commit 6c4ce497d7a05852fef2bdbb83db7ab0ae94ffee
parent bd24b521f6f367201ed132bd3186da52c088c3e3
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Sat, 5 Nov 2016 18:42:07 +0300
Sync ARMA model introduction.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 65 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
| phd-diss.org | | | 51 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- |
2 files changed, 107 insertions(+), 9 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -297,6 +297,68 @@ $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ --- волновое число. Формула я
* Модель АРСС в задаче имитационного моделирования морского волнения
** Предпосылки к поиску новой модели ветрового волнения
+Модель АРСС возникла как ответ на сложности, с которыми на практике сталкиваются
+ученые, использующие в свой работе модели морского волнения, разработанные в
+рамках линейной теории волн. Проблемы, с которыми они сталкиваются при
+использовании модели Лонге---Хиггинса (которая полностью основана на линейной
+теории волн) перечислены ниже.
+1. /Периодичность/. В рамках линейной теории волны аппроксимируются суммой
+ гармоник, а период реализации взволнованной поверхности зависит от их
+ количества. Чем больше размер реализации, тем больше коэффициентов требуется
+ для исключения периодичности, поэтому с увеличением размера реализации время
+ ее генерации растет нелинейно. Это приводит к тому, что любая модель,
+ основанная на линейной теории, неэффективна при генерации больших реализаций
+ взволнованной поверхности, независимо от того, насколько оптимизирован
+ исходный код программы.
+2. /Линейность/. В рамках линейной теории волн дается математическое определение
+ морским волнам в предположении малости их амплитуд по сравнению с длинами.
+ Такие волны, в основном, характерны для открытого моря и океана, а волны в
+ прибрежных районах и штормовые волны, для которых это предположение
+ несправедливо, грубо описываются в рамках линейной теории.
+3. /Вероятностная сходимость/. Фаза волны, значение которой обычно получается с
+ помощью генератора псевдослучайных чисел (ГПСЧ), имеет равномерное
+ распределение, что иногда приводит к медленной сходимости интегральных
+ характеристик взволнованной поверхности (таких как распределение высот волн,
+ их периодов, длин и т.п.). Скорость сходимости зависит от значений,
+ полученных от ГСПЧ, поэтому быстрая сходимость не гарантируется.
+
+Эти сложности стали отправной точкой в поиске модели, не основанной на линейной
+теории волн, и в исследованиях процесса авторегрессии скользящего среднего
+(АРСС) был найден необходимый математический аппарат.
+1. Параметром процесса АРСС является автоковариационная функция (АКФ), которая
+ может быть напрямую получена из энергетического или частотно-направленного
+ спектра морского волнения (который, в свою очередь является входным
+ параметром для модели Лонге---Хиггинса). Так что входные параметры одной
+ модели могут быть легко преобразованы во входные параметры другой.
+2. Процесс АРСС не имеет ограничение на амплитуду генерируемых волн: их крутизна
+ может быть увеличена на столько, на сколько это позволяет АКФ реальных
+ морских волн.
+3. Период реализации равен периоду ГПСЧ, поэтому время генерации растет линейно
+ с увеличением размера реализации.
+4. Белый шум, который является единственным вероятностным членом формулы
+ процесса АРСС, имеет нормальное распределение; так что скорость сходимость не
+ носит вероятностный характер.
+
+Процесс АРСС стал основой модели ветрового волнения АРСС, однако он нуждался в
+доработке перед тем, как его можно было бы использовать на практике.
+1. Необходимо было исследовать, как различные формы АКФ влияют на выбор
+ параметров процесса АРСС (количество коэффициентов процесса скользящего
+ среднего и процесса авторегрессии).
+2. Затем исследовать возможность генерации волн с произвольным профилем, а не
+ только профиль синусоиды (учесть асимметричность распределения волновых
+ аппликат взволнованной поверхности).
+3. Затем вывести формулы для определения поля давлений под взволнованной
+ поверхностью. Такие формулы обычно выводятся для конкретной модели путем
+ подстановки формулы профиля волны в eqref:eq:problem, однако процесс АРСС не
+ содержит в себе формулу профиля волны в явном виде, поэтому для него
+ необходимо было получить решение для взволнованной поверхности общего вида
+ (для которой не существует аналитического выражения) без линеаризации
+ граничных условий (ГУ) и предположении о малости амплитуд волн.
+4. Наконец, верифицировать интегральные характеристики взволнованной поверхности
+ на соответствие реальным морским волнам.
+Этим пунктам, а также вспомогательным формулам, методам и алгоритмам посвящены
+этот и последующие разделы.
+
** Основные формулы трехмерного процесса AРСС
*** Три возможных процесса
**** Процесс авторегрессии (АР).
@@ -1034,6 +1096,9 @@ $\FunSecond{z}=\InverseFourier{\Sinh{2\pi u z}}(x)$, которые могут
| $\FunSecond{z}$ | $\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]$ | $\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]$ |
** Верификация модели АРСС
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec:verification
+:END:
*** Методика постановки численных экспериментов
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
Отличительной особенностью авторегрессионной модели ветрового волнения является
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -37,22 +37,55 @@ The problems they have encountered with Longuet---Higgins model (a model which
is entirely based on linear wave theory) can be summarised as the following.
1. /Periodicity/. Linear wave theory approximates waves by a sum of harmonics,
so period of the whole wavy surface realisation depends on the number of
- harmonics in the model. So, reasonably large realisations require large
- number of coefficients. This in turn results in overall bad performance of a
- model based on this theory, no matter how optimised the software
- implementation is.
+ harmonics in the model. The more realisation size is, the more coefficients
+ are required to eliminate periodicity, therefore, generation time grows
+ non-linearly with realisation size. This in turn results in overall low
+ efficiency of any model based on this theory, no matter how optimised the
+ software implementation is.
2. /Linearity/. Linear wave theory gives mathematical definition for ocean waves
which have small amplitudes compared to their lengths. Waves of this type
- occur mostly in the ocean, so waves in shallow water as well as storm waves,
- for which this assumption does not hold, are not perfectly captured by linear
+ occur mostly in the ocean, so near-shore waves as well as storm waves, for
+ which this assumption does not hold, are not perfectly captured by linear
theory.
3. /Probabilistic convergence/. Phase of a wave, which is often generated by
pseudo random number generator (PRNG), has uniform distribution, and this
makes wavy surface characteristics (average wave height, wave period, wave
length etc.) sometimes converge slowly to the desired values. Convergence
- rate depends on the values generated by PRNG, which makes it probabilistic.
-
-*** TODO Insert a paragraph about ARMA model adavntages
+ rate depends on the values generated by PRNG, so high convergence rate is not
+ guaranteed.
+
+These difficulties became a starting point in search for a new model which is
+not based on linear wave theory. Autoregressive moving average (ARMA) process
+studies were found to have all the required mathematical apparatus.
+1. ARMA process takes auto-covariate function (ACF) as an input parameter, and
+ this function can be directly obtained from wave energy or
+ frequency-directional spectrum (which is the input for Longuet---Higgins
+ model). So, inputs for one model can easily be converted to each other.
+2. There is no small-amplitude waves assumption. Wave may have any amplitude,
+ and can be generated as steep as it is possible with real ocean wave ACF.
+3. Period of the realisation equals the period of PRNG, so generation time grows
+ linearly with the realisation size.
+4. White noise --- the only probabilistic term in ARMA process --- has
+ Gaussian distribution; so, convergence rate is not probabilistic.
+
+ARMA process became the basis for ARMA ocean simulation model, however, there
+was still much work to be done to make it useful in practice.
+1. One have to investigate how different ACF shapes affect the choice of ARMA
+ parameters (the number of moving average and autoregressive processes
+ coefficients).
+2. Then, investigate a possibility to generate waves of arbitrary profile, not
+ only cosines (which means taking into account asymmetric distribution of wavy
+ surface elevation).
+3. Then, derive formulae to determine pressure field under wavy surface.
+ Usually, such formulae are derived for a particular model by substituting
+ wave profile into the eq. eqref:eq:problem, however, ARMA process does not
+ provide explicit wave profile formula, so this problem had to be solved for
+ general wavy surface (which is not defined by an analytic expression),
+ without linearisation of boundaries and assumption of small-amplitude waves.
+4. Finally, verify wavy surface integral characteristics to match the ones of
+ real ocean waves.
+These points, as well as a number of auxiliary formulae, methods and algorithms,
+are discussed in this and the following sections.
** Governing equations for 3-dimensional ARMA process
*** Three possible processes
