commit 5418cc7fec7187a387fbbd6621a8c7502035141f
parent ae744b6048444fca3e67bed2459015dbc55608c9
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 28 Feb 2017 12:24:24 +0300
Add invertibility and stationarity conditions for AR/MA processes.
Diffstat:
2 files changed, 70 insertions(+), 2 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -665,6 +665,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
концентрация какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат
коэффициенты и порядки процессов АР и СС.
+Свойства стационарности и обратимости являются основными критериями выбора того
+или иного процесса для моделирования волн разных профилей, которые обсуждаются в
+разд.\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
+
**** Процесс авторегрессии (АР).
Процесс АР\nbsp{}--- это процесс АРСС только лишь с одним случайным импульсом вместо их
взвешенной суммы:
@@ -815,7 +819,33 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
коэффициентов мало, и большую часть времени программа тратит на генерацию
взволнованной поверхности.
-**** TODO Стационарность и обратимость процессов АР и СС
+**** Стационарность и обратимость процессов АР и СС
+Для того чтобы моделируемая взволнованная поверхность представляла собой
+физическое явление, соответствующий процесс должен быть стационарным и
+обратимым. Если процесс обратим, то существует разумная связь текущих событий с
+событиями в прошлом, и, если процесс стационарен, то амплитуда моделируемого
+физического сигнала не увеличивается бесконечно в пространстве и времени.
+
+Процесс АР всегда обратим, а для стационарности необходимо, чтобы корни
+характеристического уравнения
+\begin{equation*}
+1 - \Phi_{0,0,1} z - \Phi_{0,0,2} z^2
+- \cdots
+- \Phi_{\vec N} z^{N_0 N_1 N_2} = 0,
+\end{equation*}
+лежали \emph{вне} единичного круга. Здесь \(\vec{N}\)\nbsp{}--- порядок процесса
+АР, а \(\Phi\)\nbsp{}--- коэффициенты.
+
+Процесс СС всегда стационарен, а для обратимости необходимо, чтобы корни
+характеристического уравнения
+\begin{equation*}
+1 - \Theta_{0,0,1} z - \Theta_{0,0,2} z^2
+- \cdots
+- \Theta_{\vec M} z^{M_0 M_1 M_2} = 0,
+\end{equation*}
+лежали \emph{вне} единичного круга. Здесь \(\vec{M}\)\nbsp{}--- порядок процесса
+СС, а \(\Theta\)\nbsp{}--- коэффициенты.
+
**** Смешанный процесс авторегрессии скользящего среднего (АРСС).
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
@@ -840,6 +870,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
СС по отдельности.
*** Критерии выбора процесса для моделирования разных профилей волн
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec-process-selection
+:END:
+
Одной из проблем в применении модели АРСС для генерации взволнованной морской
поверхности является то, что для разных профилей волн /необходимо/ использовать
разные процессы: стоячие волны моделируются только процессом АР, а прогрессивные
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -785,7 +785,37 @@ dimensions. Using slower method does not have dramatic effect on the overall
programme performance, because the number of coefficients is small and most of
the time is spent generating wavy surface.
-**** TODO Stationarity and invertibility of AR and MA processes
+**** Stationarity and invertibility of AR and MA processes
+In order for modelled wavy surface to represent physical phenomena, the
+corresponding process must be stationary and invertible. If the process is
+invertible, then there is a reasonable connection of current events with the
+events in the past, and if the process is stationary, the modelled physical
+signal amplitude does not increase infinitely in time and space.
+
+AR process is always invertible, and for stationarity it is necessary for roots
+of characteristic equation
+\begin{equation*}
+1 - \Phi_{0,0,1} z - \Phi_{0,0,2} z^2
+- \cdots
+- \Phi_{\vec N} z^{N_0 N_1 N_2} = 0,
+\end{equation*}
+to lie \emph{outside} the unit circle. Here \(\vec{N}\) is AR process order
+and \(\Phi\) are coefficients.
+
+MA process is always stationary, and for invertibility it is necessary for roots
+of characteristic equation
+\begin{equation*}
+1 - \Theta_{0,0,1} z - \Theta_{0,0,2} z^2
+- \cdots
+- \Theta_{\vec M} z^{M_0 M_1 M_2} = 0,
+\end{equation*}
+to lie \emph{outside} the unit circle. Here \(\vec{M}\) is
+three-dimensional MA process order and \(\Theta\) are coefficients.
+
+Stationarity and invertibility properties are the main criteria in selection of
+the process to model different wave profiles, which are discussed in
+section\nbsp{}[[#sec-process-selection]].
+
**** Mixed autoregressive moving average (ARMA) process.
:PROPERTIES:
:CUSTOM_ID: sec:how-to-mix-ARMA
@@ -807,6 +837,10 @@ there is no such formula for the second approach. So, the best solution for now
is to simply use AR and MA process exclusively.
*** Process selection criteria for different wave profiles
+:PROPERTIES:
+:CUSTOM_ID: sec-process-selection
+:END:
+
One problem of ARMA model application to ocean wave generation is that for
different types of wave profiles different processes /must/ be used: standing
waves are modelled by AR process, and propagating waves by MA process. This
