e3852748b8e3dfd59cdd
parent ebc3de624d69a554bc90ab1aca3132bb95c6d535
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 16 Jan 2017 12:36:05 +0300
Sync velocity field normalisation.
Diffstat:
2 files changed, 45 insertions(+), 13 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -1438,21 +1438,26 @@ cite:oppenheim1989discrete,svoboda2011efficient,pavel2013algorithms. Суть м
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-В решениях двухмерной задачи eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full
-присутствуют функции $\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi u z}}{x}$ и
-$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi u z}}{x}$, которые могут быть
-представлены аналитически различными выражениями, представляющими сложность для
-вычислений на компьютере. Каждая из функций является преобразованием Фурье от
-линейной комбинации экспонент, которое для таких функций определено неоднозначно
-(см. [[tab:delta-functions]]). Для получения однозначного аналитического выражения
-можно воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2 \pi u h}$, которая также включается
-в выражение для коэффициентов $E(u)$. Численные эксперименты показывают, что
-нормировка хоть и позволяет получить решение с адекватными величинами
-потенциалов скорости, оно мало отличается от выражений из линейной теории волн,
-в которых члены с $\zeta$ опускаются.
+В решениях eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full двухмерной задачи
+определения поля давлений присутствуют функции
+$\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}$ и
+$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}$, которые могут быть
+записаны аналитически различными выражениями и представляют сложность при
+вычислении на компьютере. Каждая функция --- это преобразование Фурье от
+линейной комбинации экспонент, которое сводится к плохо определенной дельта
+функции комплексного аргумента (см. [[tab:delta-functions]]). Обычно такого типа
+функции записывают как произведение дельта функций от действительной и мнимой
+части, однако, такой подход не работает здесь, поскольку взятие обратного
+преобразования Фурье не даст экспоненту, что сильно исказит результирующее поле
+скоростей. Для получения однозначного аналитического выражения можно
+воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2\pi{u}{h}}$ (которая также включается в
+выражение для коэффициентов $E(u)$). Численные эксперименты показывают, что
+нормировка хоть и позволяет получить адекватное поле скоростей, оно мало
+отличается от выражений из линейной теории волн, в которых члены с $\zeta$
+опускаются.
#+name: tab:delta-functions
-#+caption: Формулы вычисления функций $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из [[#sec:pressure-2d]], использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
+#+caption: Формулы для вычисления $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из [[#sec:pressure-2d]], использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
#+attr_latex: :booktabs t
| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -1519,6 +1519,33 @@ values in corresponding points are added.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
+
+In solutions eqref:eq:solution-2d and eqref:eq:solution-2d-full to
+two-dimensional pressure determination problem there are functions
+$\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}$ and
+$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}$ which has multiple
+analytic representations and are difficult to compute. Each function is a
+Fourier transform of linear combination of exponents which reduces to poorly
+defined Dirac delta function of a complex argument (see [[tab:delta-functions]]).
+The usual way of handling this type of functions is to write them as
+multiplication of Dirac delta functions of real and imaginary part, however,
+this approach does not work here, because applying inverse Fourier transform to
+this representation does not produce exponent, which severely warp resulting
+velocity field. In order to get unique analytic definition normalisation factor
+$1/\Sinh{2\pi{u}{h}}$ (which is also included in formula for $E(u)$) may be
+used. Despite the fact that normalisation allows obtaining adequate velocity
+potential field, numerical experiments show that there is little difference
+between this field and the one produced by formulae from linear wave theory, in
+which terms with $\zeta$ are omitted.
+
+#+name: tab:delta-functions
+#+caption: Formulae for computing $\Fun{z}$ and $\FunSecond{z}$ from [[#sec:pressure-2d]], that use normalisation to eliminate uncertainty from definition of Dirac delta function of complex argument.
+#+attr_latex: :booktabs t
+| Function | Without normalisation | Normalised |
+|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
+| $\Fun{z}$ | $\delta (x+i z)$ | $\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)$ |
+| $\FunSecond{z}$ | $\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]$ | $\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]$ |
+
** ARMA model verification
*** Numerical experiments implementation methodology
*** Verification of wavy surface integral characteristics
