commit a096711ad2aaa61cb89b224c5632c2f90c62644f
parent ff38f1991674d15de7233be0250b5931ec59e0d8
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 31 Oct 2016 20:06:08 +0300
Add non-linear part.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 73 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
1 file changed, 73 insertions(+), 0 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -299,6 +299,79 @@ $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула я
*** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн
** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
** Моделирование нелинейности морских волн
+Нелинейность морского волнения может быть учтена в рамках авторегрессионной
+модели путем генерации взволнованной поверхности с заданным одномерным законом
+распределения, что может быть достигнуто нелинейным безынерционным
+преобразованием случайного процесса. При этом любое нелинейное преобразование
+случайного процесса приводит к преобразованию его автоковариационной функции, и
+самый простой способ подавить этот эффект состоит в предварительной
+трансформации автоковариационной функции процесса. Подробный метод
+преобразования изложен в работе cite:boukhanovsky1997thesis.
+
+Формула $z=f(y)$ преобразования взволнованной поверхности к необходимому
+одномерному закону распределения $F(z)$ получается путем решения нелинейного
+трансцендентного уравнения $F(z) = \Phi(y)$, где $\Phi(y)$ --- функция
+одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения
+аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на
+натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке
+$y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности относительно $z_k$, тогда оно
+запишется в виде
+\begin{equation}
+ \label{eq:distribution-transformation}
+ F(z_k)
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt
+ ,
+\end{equation}
+а для его решения этого можно использовать простейший численный метод
+половинного деления (метод бисекции).
+
+Для предварительного преобразования автоковариационной функции $K_z$ процесса ее
+необходимо разложить в ряд по полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
+\begin{equation*}
+ K_z \left( \vec u \right)
+ =
+ \sum\limits_{m=0}^{\infty}
+ C_m^2 \frac{K_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
+\end{equation*}
+где
+\begin{equation*}
+ C_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_{0}^\infty
+ f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
+\end{equation*}
+$H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение
+уравнения~\eqref{eq:distribution-transformation}. Воспользовавшись
+полиномиальной аппроксимацией $f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i$ и
+аналитическими выражениями для полнимов Эрмита, формулу определения
+коэффициентов можно упростить, используя следующее равенство:
+\begin{equation*}
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_\infty^\infty
+ y^k \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right]
+ =
+ \begin{cases}
+ (k-1)!! & \text{для четных }k,\\
+ 0 & \text{для нечетных }k.
+ \end{cases}
+\end{equation*}
+Вычисление коэффициентов $C_m$ ведется последовательно и критерий прекращения
+счета определяется совпадением дисперсий обоих полей с требуемой точностью
+$\epsilon$:
+\begin{equation*}
+ \left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
+ \frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
+\end{equation*}
+
+В cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную
+аппроксимацию для $f(y)$ также для преобразования поверхности, однако на
+практике в реализации взволнованной поверхности всегда находятся точки,
+выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
+резкому уменьшению точности аппроксимации. В этих точках
+уравнение eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать методом
+бисекции. Использование полиномиальной аппроксимацией в формулах для
+коэффициентов ряда Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
** Нефизическая природа модели
* Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью
* Высокопроизводительный программный комплекс для моделирования морского волнения
