arma-thesis

git clone https://git.igankevich.com/arma-thesis.git
Log | Files | Refs | LICENSE

commit a096711ad2aaa61cb89b224c5632c2f90c62644f
parent ff38f1991674d15de7233be0250b5931ec59e0d8
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date:   Mon, 31 Oct 2016 20:06:08 +0300

Add non-linear part.

Diffstat:
phd-diss-ru.org | 73+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 73 insertions(+), 0 deletions(-)

diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org @@ -299,6 +299,79 @@ $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула я *** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн ** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности ** Моделирование нелинейности морских волн +Нелинейность морского волнения может быть учтена в рамках авторегрессионной +модели путем генерации взволнованной поверхности с заданным одномерным законом +распределения, что может быть достигнуто нелинейным безынерционным +преобразованием случайного процесса. При этом любое нелинейное преобразование +случайного процесса приводит к преобразованию его автоковариационной функции, и +самый простой способ подавить этот эффект состоит в предварительной +трансформации автоковариационной функции процесса. Подробный метод +преобразования изложен в работе cite:boukhanovsky1997thesis. + +Формула $z=f(y)$ преобразования взволнованной поверхности к необходимому +одномерному закону распределения $F(z)$ получается путем решения нелинейного +трансцендентного уравнения $F(z) = \Phi(y)$, где $\Phi(y)$ --- функция +одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения +аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на +натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке +$y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности относительно $z_k$, тогда оно +запишется в виде +\begin{equation} + \label{eq:distribution-transformation} + F(z_k) + = + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + \int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt + , +\end{equation} +а для его решения этого можно использовать простейший численный метод +половинного деления (метод бисекции). + +Для предварительного преобразования автоковариационной функции $K_z$ процесса ее +необходимо разложить в ряд по полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье) +\begin{equation*} + K_z \left( \vec u \right) + = + \sum\limits_{m=0}^{\infty} + C_m^2 \frac{K_y^m \left( \vec u \right)}{m!}, +\end{equation*} +где +\begin{equation*} + C_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + \int\limits_{0}^\infty + f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right], +\end{equation*} +$H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение +уравнения~\eqref{eq:distribution-transformation}. Воспользовавшись +полиномиальной аппроксимацией $f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i$ и +аналитическими выражениями для полнимов Эрмита, формулу определения +коэффициентов можно упростить, используя следующее равенство: +\begin{equation*} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + \int\limits_\infty^\infty + y^k \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right] + = + \begin{cases} + (k-1)!! & \text{для четных }k,\\ + 0 & \text{для нечетных }k. + \end{cases} +\end{equation*} +Вычисление коэффициентов $C_m$ ведется последовательно и критерий прекращения +счета определяется совпадением дисперсий обоих полей с требуемой точностью +$\epsilon$: +\begin{equation*} + \left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m + \frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon. +\end{equation*} + +В cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную +аппроксимацию для $f(y)$ также для преобразования поверхности, однако на +практике в реализации взволнованной поверхности всегда находятся точки, +выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к +резкому уменьшению точности аппроксимации. В этих точках +уравнение eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать методом +бисекции. Использование полиномиальной аппроксимацией в формулах для +коэффициентов ряда Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам. ** Нефизическая природа модели * Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью * Высокопроизводительный программный комплекс для моделирования морского волнения