commit 71d6dc8fec51055e897c2fa536dc07cbd2b1606e
parent b01f95e210b593378bfecde2f1c687f3ca0b4221
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 3 Jan 2017 18:54:15 +0300
Sync MA process.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 64 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------- |
| phd-diss.org | | | 54 | +++++++++++++++++++++++++++++++----------------------- |
2 files changed, 84 insertions(+), 34 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -502,23 +502,21 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
+
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
- ,
- \label{eq:arma-process}
+ ,
+ \label{eq:arma-process}
\end{equation}
где $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, $\Phi$ ---
коэффициенты процесса АР, $\Theta$ --- коэффициенты процесса СС, $\epsilon$ ---
белый шум, имеющий Гауссово распределение, $\vec N$ --- порядок процесса АР,
-$\vec M$ --- порядок процесса СС, причем $\Phi_{\vec 0} \equiv 0$, $\Theta_{\vec
-0} \equiv 0$. Здесь стрелки обозначают многокомпонентные индексы, содержащие
-отдельную компоненту для каждого измерения. В общем случае в качестве компонент
-могут выступать любые скалярные величины (температура, соленость, концентрация
-какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат коэффициенты и
-порядки процессов АР и СС.
+$\vec M$ --- порядок процесса СС, причем $\Phi_{\vec{0}}\equiv0$,
+$\Theta_{\vec{0}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают многокомпонентные индексы,
+содержащие отдельную компоненту для каждого измерения. В общем случае в качестве
+компонент могут выступать любые скалярные величины (температура, соленость,
+концентрация какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат
+коэффициенты и порядки процессов АР и СС.
**** Процесс авторегрессии (АР).
-
-
-Процесс АР это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом вместо их
+Процесс АР --- это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом вместо их
взвешенной суммы:
\begin{equation}
\zeta_{\vec i}
@@ -623,6 +621,50 @@ $\vec M$ --- порядок процесса СС, причем $\Phi_{\vec 0} \
\end{equation*}
**** Процесс скользящего среднего (СС).
+Процесс СС --- это процесс АРСС, в котором $\Phi\equiv0$:
+\begin{equation}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
+ .
+ \label{eq:ma-process}
+\end{equation}
+Коэффициенты СС $\Theta$ определяются неявно из системы нелинейных уравнений
+\begin{equation*}
+ \gamma_{\vec i} =
+ \left[
+ \displaystyle
+ \sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j}\Theta_{\vec j - \vec i}
+ \right]
+ \Var{\epsilon}.
+\end{equation*}
+Система решается численно с помощью метода простой итерации по формуле
+\begin{equation*}
+ \Theta_{\vec i} =
+ -\frac{\gamma_{\vec 0}}{\Var{\epsilon}}
+ +
+ \sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \Theta_{\vec j - \vec i}.
+\end{equation*}
+Здесь новые значения коэффициентов $\Theta$ вычисляются, начиная с последнего:
+от $\vec{i}=\vec{M}$ до $\vec{i}=\vec{0}$. Дисперсия белого шума вычисляется из
+\begin{equation*}
+ \Var{\epsilon} = \frac{\gamma_{\vec 0}}{
+ 1
+ +
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j}^2
+ }.
+\end{equation*}
+Авторы cite:box1976time предлагают использовать метод Ньютона---Рафсона для
+решения этого уравнения с большей точностью, однако, этот метод не подходит для
+трех измерений. Использование более медленного метода не оказывает большого
+эффекта на общую производительность программы, потому что количество
+коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на генерацию
+взволнованной поверхности.
+
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
*** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн
** Моделирование нелинейности морских волн
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -490,42 +490,50 @@ eqref:eq:yule-walker by plugging $\vec k = \vec 0$:
\end{equation*}
**** Moving average (MA) process.
-The coefficients $\Theta$ are calculated from ACF via the following non-linear
+MA process is ARMA process with $\Phi\equiv0$:
+\begin{equation}
+ \zeta_{\vec i}
+ =
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
+ .
+ \label{eq:ma-process}
+\end{equation}
+MA coefficients $\Theta$ are defined implicitly via the following non-linear
system of equations:
\begin{equation*}
- K_{i,j,k} =
+ \gamma_{\vec i} =
\left[
\displaystyle
- \sum\limits_{l=i}^{q_1}
- \sum\limits_{m=j}^{q_2}
- \sum\limits_{n=k}^{q_3}
- \Theta_{l,m,n}\Theta_{l-i,m-j,n-k}
+ \sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j}\Theta_{\vec j - \vec i}
\right]
- \Var{\epsilon},
+ \Var{\epsilon}.
\end{equation*}
-which is solved by fixed-point iteration method via the following formulae
+The system is solved numerically by fixed-point iteration method via the
+following formulae
\begin{equation*}
- \theta_{i,j,k} =
- -\frac{K_{0,0,0}}{\Var{\epsilon}}
+ \Theta_{\vec i} =
+ -\frac{\gamma_{\vec 0}}{\Var{\epsilon}}
+
- \sum\limits_{l=i}^{q_1}
- \sum\limits_{m=j}^{q_2}
- \sum\limits_{n=k}^{q_3}
- \Theta_{l,m,n} \Theta_{l-i,m-j,n-k}
+ \sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j} \Theta_{\vec j - \vec i}.
\end{equation*}
-Coefficients are updated from back to front: from
-$(i,j,k) = (q_1,q_2,q_3)$ to $(i,j,k) = (0,0,0)$. White noise variance is
-estimated by
+Here coefficients $\Theta$ are calculated from back to front: from
+$\vec{i}=\vec{M}$ to $\vec{i}=\vec{0}$. White noise variance is estimated by
\begin{equation*}
- \Var{\epsilon} = \frac{K_{0,0,0}}{
+ \Var{\epsilon} = \frac{\gamma_{\vec 0}}{
1
+
- \sum\limits_{i=0}^{q_1}
- \sum\limits_{i=0}^{q_2}
- \sum\limits_{k=0}^{q_3}
- \Theta_{i,j,k}^2
- }.
+ \sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
+ \Theta_{\vec j}^2
+ }.
\end{equation*}
+Authors of cite:box1976time suggest using Newton---Raphson method to solve this
+equation with higher precision, however, this method does not work in three
+dimensions. Using slower method does not have dramatic effect on the overall
+programme performance, because the number of coefficients is small and most of
+the time is spent generating wavy surface.
**** Mixed autoregressive moving average (ARMA) process.
Generally speaking, formulae for mixed process are the same as for AR and MA
