commit 878545d204bbae52b580b655cc7671b2c659f31c
parent a6aad3ce0196124bbad5e73334e57f68d946a0dc
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Sat, 5 Nov 2016 12:40:39 +0300
Added everything from the graduation work.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 137 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- |
1 file changed, 136 insertions(+), 1 deletion(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -300,6 +300,121 @@ $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула я
** Основные формулы трехмерного процесса AРСС
*** Три возможных процесса
**** Процесс авторегрессии (АР).
+Авторегрессионная модель представляет взволнованную морскую поверхность в виде
+пространственно-временного поля, каждая точка которого является взвешенной
+суммой предыдущих по времени точек и некоторой случайной переменной (белого
+шума). Таким образом, состояние взволнованной поверхности в заданный момент
+времени находится в авторегрессионной зависимости от состояний в предыдущие
+моменты времени и от случайной переменной с нормальным распределением. Такая
+зависимость определяется соотношением
+\begin{equation*}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N} \Phi_{\vec j}
+ \zeta_{\vec i - \vec j} +
+ \epsilon_{\vec i},
+\end{equation*}
+где $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, $\Phi$ ---
+коэффициенты авторегрессии, $\Phi_{\vec 0} \equiv 0$ по определению, $\epsilon$
+--- белый шум, $N$ --- порядок регрессии по каждому из измерений, а стрелки
+обозначают многокомпонентные индексы, содержащие значение для каждого измерения.
+В общем случае в качестве компонент могут выступать любые скалярные величины,
+такие как температура, соленость и концентрация какого-либо раствора в воде.
+
+% TODO куда деть соленость?
+
+Коэффициенты авторегрессии опеределяются из многомерных уравнений Юла---Уокера,
+которые получаются домножением на $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ обеих частей
+уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения Юла---Уокера
+записываются как
+\begin{equation}
+ \label{eq:yule-walker}
+ \gamma_{\vec k}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j}
+ \text{ }\gamma_{\vec{k}-\vec{j}}
+ +
+ \Var{\epsilon} \delta_{\vec{k}},
+ \qquad
+ \delta_{\vec{k}} =
+ \begin{cases}
+ 1, \quad \text{if } \vec{k}=0 \\
+ 0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
+ \end{cases}
+\end{equation}
+где $\gamma$ --- \gls{АКФ} процесса $\zeta$, $\Var{\epsilon}$~--- дисперсия
+белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений Юла---Уокера,
+используемой в данной работе, имеет следующий вид.
+\begin{equation*}
+ \Gamma
+ \left[
+ \begin{array}{l}
+ \Phi_{\vec 0}\\
+ \Phi_{0,0,1}\\
+ \vdotswithin{\Phi_{\vec 0}}\\
+ \Phi_{\vec N}
+ \end{array}
+ \right]
+ =
+ \left[
+ \begin{array}{l}
+ \gamma_{0,0,0}-\Var{\epsilon}\\
+ \gamma_{0,0,1}\\
+ \vdotswithin{\gamma_{\vec 0}}\\
+ \gamma_{\vec N}
+ \end{array}
+ \right],
+ \qquad
+ \Gamma=
+ \left[
+ \begin{array}{llll}
+ \Gamma_0 & \Gamma_1 & \cdots & \Gamma_{N_1} \\
+ \Gamma_1 & \Gamma_0 & \ddots & \vdotswithin{\Gamma_0} \\
+ \vdotswithin{\Gamma_0} & \ddots & \ddots & \Gamma_1 \\
+ \Gamma_{N_1} & \cdots & \Gamma_1 & \Gamma_0
+ \end{array}
+ \right],
+\end{equation*}
+где $\vec N = \left( N_1, N_2, N_3 \right)$ и
+\begin{equation*}
+ \Gamma_i =
+ \left[
+ \begin{array}{llll}
+ \Gamma^0_i & \Gamma^1_i & \cdots & \Gamma^{N_2}_i \\
+ \Gamma^1_i & \Gamma^0_i & \ddots & \vdotswithin{\Gamma^0_i} \\
+ \vdotswithin{\Gamma^0_i} & \ddots & \ddots & \Gamma^1_i \\
+ \Gamma^{N_2}_i & \cdots & \Gamma^1_i & \Gamma^0_i
+ \end{array}
+ \right]
+ \qquad
+ \Gamma_i^j=
+ \left[
+ \begin{array}{llll}
+ \gamma_{i,j,0} & \gamma_{i,j,1} & \cdots & \gamma_{i,j,N_3} \\
+ \gamma_{i,j,1} & \gamma_{i,j,0} & \ddots &x \vdotswithin{\gamma_{i,j,0}} \\
+ \vdotswithin{\gamma_{i,j,0}} & \ddots & \ddots & \gamma_{i,j,1} \\
+ \gamma_{i,j,N_3} & \cdots & \gamma_{i,j,1} & \gamma_{i,j,0}
+ \end{array}
+ \right],
+\end{equation*}
+Поскольку по определению $\Phi_{\vec 0}\equiv0$, то первую строку и столбец
+матрицы $\Gamma$ можно отбросить. Матрица $\Gamma$ как и оставшаяся от нее
+матрица будут блочно-теплицевы, положительно определены и симметричны, поэтому
+систему уравнений Юла---Уокера можно решить методом Холецкого, предназначенного
+для таких матриц.
+
+После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
+уравнения eqref:eq:yule-walker при $\vec k = \vec 0$ как
+\begin{equation*}
+ \Var{\epsilon} =
+ \Var{\zeta}
+ -
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
+ \Phi_{\vec j}
+ \text{ }\gamma_{\vec{j}}.
+\end{equation*}
+
**** Процесс скользящего среднего (СС).
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
*** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн
@@ -921,6 +1036,22 @@ $\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут
** Верификация модели АРСС
*** Методика постановки численных экспериментов
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
+Отличительной особенностью авторегрессионной модели ветрового волнения является
+ее нефизическое происхождение: она возникла не в результате решения системы
+уравнений Навье---Стокса в некотором приближении, а как решение ряда проблем, с
+которыми столкнулись исследователи, использовавшие модель Лонге---Хиггинса на
+практике. Для использования авторегрессионной модели на практике в ряде
+экспериментов были исследованы различные характеристики генерируемой ей
+реализации и сопоставлены с соответствующими характеристиками реальной
+взволнованной морской поверхности.
+
+Для авторегрессионной модели в работах
+cite:degtyarev2011modelling,degtyarev2013synoptic,boukhanovsky1997thesis
+экспериментальным путем были верифицированы
+- распределения различных характеристик волн (высоты волн, длины волн, длины гребней, период волн, уклон волн, показатель трехмерности),
+- дисперсионное соотношение,
+- сохранение интегральных характеристик для случая смешанного волнения.
+
*** Верификация полей потенциалов скоростей
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
@@ -950,6 +1081,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full были исключены члены, которым
#+name: fig:potential-field-nonlinear
#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны $\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)$. Поле, полученное по формуле eqref:eq:solution-2d-full (слева) и по формуле линейной теории волн (справа).
+#+attr_latex: :width 0.47\textwidth
#+begin_figure
[[file:graphics/pressure/potential-5.eps]]
[[file:graphics/pressure/potential-6.eps]]
@@ -1070,7 +1202,10 @@ exit
реализация могут стать основой виртуального полигона, предназанченного для
расчетов динамики морских объектов.
-* Благодарности
+* TODO Благодарности
+Исследования были проведены с использованием вычислительных ресурсов Ресурсного
+Центра «Вычислительный центр СПбГУ» (\url{http://cc.spbu.ru/}) при поддержке
+грантами РФФИ №16-07-01111, №16-07-00886 и грантом СПбГУ №0.37.155.2014.
* Список сокращений и условных обозначений
#+attr_latex: :booktabs t
