commit b42b8ceb262f3f60ce0f1c69758989a818bc7ea6
parent 499ee308714004dc7d0c11f8cea87d6e04288f6b
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Fri, 3 Nov 2017 16:54:45 +0300
Fix eqrefs.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 70 | ++++++++++++++++++++++++++++++---------------------------------------- |
| arma-thesis.org | | | 81 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------------- |
2 files changed, 65 insertions(+), 86 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -82,7 +82,7 @@
взволнованной поверхности).
3. Разработать метод для определения поля давлений под дискретно заданной
взволнованной поверхностью. Такие формулы обычно выводятся для конкретной
- модели путем подстановки формулы профиля волны в eqref:eq-problem, однако
+ модели путем подстановки формулы профиля волны в\nbsp{}eqref:eq-problem, однако
процесс АРСС не содержит в себе формулу профиля волны в явном виде, поэтому
для него необходимо было получить решение для взволнованной поверхности
общего вида (для которой не существует аналитического выражения) без
@@ -463,7 +463,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
специально предназначенного для таких матриц.
После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
-уравнения eqref:eq-yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
+уравнения\nbsp{}eqref:eq-yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -652,7 +652,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\end{align*}
Уравнение предполагается решать численно путем сведения к разностному.
-Как будет показано в [[#sec:compare-formulae]] формула eqref:eq-old-sol-2d
+Как будет показано в [[#sec:compare-formulae]] формула\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d
расходится при попытке вычислить поле скоростей для волн больших амплитуд, а
значит не может быть использована вместе с моделью ветрового волнения,
генерирующей волны произвольных амплитуд.
@@ -750,7 +750,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
Для того чтобы подстановка \(z=\zeta(x,t)\) не помешала использованию
-преобразований Фурье в решении, перепишем eqref:eq-guessed-sol-2d в виде
+преобразований Фурье в решении, перепишем\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d в виде
свертки:
\begin{equation*}
\phi(x,z)
@@ -784,8 +784,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
-Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение в
-eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
+Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\label{eq-solution-2d}
\boxed{
@@ -808,7 +807,7 @@ eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
-используя формулу eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
+используя формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в следующем
разделе.
@@ -833,7 +832,7 @@ eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
откуда имеем \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) и
\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Константа \(C\) здесь произвольна, поскольку
при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов \(E(u)\). Подставляя
-полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в eqref:eq-guessed-sol-2d-full, получаем
+полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d-full, получаем
выражение
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
@@ -873,7 +872,7 @@ eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
преобразований Фурье в этом разделе производились с помощью пакета
Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широко используется
предположение о малости амплитуд волн, что позволяет упростить исходную систему
-уравнений eqref:eq-problem-2d до
+уравнений\nbsp{}eqref:eq-problem-2d до
\begin{align*}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t = -\phi_z & \text{на }z=\zeta(x,t),
@@ -889,15 +888,14 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широ
.
\end{equation*}
Профиль прогрессивной волны описывается формулой \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\).
-Подстановка этого выражения в eqref:eq-solution-2d дает равенство
+Подстановка этого выражения в\nbsp{}eqref:eq-solution-2d дает равенство
\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). Чтобы свести его к
формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий \(e^{-2\pi{k}{z}}\), как
противоречащий условию \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\).
После взятия действительной части выражения получится известная формула линейной
теории \(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\). Аналогично,
-предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу
-eqref:eq-solution-2d-full до
+предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full до
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
=
@@ -927,8 +925,8 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
достаточно большой глубины можно использовать любую из функций (\(\cosh\) или
\(\sinh\)) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
-Сведение формул eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full к формулам
-линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq-solution-2d для жидкости
+Сведение формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full к формулам
+линейной теории волн показывает, что формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d для жидкости
бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
@@ -937,7 +935,7 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
происходит с аналогичными предположениями.
*** Трехмерное поле скоростей
-В трех измерениях исходная система уравнений eqref:eq-problem переписывается как
+В трех измерениях исходная система уравнений\nbsp{}eqref:eq-problem переписывается как
\begin{align}
\label{eq-problem-3d}
& \phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0,\\
@@ -1000,7 +998,7 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
подхода было бы предпочтительнее.
Выполняя замену, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства и
-подставляя результат в eqref:eq-guessed-sol-3d, получаем выражение для
+подставляя результат в\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d, получаем выражение для
\(\phi\):
\begin{equation*}
\label{eq-phi-3d}
@@ -1060,8 +1058,7 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения
-eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
+\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими
выражениями для полиномов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно
упростить, используя следующее равенство:
@@ -1088,8 +1085,7 @@ eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись поли
аппроксимацию для \(f(y)\) также для преобразования поверхности, однако на
практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
-резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
-eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
+резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
@@ -1166,8 +1162,8 @@ eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать мет
синусов было бы неверным.
Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
-выражение eqref:eq-decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
-соответствия eqref:eq-standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
+выражение\nbsp{}eqref:eq-decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
+соответствия\nbsp{}eqref:eq-standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в
начало координат.
@@ -1273,7 +1269,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq-skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии \(\gamma_1\) и эксцесса \(\gamma_2\).
+#+caption: Вид плотности распределения\nbsp{}eqref:eq-skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии \(\gamma_1\) и эксцесса \(\gamma_2\).
#+name: fig-skew-normal-1
#+RESULTS: fig-skew-normal-1
[[file:build/skew-normal-1-ru.pdf]]
@@ -1325,13 +1321,13 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq-skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии \(\alpha\).
+#+caption: Вид плотности распределения\nbsp{}eqref:eq-skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии \(\alpha\).
#+name: fig-skew-normal-2
#+RESULTS: fig-skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
**** Тестирование.
-Решение уравнения eqref:eq-distribution-transformation с выбранной функцией
+Решение уравнения\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation с выбранной функцией
распределения можно произвести либо в каждой точке генерируемой поверхности, что
даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке фиксированной сетки,
интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК). Во втором случае
@@ -1411,7 +1407,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-В решениях eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full двухмерной задачи
+В решениях\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full двухмерной задачи
определения поля давлений присутствуют функции
\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) и
\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\), которые могут быть
@@ -1562,8 +1558,7 @@ for (i in seq(0, 4)) {
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
:END:
-Сравнение полученных общих формул eqref:eq-solution-2d и
-eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
+Сравнение полученных общих формул\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и малых
амплитуд. В общем случае аналитическое выражение для потенциала скорости
неизвестно даже для плоских волн, поэтому сравнение производится численно. Имея
@@ -1578,16 +1573,13 @@ eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линей
полученной взволнованной поверхности. Эксперименты проводились для волн малых и
больших амплитуд.
-Эксперимент показал, что поля потенциалов скоростей, полученные по формуле
-eqref:eq-solution-2d-full для конечной глубины и по формуле
-eqref:eq-solution-2d-linear линейной теории, качественно отличаются
+Эксперимент показал, что поля потенциалов скоростей, полученные по формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full для конечной глубины и по формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-linear линейной теории, качественно отличаются
(см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). Во-первых, контуры
потенциала скорости имеют вид затухающей синусоиды, что отличается от овальной
формы, описываемой линейной теории волн. Во-вторых, по мере приближения к дну
водоема потенциал скорости затухает гораздо быстрее, чем в линейной теории, а
область, где сконцентрирована большая часть энергии волны, еще больше приближена
-к ее гребню. Аналогичный численный эксперимент, в котором из формулы
-eqref:eq-solution-2d-full были исключены члены, которыми пренебрегают в рамках
+к ее гребню. Аналогичный численный эксперимент, в котором из формулы\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full были исключены члены, которыми пренебрегают в рамках
линейной теории волн, показал, что полное соответствие получившихся полей
потенциалов скоростей (насколько это позволяет сделать машинная точность).
@@ -1633,7 +1625,7 @@ arma.plot_velocity_potential_field_legend(
#+end_src
#+name: fig-potential-field-nonlinear
-#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Поле, полученное по формуле eqref:eq-solution-2d-full (сверху) и по формуле линейной теории волн (снизу).
+#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Поле, полученное по формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full (сверху) и по формуле линейной теории волн (снизу).
#+attr_latex: :width \textwidth
#+RESULTS: fig-potential-field-nonlinear
[[file:build/plain-wave-velocity-field-comparison-ru.pdf]]
@@ -1642,17 +1634,15 @@ arma.plot_velocity_potential_field_legend(
**** Отличие от формул теории волн малой амплитуды.
Эксперимент, в котором сравнивались поля потенциалов скоростей, полученные
численно различными формулами, показал, что поля скоростей, полученные по
-формуле eqref:eq-solution-2d-full и формуле для волн малой амплитуды
-eqref:eq-old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом эксперименте
+формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full и формуле для волн малой амплитуды\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом эксперименте
использовались две реализации взволнованной морской поверхности, полученные по
модели АР: одна содержала волны малой амплитуды, другая\nbsp{}--- большой.
-Интегрирование в формуле eqref:eq-solution-2d-full велось по диапазону волновых
+Интегрирование в формуле\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full велось по диапазону волновых
чисел, полученному из морской поверхности. Для волн малой амплитуды обе формулы
показали сопоставимые результаты (разница в значениях скорости приписывается
стохастической природе модели АР), в то время как для волн больших амплитуд
-устойчивое поле скоростей дала только формула eqref:eq-solution-2d-full (рис.
-рис.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). Таким образом, общая формула
-eqref:eq-solution-2d-full показывает удовлетворительные результаты, не вводя
+устойчивое поле скоростей дала только формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full
+(рис.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). Таким образом, общая формула\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full показывает удовлетворительные результаты, не вводя
ограничения на амплитуду волн.
#+name: fig-velocity-field-2d
diff --git a/arma-thesis.org b/arma-thesis.org
@@ -76,7 +76,7 @@ is still much work to be done to make it useful in practice.
surface elevation).
3. Develop a method to determine pressure field under discretely given wavy
surface. Usually, such formulae are derived for a particular model by
- substituting wave profile formula into the eq. eqref:eq-problem, however,
+ substituting wave profile formula into the eq.\nbsp{}eqref:eq-problem, however,
ARMA process does not provide explicit wave profile formula, so this problem
has to be solved for general wavy surface (which is not defined by an
analytic formula), without linearisation of boundaries and assumption of
@@ -440,8 +440,7 @@ eliminated. Matrix \(\Gamma\) is block-toeplitz, positive definite and symmetric
hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition, which is
particularly suitable for these types of matrices.
-After solving this system of equations white noise variance is estimated from
-eqref:eq-yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
+After solving this system of equations white noise variance is estimated from\nbsp{}eqref:eq-yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -631,7 +630,7 @@ the form of elliptic partial differential equation (PDE):
The authors suggest transforming this equation to finite differences and solve
it numerically.
-As will be shown in [[#sec:compare-formulae]] that eqref:eq-old-sol-2d diverges when
+As will be shown in [[#sec:compare-formulae]] that\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d diverges when
attempted to calculate velocity field for large-amplitude waves, and this is the
reason that it can not be used together with ARMA model, that generates
arbitrary-amplitude waves.
@@ -725,7 +724,7 @@ infinity.] \(v={i}{u}\) into the formula yields
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
In order to make substitution \(z=\zeta(x,t)\) not interfere with Fourier
-transforms, we rewrite eqref:eq-guessed-sol-2d as a convolution:
+transforms, we rewrite\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d as a convolution:
\begin{equation*}
\phi(x,z)
=
@@ -758,8 +757,7 @@ to both sides of this equation yields formula for coefficients \(E\):
\FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
-Finally, substituting \(z\) for \(\zeta(x,t)\) and plugging resulting equation into
-eqref:eq-guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
+Finally, substituting \(z\) for \(\zeta(x,t)\) and plugging resulting equation into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\label{eq-solution-2d}
\boxed{
@@ -781,7 +779,7 @@ transform of which is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis. This makes
it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought on both
ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not faster
than solving the initial system of equations with numerical schemes. This
-problem is alleviated by using formula eqref:eq-solution-2d-full for finite
+problem is alleviated by using formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full for finite
depth fluid with wittingly large depth \(h\). This formula is derived in the
following section.
@@ -806,7 +804,7 @@ Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom yields
hence \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) and
\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Constant \(C\) may take arbitrary value
here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients \(E(u)\).
-Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\) into eqref:eq-guessed-sol-2d-full yields
+Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\) into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-2d-full yields
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
@@ -843,8 +841,7 @@ Check the validity of derived formulae by substituting \(\zeta(x,t)\) with known
analytic formula for plain waves. Symbolic computation of Fourier transforms in
this section were performed in Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. In the framework
of linear wave theory assume that waves have small amplitude compared to their
-lengths, which allows us to simplify initial system of equations
-eqref:eq-problem-2d to
+lengths, which allows us to simplify initial system of equations\nbsp{}eqref:eq-problem-2d to
\begin{align*}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t = -\phi_z & \text{на }z=\zeta(x,t),
@@ -860,7 +857,7 @@ solution to which is written as
.
\end{equation*}
Propagating wave profile is defined as \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\). Plugging
-this formula into eqref:eq-solution-2d yields
+this formula into\nbsp{}eqref:eq-solution-2d yields
\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). In order to reduce
it to the formula from linear wave theory, rewrite hyperbolic sine in
exponential form, discard the term containing \(e^{-2\pi{k}{z}}\) as contradicting
@@ -868,7 +865,7 @@ condition \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\). Taking real
part of the resulting formula yields
\(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\), which corresponds to
the known formula from linear wave theory. Similarly, under small-amplitude
-waves assumption the formula for finite depth fluid eqref:eq-solution-2d-full is
+waves assumption the formula for finite depth fluid\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full is
reduced to
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
@@ -898,16 +895,15 @@ depth difference near free surface is negligible). So, for sufficiently large
depth any function (\(\cosh\) or \(\sinh\)) may be used for velocity potential
computation near free surface.
-Reducing eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae
-from linear wave theory shows, that formula for infinite depth
-eqref:eq-solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
+Reducing\nbsp{}eqref:eq-solution-2d и\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae
+from linear wave theory shows, that formula for infinite depth\nbsp{}eqref:eq-solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
method, because it does not have symmetry, which is required for Fourier
transform. However, formula for finite depth can be used instead by setting \(h\)
to some characteristic water depth. For standing wave reducing to linear wave
theory formulae is made under the same assumptions.
*** Three-dimensional velocity field
-Three-dimensional version of eqref:eq-problem is written as
+Three-dimensional version of\nbsp{}eqref:eq-problem is written as
\begin{align}
\label{eq-problem-3d}
& \phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0,\\
@@ -969,7 +965,7 @@ magnitude of the solution. Despite these two points, a use of more
mathematically rigorous approach would be preferable.
Making the replacement, applying Fourier transform to both sides of the equation
-and plugging the result into eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for
+and plugging the result into\nbsp{}eqref:eq-guessed-sol-3d yields formula for
\(\phi\):
\begin{equation}
\label{eq-phi-3d}
@@ -1026,8 +1022,7 @@ where
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-\(H_m\)\nbsp{}--- Hermite polynomial, and \(f(y)\)\nbsp{}--- solution to equation
-eqref:eq-distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
+\(H_m\)\nbsp{}--- Hermite polynomial, and \(f(y)\)\nbsp{}--- solution to equation\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
\(f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i\) and analytic formulae for Hermite
polynomial yields
\begin{equation*}
@@ -1053,8 +1048,7 @@ In\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis the author suggests using polynomial
approximation \(f(y)\) also for wavy surface transformation, however, in
practice sea surface realisation often contains points, where \(z\)-coordinate
is beyond the limits of the approximation, which makes solution invalid. In
-these points it is more efficient to solve equation
-eqref:eq-distribution-transformation by bisection method. Using the same
+these points it is more efficient to solve equation\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation by bisection method. Using the same
approximation in Gram---Charlier series does not lead to such errors.
* Numerical methods and experimental results
@@ -1127,7 +1121,7 @@ at \((0,0,0)\) equals to the ARMA process variance, and if one used sines the
value would be wrong.
If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way
-is to adapt eqref:eq-decaying-standing-wave to match eqref:eq-standing-wave-acf.
+is to adapt\nbsp{}eqref:eq-decaying-standing-wave to match\nbsp{}eqref:eq-standing-wave-acf.
This can be done either by changing the phase of the sine, or by substituting
sine with cosine to move the maximum of the function to the origin of
coordinates.
@@ -1233,7 +1227,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq-skew-normal-1 of sea wavy surface elevation for different values of skewness \(\gamma_1\) and kurtosis \(\gamma_2\).
+#+caption: Probability density function\nbsp{}eqref:eq-skew-normal-1 of sea wavy surface elevation for different values of skewness \(\gamma_1\) and kurtosis \(\gamma_2\).
#+name: fig-skew-normal-1
#+RESULTS: fig-skew-normal-1
[[file:build/skew-normal-1.pdf]]
@@ -1285,13 +1279,13 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq-skew-normal-2 of sea wavy surface for different values of skewness coefficient \(\alpha\).
+#+caption: Probability density function\nbsp{}eqref:eq-skew-normal-2 of sea wavy surface for different values of skewness coefficient \(\alpha\).
#+name: fig-skew-normal-2
#+RESULTS: fig-skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
**** Evaluation.
-Equation eqref:eq-distribution-transformation with selected wave elevation
+Equation\nbsp{}eqref:eq-distribution-transformation with selected wave elevation
distribution may be solved either in every point of generated wavy surface,
which gives the most accurate results, or in every fixed grid point
interpolating result via least-squares (LS) polynomial. In the second case
@@ -1367,7 +1361,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval()
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-In solutions eqref:eq-solution-2d and eqref:eq-solution-2d-full to
+In solutions\nbsp{}eqref:eq-solution-2d and\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full to
two-dimensional pressure determination problem there are functions
\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) and
\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\) which has multiple
@@ -1518,8 +1512,7 @@ not affected by the type of waves.
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
:END:
-Comparing obtained generic formulae eqref:eq-solution-2d and
-eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae from linear wave theory allows
+Comparing obtained generic formulae\nbsp{}eqref:eq-solution-2d and\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae from linear wave theory allows
to see the difference between velocity fields for both large and small
amplitude waves. In general analytic formula for velocity potential in not
known, even for plain waves, so comparison is done numerically. Taking into
@@ -1533,15 +1526,13 @@ numbers in Fourier transforms were chosen on the interval from \(0\) to the
maximal wave number determined numerically from the obtained wavy surface.
Experiments were conducted for waves of both small and large amplitudes.
-The experiment showed that velocity potential fields produced by formula
-eqref:eq-solution-2d-full for finite depth fluid and formula
-eqref:eq-solution-2d-linear from linear wave theory are qualitatively different
+The experiment showed that velocity potential fields produced by formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full for finite depth fluid and formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-linear from linear wave theory are qualitatively different
(fig.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). First, velocity potential
contours have sinusoidal shape, which is different from oval shape described by
linear wave theory. Second, velocity potential decays more rapidly than in
linear wave theory as getting closer to the bottom, and the region where the
majority of wave energy is concentrated is closer to the wave crest. Similar
-numerical experiment, in which all terms of eqref:eq-solution-2d-full that are
+numerical experiment, in which all terms of\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full that are
neglected in the framework of linear wave theory are eliminated, shows no
difference (as much as machine precision allows) in resulting velocity
potential fields.
@@ -1587,7 +1578,7 @@ arma.plot_velocity_potential_field_legend(
)
#+end_src
-#+caption: Velocity potential field of propagating wave \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Field produced by formula eqref:eq-solution-2d-full (top) and linear wave theory formula (bottom).
+#+caption: Velocity potential field of propagating wave \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Field produced by formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full (top) and linear wave theory formula (bottom).
#+name: fig-potential-field-nonlinear
#+attr_latex: :width \textwidth
#+RESULTS: fig-potential-field-nonlinear
@@ -1595,18 +1586,16 @@ arma.plot_velocity_potential_field_legend(
**** The difference with small-amplitude wave theory.
The experiment, in which velocity fields produced numerically by different
-formulae were compared, shows that velocity fields produced by formula
-eqref:eq-solution-2d-full and eqref:eq-old-sol-2d correspond to each other for
-small-amplitude waves. Two sea wavy surface realisations were made by AR
-model: one containing small-amplitude waves, other containing large-amplitude
-waves. Integration in formula eqref:eq-solution-2d-full was done over wave
-numbers range extracted from the generated wavy surface. For small-amplitude
-waves both formulae showed comparable results (the difference in the velocity is
-attributed to the stochastic nature of AR model), whereas for large-amplitude
-waves stable velocity field was produced only by formula
-eqref:eq-solution-2d-full (fig.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). So, generic
-formula eqref:eq-solution-2d-full gives satisfactory results without restriction
-on wave amplitudes.
+formulae were compared, shows that velocity fields produced by formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full and\nbsp{}eqref:eq-old-sol-2d correspond to each
+other for small-amplitude waves. Two sea wavy surface realisations were made by
+AR model: one containing small-amplitude waves, other containing
+large-amplitude waves. Integration in formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full
+was done over wave numbers range extracted from the generated wavy surface. For
+small-amplitude waves both formulae showed comparable results (the difference
+in the velocity is attributed to the stochastic nature of AR model), whereas
+for large-amplitude waves stable velocity field was produced only by formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full (fig.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). So,
+generic formula\nbsp{}eqref:eq-solution-2d-full gives satisfactory results
+without restriction on wave amplitudes.
#+name: fig-velocity-field-2d
#+header: :width 8 :height 11
