commit 27ae655707692f07d1b7bff331aff8d4e5274090
parent 36dc070b66921e817f74164c00b80106ad2dd395
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 27 Feb 2017 12:26:50 +0300
Run through org-lint.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 281 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
| phd-diss.org | | | 257 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
2 files changed, 271 insertions(+), 267 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -13,6 +13,7 @@
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \newcites{published}{Список опубликованных по теме диссертации работ}
#+OPTIONS: todo:nil title:nil ':t H:5
#+STARTUP: indent
+#+PROPERTY: header-args:R :results graphics :exports results
* Config :noexport:
# default export options
@@ -336,7 +337,7 @@ NaN: 29, -nan, 1.798e+36, -1.04284e+38, inf, -1.798e+36, -1.798e+36
аппликат взволнованной поверхности).
3. Затем вывести формулы для определения поля давлений под взволнованной
поверхностью. Такие формулы обычно выводятся для конкретной модели путем
- подстановки формулы профиля волны в eqref:eq:problem, однако процесс АРСС не
+ подстановки формулы профиля волны в eqref:eq-problem, однако процесс АРСС не
содержит в себе формулу профиля волны в явном виде, поэтому для него
необходимо было получить решение для взволнованной поверхности общего вида
(для которой не существует аналитического выражения) без линеаризации
@@ -437,7 +438,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
жидкости. Система уравнений для нее в общем виде записывается как\nbsp{}cite:kochin1966theoretical
\begin{align}
& \nabla^2\phi = 0,\nonumber\\
- & \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq:problem}\\
+ & \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq-problem}\\
& D\zeta = \nabla \phi \cdot \vec{n}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\nonumber
\end{align}
где \(\phi\)\nbsp{}--- потенциал скорости, \(\zeta\)\nbsp{}--- подъем (аппликата)
@@ -477,7 +478,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
элементарных гармонических волн случайных амплитуд \(c_n\) и фаз \(\epsilon_n\),
непрерывно распределенных на интервале \([0,2\pi]\). Подъем (координата \(z\))
поверхности определяется формулой
-#+name: eq:longuet-higgins
+#+name: eq-longuet-higgins
\begin{equation}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
@@ -518,10 +519,10 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
которые не позволяют использовать ее в качестве фундамента для построения
более совершенных моделей.
- В программной реализации скорость сходимости выражения
- ур.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]] может быть низкой, т.к. фазы \(\epsilon_n\)
+ ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] может быть низкой, т.к. фазы \(\epsilon_n\)
имеют вероятностный характер.
- Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов возможно при
- включении нелинейных членов в ур.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]], для которого не
+ включении нелинейных членов в ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]], для которого не
известна формула вычисления
коэффициентов\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные.
@@ -589,7 +590,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
-\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{-I(x)}
\int\limits_{0}^x\frac{\partial\dot{\zeta}/\partial
- z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq:old-sol-2d}\\
+ z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq-old-sol-2d}\\
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
где \(\alpha\)\nbsp{}--- уклоны волн. В трехмерном случае решение записывается в виде
@@ -613,7 +614,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\end{align*}
Уравнение предполагается решать численно путем сведения к разностному.
-Как будет показано в [[#sec:compare-formulae]] формула eqref:eq:old-sol-2d
+Как будет показано в [[#sec:compare-formulae]] формула eqref:eq-old-sol-2d
расходится при попытке вычислить поле скоростей для волн больших амплитуд, а
значит не может быть использована вместе с моделью ветрового волнения,
генерирующей волны произвольных амплитуд.
@@ -652,7 +653,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
,
- \label{eq:arma-process}
+ \label{eq-arma-process}
\end{equation}
где \(\zeta\)\nbsp{}--- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, \(\Phi\)\nbsp{}---
коэффициенты процесса АР, \(\Theta\)\nbsp{}--- коэффициенты процесса СС, \(\epsilon\)\nbsp{}---
@@ -675,14 +676,14 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
+
\epsilon_{i,j,k}
.
- \label{eq:ar-process}
+ \label{eq-ar-process}
\end{equation}
Коэффициенты авторегрессии \(\Phi\) определяются из многомерных уравнений
Юла---Уокера, получаемых после домножения на \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) обеих
частей уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения
Юла---Уокера записываются как
\begin{equation}
- \label{eq:yule-walker}
+ \label{eq-yule-walker}
\gamma_{\vec k}
=
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
@@ -759,7 +760,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
специально предназначенного для таких матриц.
После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
-уравнения eqref:eq:yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
+уравнения eqref:eq-yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -777,7 +778,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
.
- \label{eq:ma-process}
+ \label{eq-ma-process}
\end{equation}
Коэффициенты СС \(\Theta\) определяются неявно из системы нелинейных уравнений
\begin{equation*}
@@ -899,7 +900,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
\(y_k|_{k=0}^N\) сетки сгенерированной поверхности относительно \(z_k\). Тогда
уравнение запишется в виде
\begin{equation}
- \label{eq:distribution-transformation}
+ \label{eq-distribution-transformation}
F(z_k)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
@@ -925,7 +926,7 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения
-eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
+eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими выражениями
для полнимов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно упростить,
используя следующее равенство:
@@ -952,7 +953,7 @@ eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись поли
практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
-eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
+eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
@@ -1005,7 +1006,7 @@ eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать мет
**** Формула для жидкости бесконечной глубины.
Задача Робена для уравнения Лапласа в двух измерениях записывается как
\begin{align}
- \label{eq:problem-2d}
+ \label{eq-problem-2d}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t + \zeta_x\phi_x = \frac{\zeta_x}{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} \phi_x - \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,t).\nonumber
\end{align}
@@ -1030,11 +1031,11 @@ eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать мет
нулю с увеличением глубины до бесконечности.} \(v={i}{u}\) в формулу, решение
перепишется как
\begin{equation}
- \label{eq:guessed-sol-2d}
+ \label{eq-guessed-sol-2d}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
Для того чтобы подстановка \(z=\zeta(x,t)\) не помешала использованию
-преобразований Фурье в решении, перепишем eqref:eq:guessed-sol-2d в виде
+преобразований Фурье в решении, перепишем eqref:eq-guessed-sol-2d в виде
свертки:
\begin{equation*}
\phi(x,z)
@@ -1069,9 +1070,9 @@ eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать мет
}
\end{equation*}
Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение в
-eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
+eqref:eq-guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
- \label{eq:solution-2d}
+ \label{eq-solution-2d}
\boxed{
\phi(x,z)
=
@@ -1092,7 +1093,7 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
-используя формулу eqref:eq:solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
+используя формулу eqref:eq-solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в следующем
разделе.
@@ -1108,7 +1109,7 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
\left( C_1 e^{2\pi u z} + C_2 e^{-2\pi u z} \right)
E(u)
}{x}.
- \label{eq:guessed-sol-2d-full}
+ \label{eq-guessed-sol-2d-full}
\end{equation}
Подставляя \(\phi\) в условие на дне водоема, получим
\begin{equation*}
@@ -1117,7 +1118,7 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
откуда имеем \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) и
\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Константа \(C\) здесь произвольна, поскольку
при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов \(E(u)\). Подставляя
-полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем
+полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в eqref:eq-guessed-sol-2d-full, получаем
выражение
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
@@ -1145,7 +1146,7 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
}
}{x},
}
- \label{eq:solution-2d-full}
+ \label{eq-solution-2d-full}
\end{equation}
где \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
@@ -1156,7 +1157,7 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
известные аналитические выражения для плоских волн. Символьные вычисления
преобразований Фурье в этом разделе производились с помощью пакета Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. В линейной теории широко используется предположение о
малости амплитуд волн, что позволяет упростить исходную систему уравнений
-eqref:eq:problem-2d до
+eqref:eq-problem-2d до
\begin{align*}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t = -\phi_z & \text{на }z=\zeta(x,t),
@@ -1172,7 +1173,7 @@ eqref:eq:problem-2d до
.
\end{equation*}
Профиль прогрессивной волны описывается формулой \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\).
-Подстановка этого выражения в eqref:eq:solution-2d дает равенство
+Подстановка этого выражения в eqref:eq-solution-2d дает равенство
\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). Чтобы свести его к
формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий \(e^{-2\pi{k}{z}}\), как
@@ -1180,7 +1181,7 @@ eqref:eq:problem-2d до
После взятия действительной части выражения получится известная формула линейной
теории \(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\). Аналогично,
предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу
-eqref:eq:solution-2d-full до
+eqref:eq-solution-2d-full до
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
=
@@ -1192,7 +1193,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Подстановка формулы для прогрессивной плоской волны вместо \(\zeta(x,t)\) дает
равенство
\begin{equation}
- \label{eq:solution-2d-linear}
+ \label{eq-solution-2d-linear}
\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}
\frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} }
\sin(2 \pi (k x-t)),
@@ -1210,8 +1211,8 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
достаточно большой глубины можно использовать любую из функций (\(\cosh\) или
\(\sinh\)) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
-Сведение формул eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full к формулам
-линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq:solution-2d для жидкости
+Сведение формул eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full к формулам
+линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq-solution-2d для жидкости
бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
@@ -1220,9 +1221,9 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
аналогичными предположениями.
*** Трехмерное поле скоростей
-В трех измерениях исходная система уравнений eqref:eq:problem переписывается как
+В трех измерениях исходная система уравнений eqref:eq-problem переписывается как
\begin{align}
- \label{eq:problem-3d}
+ \label{eq-problem-3d}
& \phi_xx + \phi_yy + \phi_zz = 0,\\
& \zeta_t + \zeta_x\phi_x + \zeta_y\phi_y
=
@@ -1251,7 +1252,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Подставляя \(\phi\) в условие на дне водоема аналогично двухмерному случаю,
получаем
\begin{equation}
- \label{eq:guessed-sol-3d}
+ \label{eq-guessed-sol-3d}
\phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
\Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
}{x,y}.
@@ -1279,7 +1280,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
\end{array}
\end{equation*}
Окончательное решение получается при подстановке выражения для \(E(u,v)\)
-в eqref:eq:guessed-sol-3d.
+в eqref:eq-guessed-sol-3d.
* Численные методы и результаты экспериментов
** Форма АКФ для разных волновых профилей
@@ -1291,7 +1292,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
квадрата модуля этой функции:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
- \label{eq:wiener-khinchin}
+ \label{eq-wiener-khinchin}
\end{equation}
Если заменить \(\zeta\) на формулу для волнового профиля, то это выражение даст
аналитическую формулу для соответствующей АКФ.
@@ -1323,7 +1324,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Профиль трехмерной плоской стоячей волны задается как
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
- \label{eq:standing-wave}
+ \label{eq-standing-wave}
\end{equation}
Найдем АКФ с помощью аналитического метода. Домножив формулу на затухающую
экспоненту (поскольку преобразование Фурье определено для функции \(f\), для
@@ -1334,7 +1335,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
A
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
- \label{eq:decaying-standing-wave}
+ \label{eq-decaying-standing-wave}
\end{equation}
Затем, применяя трехмерное преобразование Фурье к обоим частям уравнения с
помощью программы для символьных вычислений, получим многочлен высокой степени,
@@ -1345,7 +1346,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\cos \beta t
\cos \left[ \beta x + \beta y \right].
- \label{eq:standing-wave-acf}
+ \label{eq-standing-wave-acf}
\end{equation}
Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина получаем исходную
формулу, но с косинусами вместо синусов. Это различие важно, поскольку значение
@@ -1353,8 +1354,8 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
синусов было бы неверным.
Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
-выражение eqref:eq:decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
-соответствия eqref:eq:standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
+выражение eqref:eq-decaying-standing-wave необходимо адаптировать для
+соответствия eqref:eq-standing-wave-acf. Это можно осуществить либо, изменяя
фазу синуса, либо заменой синуса на косинус, чтобы сдвинуть максимум функции в
начало координат.
@@ -1362,7 +1363,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Профиль трехмерной плоской прогрессивной волны задается как
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y).
- \label{eq:propagating-wave}
+ \label{eq-propagating-wave}
\end{equation}
Для аналитического метода повторение шагов из предыдущих двух параграфов дает
\begin{equation}
@@ -1370,7 +1371,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
\gamma
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\cos\left[\beta (t+x+y) \right].
- \label{eq:propagating-wave-acf}
+ \label{eq-propagating-wave-acf}
\end{equation}
Для эмпирического метода профиль волны можно просто домножить на затухающую
экспоненту, не изменяя положение максимума АКФ (как это требовалось для стоячей
@@ -1410,7 +1411,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
асимметрией. В\nbsp{}cite:рожков1996теория показано, что такое распределение
раскладывается в ряд Грама---Шарлье:
\begin{align}
- \label{eq:skew-normal-1}
+ \label{eq-skew-normal-1}
F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z)
- \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
+ \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
@@ -1436,10 +1437,10 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Согласно\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные для аппликат морских волн значение
асимметрии выбирается на интервале \(0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]\), а значение
эксцесса на интервале \(0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}\). Семейство плотностей
-распределения при различных параметрах показано на рис.\nbsp{}[[fig:skew-normal-1]].
+распределения при различных параметрах показано на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
-#+name: fig:skew-normal-1
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/skew-normal-1-ru.pdf
+#+name: fig-skew-normal-1
+#+begin_src R :file build/skew-normal-1-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
x <- seq(-3, 3, length.out=100)
params <- data.frame(
@@ -1464,16 +1465,16 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии \(\gamma_1\) и эксцесса \(\gamma_2\).
-#+label: fig:skew-normal-1
-#+RESULTS: fig:skew-normal-1
-[[file:build/skew-normal-1.pdf]]
+#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq-skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии \(\gamma_1\) и эксцесса \(\gamma_2\).
+#+label: fig-skew-normal-1
+#+RESULTS: fig-skew-normal-1
+[[file:build/skew-normal-1-ru.pdf]]
**** Асимметричное нормальное распределение.
Альтернативной аппроксимацией распределения волновых аппликат служит формула
асимметричного нормального распределения:
\begin{align}
- \label{eq:skew-normal-2}
+ \label{eq-skew-normal-2}
F(z; \alpha) & = \frac{1}{2}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{z}{\sqrt{2}}\right]-2 T(z,\alpha ), \nonumber \\
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
@@ -1484,10 +1485,10 @@ legend(
параметром \(\alpha\). Преимущество данной формулы лишь в относительной простоте
вычисления: эта функция встроена в некоторые программы и библиотеки
математических функций. График функции для разных значений \(\alpha\) представлен
-на рис.\nbsp{}[[fig:skew-normal-2]].
+на рис.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
-#+name: fig:skew-normal-2
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/skew-normal-2-ru.pdf
+#+name: fig-skew-normal-2
+#+begin_src R :file build/skew-normal-2-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
x <- seq(-3, 3, length.out=100)
alpha <- c(0.00, 0.87, 2.25, 4.90)
@@ -1516,13 +1517,13 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии \(\alpha\).
-#+label: fig:skew-normal-2
-#+RESULTS: fig:skew-normal-2
+#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq-skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии \(\alpha\).
+#+label: fig-skew-normal-2
+#+RESULTS: fig-skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
**** Тестирование.
-Решение уравнения eqref:eq:distribution-transformation с выбранной функцией
+Решение уравнения eqref:eq-distribution-transformation с выбранной функцией
распределения можно произвести либо в каждой точке генерируемой поверхности, что
даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке фиксированной сетки,
интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК). Во втором случае
@@ -1559,7 +1560,7 @@ legend(
*** Алгоритм генерации взволнованной поверхности
В модели АРСС значение подъема взволнованной поверхности в каждой точке зависит
от предыдущих по пространству и времени значений, из-за чего в начале реализации
-образуется так называемый /интервал разгона/ (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig:ramp-up-interval]])\nbsp{}---
+образуется так называемый /интервал разгона/ (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-ramp-up-interval]])\nbsp{}---
промежуток, на котором реализация не соответствует заданной АКФ. Способ решения
этой проблемы зависит от контекста, в котором происходит моделирование.
@@ -1585,15 +1586,15 @@ legend(
части \(N\) накладывается на интервал разгона в начале части \(N+1\), и значения
в соответствующих точках складываются.
-#+name: fig:ramp-up-interval
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/ramp-up-interval-ru.pdf
+#+name: fig-ramp-up-interval
+#+begin_src R :file build/ramp-up-interval-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
#+end_src
#+caption: Интевал разгона в начале оси \(OX\) реализации.
-#+label: fig:ramp-up-interval
-#+RESULTS: fig:ramp-up-interval
+#+label: fig-ramp-up-interval
+#+RESULTS: fig-ramp-up-interval
[[file:build/ramp-up-interval-ru.pdf]]
*** Формулы нормировки для потенциалов скоростей
@@ -1601,14 +1602,14 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-В решениях eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full двухмерной задачи
+В решениях eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full двухмерной задачи
определения поля давлений присутствуют функции
\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) и
\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\), которые могут быть
записаны аналитически различными выражениями и представляют сложность при
вычислении на компьютере. Каждая функция\nbsp{}--- это преобразование Фурье от
линейной комбинации экспонент, которое сводится к плохо определенной дельта
-функции комплексного аргумента (см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab:delta-functions]]).
+функции комплексного аргумента (см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab-delta-functions]]).
Обычно такого типа функции записывают как произведение дельта функций от
действительной и мнимой части, однако, такой подход не работает здесь, поскольку
взятие обратного преобразования Фурье не даст экспоненту, что сильно исказит
@@ -1619,7 +1620,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
оно мало отличается от выражений из линейной теории волн, в которых члены с
\(\zeta\) опускаются.
-#+name: tab:delta-functions
+#+name: tab-delta-functions
#+caption: Формулы для вычисления \(\Fun{z}\) и \(\FunSecond{z}\) из [[#sec:pressure-2d]], использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
#+attr_latex: :booktabs t
| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
@@ -1643,7 +1644,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
*** Верификация интегральных характеристик взволнованной поверхности
В\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные авторы показывают, что некоторые характеристики
-морских волн (перечисленные в табл.\nbsp{}[[tab:weibull-shape]]) имеют распределение
+морских волн (перечисленные в табл.\nbsp{}[[tab-weibull-shape]]) имеют распределение
Вейбулла, а подъем взволнованной поверхности\nbsp{}--- нормальное распределение. Для
верификации генерируемых моделями АР и СС реализаций используются спрямленные
диаграммы (графики, в которых по оси \(OX\) откладываются квантили функции
@@ -1656,7 +1657,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
реализации практически невозможно, поскольку они могут (и часто) накладываются
друг на друга.
-#+name: tab:weibull-shape
+#+name: tab-weibull-shape
#+caption: Значение коэффициента формы \(k\) распределения Вейбулла для различных характеристик волн.
#+attr_latex: :booktabs t
| Характеристика | Коэффициент формы \(k\) |
@@ -1673,7 +1674,7 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
[[acf-slices]], [[standing-wave-distributions]], [[propagating-wave-distributions]].
#+name: propagating-wave-distributions
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/propagating-wave-qqplots-ru.pdf
+#+begin_src R :file build/propagating-wave-qqplots-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(pty="s", mfrow=c(2, 2))
arma.qqplot_grid(
@@ -1691,7 +1692,7 @@ arma.qqplot_grid(
[[file:build/propagating-wave-qqplots.pdf]]
#+name: standing-wave-distributions
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/standing-wave-qqplots-ru.pdf
+#+begin_src R :file build/standing-wave-qqplots-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(pty="s", mfrow=c(2, 2))
arma.qqplot_grid(
@@ -1710,7 +1711,7 @@ arma.qqplot_grid(
#+name: acf-slices
#+header: :width 6 :height 9
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/acf-slices-ru.pdf
+#+begin_src R :file build/acf-slices-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
propagating_acf <- read.csv(file.path("build", "propagating_wave", "acf.csv"))
standing_acf <- read.csv(file.path("build", "standing_wave", "acf.csv"))
@@ -1731,8 +1732,8 @@ for (i in seq(0, 4)) {
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
:END:
-Сравнение полученных общих формул eqref:eq:solution-2d и
-eqref:eq:solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
+Сравнение полученных общих формул eqref:eq-solution-2d и
+eqref:eq-solution-2d-full с известными формулами линейной теории волн позволяет
оценить различие между полями скоростей для волн как больших, так и малых
амплитуд. В общем случае аналитическое выражение для потенциала скорости
неизвестно даже для плоских волн, поэтому сравнение производится численно. Имея
@@ -1741,19 +1742,19 @@ eqref:eq:solution-2d-full с известными формулами линей
**** Отличие от формул линейной теории волн.
Эксперимент показывает, что поля потенциалов скоростей, полученные по формуле
-eqref:eq:solution-2d-full для конечной глубины и по формуле
-eqref:eq:solution-2d-linear линейной теории, качественно отличаются (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig:potential-field-nonlinear]]). Во-первых, контуры потенциала скорости имеют вид
+eqref:eq-solution-2d-full для конечной глубины и по формуле
+eqref:eq-solution-2d-linear линейной теории, качественно отличаются (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). Во-первых, контуры потенциала скорости имеют вид
затухающей синусоиды, что отличается от овальной формы, описываемой линейной
теории волн. Во-вторых, по мере приближения к дну водоема потенциал скорости
затухает гораздо быстрее, чем в линейной теории, а область, где сконцентрирована
большая часть энергии волны, еще больше приближена к ее гребню. Аналогичный
-численный эксперимент, в котором из формулы eqref:eq:solution-2d-full были
+численный эксперимент, в котором из формулы eqref:eq-solution-2d-full были
исключены члены, которыми пренебрегают в рамках линейной теории волн, показал,
что полное соотвествие получившихся полей потенциалов скоростей (насколько это
позволяет сделать машинная точность).
-#+name: fig:potential-field-nonlinear
-#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Поле, полученное по формуле eqref:eq:solution-2d-full (сверху) и по формуле линейной теории волн (снизу).
+#+name: fig-potential-field-nonlinear
+#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Поле, полученное по формуле eqref:eq-solution-2d-full (сверху) и по формуле линейной теории волн (снизу).
#+begin_figure
#+attr_latex: :width 0.47\textwidth
[[file:graphics/pressure/potential-5.eps]]
@@ -1763,19 +1764,19 @@ eqref:eq:solution-2d-linear линейной теории, качественн
**** Отличие от формул теории волн малой амплитуды.
Эксперимент показывает, что поля скоростей, полученные по формуле
-eqref:eq:solution-2d-full и формуле для волн малой амплитуды
-eqref:eq:old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом эксперименте
+eqref:eq-solution-2d-full и формуле для волн малой амплитуды
+eqref:eq-old-sol-2d, сопоставимы для волн малых амплитуд. В этом эксперименте
используются две реализации взволнованной морской поверхности, полученные по
модели АР: одна содержит волны малой амплитуды, другая\nbsp{}--- большой.
-Интегрирование в формуле eqref:eq:solution-2d-full ведется диапазону волновых
+Интегрирование в формуле eqref:eq-solution-2d-full ведется диапазону волновых
чисел, полученному из морской поверхности. Для волн малой амплитуды обе формулы
показывают сопоставимые результаты (разница в значениях скорости приписывается
стохастической природе модели АР), в то время как для волн больших амплитуд
-устойчивое поле скоростей дает только формула eqref:eq:solution-2d-full (рис. рис.\nbsp{}[[fig:velocity-field-2d]]). Таким образом, общая формула eqref:eq:solution-2d-full
+устойчивое поле скоростей дает только формула eqref:eq-solution-2d-full (рис. рис.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). Таким образом, общая формула eqref:eq-solution-2d-full
показывает удовлетворительные результаты, не вводя ограничения на амплитуду
волн.
-#+name: fig:velocity-field-2d
+#+name: fig-velocity-field-2d
#+caption: Сравнение полей скоростей на поверхности моря, полученных по общей формуле (\(u_1\)) и формуле для волн малой амплитуды (\(u_2\)). Поле скоростей для поверхности волн малой амплитуды (сверху) и большой амплитуды (снизу).
#+begin_figure
[[file:build/low-amp-nocolor.eps]]
@@ -1802,7 +1803,7 @@ eqref:eq:old-sol-2d, сопоставимы для волн малых ампл
выходным данным предыдущего звена. Звенья конвейера распределяются по узлам
вычислительного кластера, чтобы сделать возможным параллелизм по операциям, а
затем данные, перемещающиеся между звеньями конвейера распределяются между
-ядрами процессора, чтобы сделать возможным параллелизм по данным. На рис.\nbsp{}[[fig:pipeline]] представлена схема конвейера обработки данных, в которой
+ядрами процессора, чтобы сделать возможным параллелизм по данным. На рис.\nbsp{}[[fig-pipeline]] представлена схема конвейера обработки данных, в которой
прямоугольниками со скругленными углами обозначены звенья конвейера, обычными
прямоугольниками\nbsp{}--- массивы объектов из предметной области задачи, передаваемые
от одного звена к другому, а стрелками\nbsp{}--- направление передачи данных.
@@ -1818,7 +1819,7 @@ eqref:eq:old-sol-2d, сопоставимы для волн малых ампл
работать сразу на нескольких ядрах, а объект не может обрабатываться сразу
несколькими секциями конвейера.
-#+name: fig:pipeline
+#+name: fig-pipeline
#+begin_src dot :exports results :file build/pipeline-ru.pdf
digraph {
@@ -1921,8 +1922,8 @@ digraph {
#+end_src
#+caption: Схема конвейера обработки данных, реализующего генерацию взволнованной морской поверхности по АР модели.
-#+label: fig:pipeline
-#+RESULTS: fig:pipeline
+#+label: fig-pipeline
+#+RESULTS: fig-pipeline
[[file:build/pipeline-ru.pdf]]
Конвейер объектов можно считать развитием модели BSP (Bulk Synchronous Parallel)\nbsp{}cite:valiant1990bridging, применяемой в системах обработки графов\nbsp{}cite:malewicz2010pregel,seo2010hama. Конвейер позволяет исключить глобальную
@@ -2020,7 +2021,7 @@ digraph {
параграфе. Для каждого устройства используется отдельный конвейер. Существуют
конвейеры для параллельной обработки, обработки по расписанию (периодические и
отложенные задачи) и промежуточный конвейер для обработки управляющих объектов
-на узлах кластера (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig:subord-ppl]]).
+на узлах кластера (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-subord-ppl]]).
По принципу работу механизм управляющих объектов и конвейеров напоминает
механизм работы процедур и стеков вызовов, с тем лишь преимуществом, что методы
@@ -2035,7 +2036,7 @@ digraph {
реализовать пассивное ожидание и вызывают правильные методы, анализируя
внутреннее состояние объектов.
-#+name: fig:subord-ppl
+#+name: fig-subord-ppl
#+begin_src dot :exports results :file build/subord-ppl-ru.pdf
graph G {
@@ -2142,8 +2143,8 @@ graph G {
#+caption: Отображение конвейеров родительского и дочернего процессов на вычислительные устройства. Сплошные линии обозначают агрегацию, пунктирные линии обозначают отображение между логическими и физическими сущностями.
#+attr_latex: :width \textwidth
-#+label: fig:subord-ppl
-#+RESULTS: fig:subord-ppl
+#+label: fig-subord-ppl
+#+RESULTS: fig-subord-ppl
[[file:build/subord-ppl-ru.pdf]]
*** Основополагающие принципы модели
@@ -2261,27 +2262,27 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10, а на втором этапе логик
помощью этих библиотек были реализованы функции генерации взволнованной морской
поверхности, а также процедура расчета гидродинамических давлений под
сгенерированной поверхностью. Тестирование производилось на вычислительных
-машинах кластера РЦ ВЦ СПбГУ (см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab:autoreg-testbed]]) и
+машинах кластера РЦ ВЦ СПбГУ (см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab-autoreg-testbed]]) и
позволило получить два основных результата. Во-первых, использование видеокарт
неэффективно при генерации волновой поверхности
-(см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab:autoreg-performance]]), что обусловлено сравнительно
+(см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab-autoreg-performance]]), что обусловлено сравнительно
небольшим количеством арифметических операций по отношению к количеству операций
с памятью устройства, а также отсутствием трансцендентных функций в реализации
алгоритма\nbsp{}cite:degtyarev2011effi. Во-вторых, для генерации одной
реализации взволнованной морского поверхности одной многопроцессорной машины
достаточно для эффективного и быстрого решения задачи
-(см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig:autoreg-performance]]). По результатам тестирования
+(см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-autoreg-performance]]). По результатам тестирования
стандарт OpenMP был выбран в качестве основного, как наиболее эффективный и
наиболее подходящий для расчетов на многопроцессорной системе.
-#+name: fig:autoreg-performance
+#+name: fig-autoreg-performance
#+caption: Скорость генерации взволнованной поверхности на многопроцессорной системе для типовых размеров реализации (сверху). Масштабируемость (относительное ускорение при увеличении количества процессоров) программной реализации на многопроцессорной системе для типовых размеров реализации (снизу). Временная протяженность 512 с.
#+begin_figure
[[file:graphics/speed.eps]]
[[file:graphics/speedup.eps]]
#+end_figure
-#+name: tab:autoreg-testbed
+#+name: tab-autoreg-testbed
#+caption: Конфигурация оборудования.
#+attr_latex: :booktabs t
| Вычислительная машина | HP SL390s G7 |
@@ -2289,7 +2290,7 @@ Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10, а на втором этапе логик
| Оперативная память | 96ГБ RAM |
| Операционная система | CentOS 5.6 (Linux) |
-#+name: tab:autoreg-performance
+#+name: tab-autoreg-performance
#+caption: Время (с.) генерации взволнованной морской поверхности различными программными реализациями авторегрессионной модели.
#+attr_latex: :booktabs t :align cllllll
| | ЛХ | ЛХ | ЛХ | АР | АР | АР |
@@ -2319,7 +2320,7 @@ GotoBLAS и основанная на ней LAPACK, для непрерывно
для других библиотек эффективность не является важной, и они были выбраны,
исходя из удобства их использования.
-#+name: tab:arma-libs
+#+name: tab-arma-libs
#+caption: Список библиотек, используемых в реализации модели АРСС.
#+attr_latex: :booktabs t :align lp{0.6\linewidth}
| Library | What it is used for |
@@ -2339,9 +2340,9 @@ GotoBLAS и основанная на ней LAPACK, для непрерывно
использованием OpenMP для параллельных вычислений, и была переписана с
использованием POSIX потоков для того чтобы реализовать алгоритм распределения
нагрузки. Производительность двух реализаций сравнивалась на платформе,
-конфигурация которой приведена в табл.\nbsp{}[[tab:multicore-specs]].
+конфигурация которой приведена в табл.\nbsp{}[[tab-multicore-specs]].
-#+name: tab:multicore-specs
+#+name: tab-multicore-specs
#+caption: Конфигурация многоядерной системы.
#+attr_latex: :booktabs t
| Компонента | Подробности |
@@ -2370,9 +2371,9 @@ GotoBLAS и основанная на ней LAPACK, для непрерывно
В эксперименте алгоритм распределения нагрузки показал большую эффективность по
сравнению с реализацией без него. Чем больше размер генерируемой поверхности,
-тем больше разрыв в производительности (рис.\nbsp{}[[fig:factory-performance]]), что
+тем больше разрыв в производительности (рис.\nbsp{}[[fig-factory-performance]]), что
является следствием наложения вычислительной фазы и фазы вывода данных друг на
-друга (рис.\nbsp{}[[fig:factory-overlap]]). В реализации OpenMP фаза вывода данных
+друга (рис.\nbsp{}[[fig-factory-overlap]]). В реализации OpenMP фаза вывода данных
начинается только тогда, когда заканчивается вычислительная фаза, в то время как
использование алгоритма распределения нагрузки приводит почти к одновременному
завершению обеих фаз. Таким образом, /выполнение параллельных изнутри,
@@ -2380,9 +2381,9 @@ GotoBLAS и основанная на ней LAPACK, для непрерывно
последовательное выполнение/, и это позволяет сбалансировать нагрузку на
различные устройства, задействованные в вычислениях.
-#+name: fig:factory-performance
+#+name: fig-factory-performance
#+header: :width 5 :height 4
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/factory-vs-openmp-ru.pdf
+#+begin_src R :file build/factory-vs-openmp-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_factory_vs_openmp(
xlab="Размер реализации",
@@ -2392,13 +2393,13 @@ arma.plot_factory_vs_openmp(
#+end_src
#+caption: Сравнение производительности реализаций программы на OpenMP и Factory.
-#+label: fig:factory-performance
-#+RESULTS: fig:factory-performance
+#+label: fig-factory-performance
+#+RESULTS: fig-factory-performance
[[file:build/factory-vs-openmp-ru.pdf]]
-#+name: fig:factory-overlap
+#+name: fig-factory-overlap
#+header: :width 7 :height 4
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/factory-vs-openmp-overlap-ru.pdf
+#+begin_src R :file build/factory-vs-openmp-overlap-ru.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(mar=c(5, 6, 0, 1), pty="m")
arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
@@ -2409,8 +2410,8 @@ arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
#+end_src
#+caption: Наложение параллельных вычислений на \([G_0,G_1]\) и записи данных на диск на \([W_0,W_1]\). В реализации OpenMP наложение отсутствует.
-#+label: fig:factory-overlap
-#+RESULTS: fig:factory-overlap
+#+label: fig-factory-overlap
+#+RESULTS: fig-factory-overlap
[[file:build/factory-vs-openmp-overlap-ru.pdf]]
Предложенный алгоритм распределения нагрузки на многоядерную систему позволяет
@@ -2628,15 +2629,15 @@ IP-адреса: замена отображения IP-адресов на чт
использованы дополнительные физические узлы, на каждом из которых запускалось по
100 виртуальных. Эксперимент показал, что обнаружение 100--400 узлами друг друга
занимает в среднем 1,5 секунды, и это значение ненамного увеличивается с ростом
-количества узлов (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig:bootstrap-local]]). Пример древовидной
+количества узлов (см.\nbsp{}рис.\nbsp{}[[fig-bootstrap-local]]). Пример древовидной
иерархии для 11 узлов с ветвлением равным 2 представлен на
-рис.\nbsp{}[[fig:tree-hierarchy-11]].
+рис.\nbsp{}[[fig-tree-hierarchy-11]].
-#+name: fig:bootstrap-local
+#+name: fig-bootstrap-local
#+caption: Зависимость времени объединения узлов в кластер от их количества.
[[file:graphics/discovery.eps]]
-#+name: fig:tree-hierarchy-11
+#+name: fig-tree-hierarchy-11
#+begin_src dot :exports results :file build/tree-hierarchy-11-ru.pdf
digraph {
@@ -2670,8 +2671,8 @@ digraph {
#+end_src
#+caption: Древовидная иерархия для 11 узлов для ветвления равного 2.
-#+label: fig:tree-hierarchy-11
-#+RESULTS: fig:tree-hierarchy-11
+#+label: fig-tree-hierarchy-11
+#+RESULTS: fig-tree-hierarchy-11
[[file:build/tree-hierarchy-11-ru.pdf]]
*** Алгоритм восстановления после сбоев
@@ -2901,7 +2902,7 @@ Keepalived\nbsp{}cite:cassen2002keepalived.
TODO translate
-#+name: fig:fail-over-example
+#+name: fig-fail-over-example
#+header: :headers '("\\input{preamble}\\setdefaultlanguage{russian}")
#+begin_src latex :file build/fail-over-example-ru.pdf :exports results :results raw
\input{tex/preamble}
@@ -2920,13 +2921,13 @@ TODO translate
#+end_src
#+caption: Пример работы алгоритма восстановления после сбоев.
-#+label: fig:fail-over-example
-#+RESULTS: fig:fail-over-example
+#+label: fig-fail-over-example
+#+RESULTS: fig-fail-over-example
[[file:build/fail-over-example-ru.pdf]]
**** Результаты тестирования.
Методы отказоустойчивости были протестированы на физическом кластере
-(см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab:cluster]]) на примере программы, генерирующей
+(см.\nbsp{}табл.\nbsp{}[[tab-cluster]]) на примере программы, генерирующей
взволнованную морскую поверхность, подробно описанной в разделе
[[#sec:arma-algorithms]]. Программа состоит из серии фильтров, каждый из которых
применяется к результату работы предыдущего. Некоторые из фильтров вычисляются
@@ -2936,7 +2937,7 @@ TODO translate
взволнованной морской поверхности) выполняется параллельно на всех узлах, другие
этапы выполняются параллельно на всех процессорных ядрах главного узла.
-#+name: tab:cluster
+#+name: tab-cluster
#+caption: Конфигурация кластера, на котором проводились эксперименты.
#+attr_latex: :booktabs t
| CPU | Intel Xeon E5440, 2.83GHz |
@@ -2956,7 +2957,7 @@ TODO translate
В ряде экспериментов была измерена производительность новой версии программы при
выходе из строя различных типов узлов во время выполнения программы (номера
-пунктов соответствуют номерам графиков рис.\nbsp{}[[fig:benchmark]]):
+пунктов соответствуют номерам графиков рис.\nbsp{}[[fig-benchmark]]):
1. без выхода из строя узлов,
2. выход из строя подчиненного узла (на котором генерируется часть взволнованной
поверхности),
@@ -2971,13 +2972,13 @@ TODO translate
одном узле. Приложение мгновенно узнавала о выходе из строя узла, поскольку
закрывалось соответсвтвующие соединение; при реалистичном развитии событий,
однако, выход из строя узла обнаружится по прошествии настраивомого тайм-аута.
-Способ запуска для каждого эксперимента представлен в табл.\nbsp{}[[tab:benchmark]].
-Результаты экспериментов приведены на рис.\nbsp{}[[fig:benchmark]]
-и\nbsp{}[[fig:slowdown]].
+Способ запуска для каждого эксперимента представлен в табл.\nbsp{}[[tab-benchmark]].
+Результаты экспериментов приведены на рис.\nbsp{}[[fig-benchmark]]
+и\nbsp{}[[fig-slowdown]].
Эксперименты показали большую разницу в общей производительности приложения при
выходе из строя различных типов узлов. Графики\nbsp{}2 и\nbsp{}3 на
-рис.\nbsp{}[[fig:benchmark]] показывают, что производительность в случае выхода из
+рис.\nbsp{}[[fig-benchmark]] показывают, что производительность в случае выхода из
строя руководящего и подчиненного узлов одинакова. В случае отказа руководящего
узла резервный узел сохраняет копию главного объекта и восстанавливает главный
объект из нее, когда обнаруживает, что главный узел вышел из строя. В случае
@@ -2986,7 +2987,7 @@ TODO translate
программы не теряется, а значит не тратится время на его восстановление, что
объясняет схожую производительность.
-График\nbsp{}4 на\nbsp{}[[fig:benchmark]] показывает, что производительность в
+График\nbsp{}4 на\nbsp{}[[fig-benchmark]] показывает, что производительность в
случае выхода из строя резервного узла гораздо ниже, чем в других случаях. Это
происходит, потому что руководящий узел сохраняет состояние только текущего
последовательного шага программы, в то время как резервный узел не только хранит
@@ -2996,7 +2997,7 @@ TODO translate
выжившем узле.
#+caption: Параметры экспериментов с алгоритмово восстановления после сбоев.
-#+name: tab:benchmark
+#+name: tab-benchmark
#+attr_latex: :booktabs t
| Номер эксп. | Время до выхода из строя, сек. |
| 1 | |
@@ -3007,7 +3008,7 @@ TODO translate
Для оценки количества времени, которое теряется при выходе узла из строя, можно
поделить общее время работы программы со сбоем на время работы программы без
сбоев, но с количеством узлов минус один. Это отношение получается из того же
-самого эксперимента и представлено на рис.\nbsp{}[[fig:slowdown]]. Разница в
+самого эксперимента и представлено на рис.\nbsp{}[[fig-slowdown]]. Разница в
производительности в случае выхода из строя руководящего и подчиненного узлов
находится в пределах 5%, а в случае выхода из строя резервного узла\nbsp{}--- в
пределах 50% для количества узлов меньше 6[fn::Измерение разницы для большего
@@ -3021,14 +3022,15 @@ TODO translate
остановки выполнения объектов, что может быть неприменимо для программ со
сложной логикой.
-#+name: fig:benchmark
-#+begin_src R
+#+name: fig-benchmark
+#+begin_src R :file build/benchmark-xxx-ru.pdf
# TODO
#+end_src
#+caption: Производительность программы генерации взволнованной морской поверхности при различных типах сбоев узлов.
-#+label: fig:benchmark
-#+RESULTS: fig:benchmark
+#+label: fig-benchmark
+#+RESULTS: fig-benchmark
+[[file:build/benchmark-xxx-ru.pdf]]
Результаты экспериментов позволяют сделать вывод о том, что не важно, вышел ли
из строя руководящий узел или подчиненный, общее время работы параллельной
@@ -3036,14 +3038,15 @@ TODO translate
единицу количеством узлов, однако, в случае выхода из строя резервного узла
потери в производительности гораздо больше.
-#+name: fig:slowdown
-#+begin_src R
+#+name: fig-slowdown
+#+begin_src R :file build/slowdown-xxx-ru.pdf
# TODO
#+end_src
#+caption: Замедление программы генерации взволнованной морской поверхности при различных типах сбоев по сравнению с запуском без сбоев но с уменьшенным на единицу количеством узлов.
-#+label: fig:slowdown
-#+RESULTS: fig:slowdown
+#+label: fig-slowdown
+#+RESULTS: fig-slowdown
+[[file:build/slowdown-xxx-ru.pdf]]
**** Обсуждение результатов тестирования.
Алгоритм восстановления после сбоев гарантирует обработку выхода из строя одного
@@ -3216,7 +3219,7 @@ bibliography:bib/refs.bib
:CUSTOM_ID: longuet-higgins-derivation
:END:
-Двухмерная система уравнений\nbsp{}eqref:eq:problem в рамках линейной теории
+Двухмерная система уравнений\nbsp{}eqref:eq-problem в рамках линейной теории
волн записывается как
\begin{align*}
& \phi_{xx} + \phi_{zz} = 0,\\
@@ -3236,4 +3239,4 @@ bibliography:bib/refs.bib
\end{align*}
Здесь \(\eps\)\nbsp{}--- белый шум, а \(C_t\) включает в себя значение \(dk\).
Подставляя бесконечную сумму вместо интеграла, получаем двухмерную форму
-ур.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]].
+ур.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]].
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -13,6 +13,7 @@
#+LATEX_HEADER_EXTRA: \newcites{published}{Publications on the subject of thesis}
#+OPTIONS: todo:nil title:nil ':t H:5
#+STARTUP: indent
+#+PROPERTY: header-args:R :results graphics :exports results
* Config :noexport:
** Produce data for Q-Q and ACF plots
@@ -321,7 +322,7 @@ was still much work to be done to make it useful in practice.
surface elevation).
3. Then, derive formulae to determine pressure field under wavy surface.
Usually, such formulae are derived for a particular model by substituting
- wave profile into the eq. eqref:eq:problem, however, ARMA process does not
+ wave profile into the eq. eqref:eq-problem, however, ARMA process does not
provide explicit wave profile formula, so this problem had to be solved for
general wavy surface (which is not defined by an analytic formula),
without linearisation of boundaries and assumption of small-amplitude waves.
@@ -413,7 +414,7 @@ problem of hydrodynamics for incompressible inviscid fluid. System of equations
for it in general case is written as\nbsp{}cite:kochin1966theoretical
\begin{align}
& \nabla^2\phi = 0,\nonumber\\
- & \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq:problem}\\
+ & \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq-problem}\\
& D\zeta = \nabla \phi \cdot \vec{n}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\nonumber
\end{align}
where \(\phi\)\nbsp{}--- velocity potential, \(\zeta\)\nbsp{}--- elevation (\(z\) coordinate)
@@ -453,7 +454,7 @@ LH model represents ocean wavy surface as a superposition of
sine waves with random amplitudes \(c_n\) and phases \(\epsilon_n\), continuously
distributed on interval \([0,2\pi]\). Wavy surface elevation (\(z\) coordinate) is
defined by
-#+name: eq:longuet-higgins
+#+name: eq-longuet-higgins
\begin{equation}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
@@ -491,10 +492,10 @@ appear in practice.
simulations.
3. Finally, there are peculiarities which make LH model unsuitable base for
building more advanced simulation models.
- - In software implementation convergence rate of eq.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]]
+ - In software implementation convergence rate of eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]]
may be low due to randomness of phases \(\epsilon_n\).
- It is difficult to generalise LH model for non-Gaussian processes as it
- involves incorporating non-linear terms in eq.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]] for
+ involves incorporating non-linear terms in eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]] for
which there is no known formula to determine
coefficients\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные.
@@ -560,7 +561,7 @@ explicitly as
\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
-\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{-I(x)}
\int\limits_{0}^x\frac{\partial\dot{\zeta}/\partial
- z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq:old-sol-2d}\\
+ z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq-old-sol-2d}\\
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
@@ -586,7 +587,7 @@ the form of elliptic partial differential equation (PDE):
The authors suggest transforming this equation to finite differences and solve
it numerically.
-As will be shown in [[#sec:compare-formulae]] that eqref:eq:old-sol-2d diverges when
+As will be shown in [[#sec:compare-formulae]] that eqref:eq-old-sol-2d diverges when
attempted to calculate velocity field for large-amplitude waves, and this is the
reason that it can not be used together with ARMA model, that generates
arbitrary-amplitude waves.
@@ -623,7 +624,7 @@ distributed random impulses. The governing equation for 3-D ARMA process is
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
,
- \label{eq:arma-process}
+ \label{eq-arma-process}
\end{equation}
where \(\zeta\)\nbsp{}--- wave elevation, \(\Phi\)\nbsp{}--- AR process coefficients, \(\Theta\)\nbsp{}--- MA process coefficients, \(\epsilon\)\nbsp{}--- white noise with Gaussian
distribution, \(\vec N\)\nbsp{}--- AR process order, \(\vec M\)\nbsp{}--- MA process order, and
@@ -644,14 +645,14 @@ weighted sum:
+
\epsilon_{i,j,k}
.
- \label{eq:ar-process}
+ \label{eq-ar-process}
\end{equation}
The coefficients \(\Phi\) are calculated from ACF via three-dimensional
Yule---Walker equations, which are obtained after multiplying both parts of the
previous equation by \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) and computing the expected value.
Generic form of YW equations is
\begin{equation}
- \label{eq:yule-walker}
+ \label{eq-yule-walker}
\gamma_{\vec k}
=
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec N}
@@ -727,7 +728,7 @@ hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition, which is
particularly suitable for these types of matrices.
After solving this system of equations white noise variance is estimated from
-eqref:eq:yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
+eqref:eq-yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -745,7 +746,7 @@ MA process is ARMA process with \(\Phi\equiv0\):
\sum\limits_{\vec j = \vec 0}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \epsilon_{\vec i - \vec j}
.
- \label{eq:ma-process}
+ \label{eq-ma-process}
\end{equation}
MA coefficients \(\Theta\) are defined implicitly via the following non-linear
system of equations:
@@ -859,7 +860,7 @@ approximation based on field data, this equation is solved numerically with
respect to \(z_k\) in each grid point \(y_k|_{k=0}^N\) of generated wavy surface. In
this case equation is rewritten as
\begin{equation}
- \label{eq:distribution-transformation}
+ \label{eq-distribution-transformation}
F(z_k)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
@@ -885,7 +886,7 @@ where
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
\(H_m\)\nbsp{}--- Hermite polynomial, and \(f(y)\)\nbsp{}--- solution to equation
-eqref:eq:distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
+eqref:eq-distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
\(f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i\) and analytic formulae for Hermite
polynomial yields
\begin{equation*}
@@ -910,7 +911,7 @@ In\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis the author suggests using polynomial
approximation \(f(y)\) also for wavy surface transformation, however, in practice
ocean surface realisation often contains points, where z-coordinate is beyond
the limits of the approximation, which makes solution wrong. In these points it
-is more efficient to solve equation eqref:eq:distribution-transformation by
+is more efficient to solve equation eqref:eq-distribution-transformation by
bisection method. Using the same approximation in Gram---Charlier series does
not lead to such errors.
@@ -960,7 +961,7 @@ determining pressures under wavy ocean surface.
**** Formula for infinite depth fluid.
Two-dimensional Laplace equation with Robin boundary condition is written as
\begin{align}
- \label{eq:problem-2d}
+ \label{eq-problem-2d}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t + \zeta_x\phi_x = \frac{\zeta_x}{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} \phi_x - \phi_z, & \text{на }z=\zeta(x,t).\nonumber
\end{align}
@@ -984,11 +985,11 @@ We seek solution in the form of inverse Fourier transform
applicable because velocity potential must go to nought when depth goes to
infinity.] \(v={i}{u}\) into the formula yields
\begin{equation}
- \label{eq:guessed-sol-2d}
+ \label{eq-guessed-sol-2d}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
In order to make substitution \(z=\zeta(x,t)\) not interfere with Fourier
-transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
+transforms, we rewrite eqref:eq-guessed-sol-2d as a convolution:
\begin{equation*}
\phi(x,z)
=
@@ -1022,9 +1023,9 @@ to both sides of this equation yields formula for coefficients \(E\):
}
\end{equation*}
Finally, substituting \(z\) for \(\zeta(x,t)\) and plugging resulting equation into
-eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
+eqref:eq-guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
- \label{eq:solution-2d}
+ \label{eq-solution-2d}
\boxed{
\phi(x,z)
=
@@ -1044,7 +1045,7 @@ transform of which is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis. This makes
it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought on both
ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not faster
than solving the initial system of equations with numerical schemes. This
-problem is alleviated by using formula eqref:eq:solution-2d-full for finite
+problem is alleviated by using formula eqref:eq-solution-2d-full for finite
depth fluid with wittingly large depth \(h\). This formula is derived in the
following section.
@@ -1060,7 +1061,7 @@ following form:
\left( C_1 e^{2\pi u z} + C_2 e^{-2\pi u z} \right)
E(u)
}{x}.
- \label{eq:guessed-sol-2d-full}
+ \label{eq-guessed-sol-2d-full}
\end{equation}
Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom yields
\begin{equation*}
@@ -1069,7 +1070,7 @@ Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom yields
hence \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) and
\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Constant \(C\) may take arbitrary value
here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients \(E(u)\).
-Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\) into eqref:eq:guessed-sol-2d-full yields
+Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\) into eqref:eq-guessed-sol-2d-full yields
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
@@ -1095,7 +1096,7 @@ previous section transformations yields final formula for \(\phi(x,z)\):
}
}{x},
}
- \label{eq:solution-2d-full}
+ \label{eq-solution-2d-full}
\end{equation}
where \(\FunSecond{z}\)\nbsp{}--- a function, form of which is defined in section
[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
@@ -1107,7 +1108,7 @@ analytic formula for plain waves. Symbolic computation of Fourier transforms in
this section were performed in Mathematica\nbsp{}cite:mathematica10. In the framework
of linear wave theory assume that waves have small amplitude compared to their
lengths, which allows us to simplify initial system of equations
-eqref:eq:problem-2d to
+eqref:eq-problem-2d to
\begin{align*}
& \phi_{xx}+\phi_{zz}=0,\\
& \zeta_t = -\phi_z & \text{на }z=\zeta(x,t),
@@ -1123,7 +1124,7 @@ solution to which is written as
.
\end{equation*}
Propagating wave profile is defined as \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\). Plugging
-this formula into eqref:eq:solution-2d yields
+this formula into eqref:eq-solution-2d yields
\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). In order to reduce
it to the formula from linear wave theory, rewrite hyperbolic sine in
exponential form, discard the term containing \(e^{-2\pi{k}{z}}\) as contradicting
@@ -1131,7 +1132,7 @@ condition \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\). Taking real
part of the resulting formula yields
\(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\), which corresponds to
the known formula from linear wave theory. Similarly, under small-amplitude
-waves assumption the formula for finite depth fluid eqref:eq:solution-2d-full is
+waves assumption the formula for finite depth fluid eqref:eq-solution-2d-full is
reduced to
\begin{equation*}
\phi(x,z,t)
@@ -1143,7 +1144,7 @@ reduced to
\end{equation*}
Substituting \(\zeta(x,t)\) with propagating plain wave profile formula yields
\begin{equation}
- \label{eq:solution-2d-linear}
+ \label{eq-solution-2d-linear}
\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}
\frac{\Sinh{2 \pi k (z+h)}}{ \Sinh{2 \pi k h} }
\sin(2 \pi (k x-t)),
@@ -1161,18 +1162,18 @@ depth difference near free surface is negligible). So, for sufficiently large
depth any function (\(\cosh\) or \(\sinh\)) may be used for velocity potential
computation near free surface.
-Reducing eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full to the known formulae
+Reducing eqref:eq-solution-2d и eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae
from linear wave theory shows, that formula for infinite depth
-eqref:eq:solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
+eqref:eq-solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
method, because it does not have symmetry, which is required for Fourier
transform. However, formula for finite depth can be used instead by setting \(h\)
to some characteristic water depth. For standing wave reducing to linear wave
theory formulae is made under the same assumptions.
*** Three-dimensional velocity field
-Three-dimensional version of eqref:eq:problem is written as
+Three-dimensional version of eqref:eq-problem is written as
\begin{align}
- \label{eq:problem-3d}
+ \label{eq-problem-3d}
& \phi_xx + \phi_yy + \phi_zz = 0,\\
& \zeta_t + \zeta_x\phi_x + \zeta_y\phi_y
=
@@ -1201,7 +1202,7 @@ transform \(\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}\). Plugging
Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom (analogous to
two-dimensional case) yields
\begin{equation}
- \label{eq:guessed-sol-3d}
+ \label{eq-guessed-sol-3d}
\phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
\Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
}{x,y}.
@@ -1228,7 +1229,7 @@ coefficients \(E\):
- & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \SinhX{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
\end{array}
\end{equation*}
-Final solution is obtained after plugging \(E(u,v)\) into eqref:eq:guessed-sol-3d.
+Final solution is obtained after plugging \(E(u,v)\) into eqref:eq-guessed-sol-3d.
* Numerical methods and experimental results
** The shape of ACF for different types of waves
@@ -1240,7 +1241,7 @@ a function \(\zeta\) is given by the Fourier transform of the absolute square of
the function:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
- \label{eq:wiener-khinchin}
+ \label{eq-wiener-khinchin}
\end{equation}
When \(\zeta\) is replaced with actual wave profile, this formula gives you
analytic formula for the corresponding ACF.
@@ -1270,7 +1271,7 @@ to test ARMA model.
For three-dimensional plain standing wave the profile is given by
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
- \label{eq:standing-wave}
+ \label{eq-standing-wave}
\end{equation}
Find ACF via analytic method. Multiplying the formula by a decaying exponent
(because Fourier transform is defined for a function \(f\) that
@@ -1280,7 +1281,7 @@ Find ACF via analytic method. Multiplying the formula by a decaying exponent
A
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\sin (k_x x + k_y y) \sin (\sigma t).
- \label{eq:decaying-standing-wave}
+ \label{eq-decaying-standing-wave}
\end{equation}
Then, apply 3D Fourier transform to both sides of the equation via symbolic
computation programme, fit the resulting polynomial to the following
@@ -1291,7 +1292,7 @@ approximation:
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\cos \beta t
\cos \left[ \beta x + \beta y \right].
- \label{eq:standing-wave-acf}
+ \label{eq-standing-wave-acf}
\end{equation}
So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get initial formula but with
cosines instead of sines. This difference is important because the value of ACF
@@ -1299,7 +1300,7 @@ at \((0,0,0)\) equals to the ARMA process variance, and if one used sines the
value would be wrong.
If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way
-is to adapt eqref:eq:decaying-standing-wave to match eqref:eq:standing-wave-acf.
+is to adapt eqref:eq-decaying-standing-wave to match eqref:eq-standing-wave-acf.
This can be done either by changing the phase of the sine, or by substituting
sine with cosine to move the maximum of the function to the origin of
coordinates.
@@ -1308,7 +1309,7 @@ coordinates.
Three-dimensional profile of plain propagating wave is given by
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) = A \cos (\sigma t + k_x x + k_y y).
- \label{eq:propagating-wave}
+ \label{eq-propagating-wave}
\end{equation}
For the analytic method repeating steps from the previous two paragraphs yields
\begin{equation}
@@ -1316,7 +1317,7 @@ For the analytic method repeating steps from the previous two paragraphs yields
\gamma
\exp\left[-\alpha (|t|+|x|+|y|) \right]
\cos\left[\beta (t+x+y) \right].
- \label{eq:propagating-wave-acf}
+ \label{eq-propagating-wave-acf}
\end{equation}
For the empirical method the wave profile is simply multiplied by a decaying
exponent without need to adapt the maximum value of ACF (as it is required for
@@ -1356,7 +1357,7 @@ surface elevation is distinguished from normal distribution by non-nought
kurtosis and skewness. In\nbsp{}cite:рожков1996теория the authors show, that this type
of PDF expands in Gram---Charlier series:
\begin{align}
- \label{eq:skew-normal-1}
+ \label{eq-skew-normal-1}
F(z; \gamma_1, \gamma_2) & = \phi(z)
- \gamma_1 \frac{\phi'''(z)}{3!}
+ \gamma_2 \frac{\phi''''(z)}{4!} \nonumber \\
@@ -1385,7 +1386,7 @@ selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from interval
different parameters is shown in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-1]].
#+NAME: fig-skew-normal-1
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/skew-normal-1.pdf
+#+begin_src R :file build/skew-normal-1.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
x <- seq(-3, 3, length.out=100)
params <- data.frame(
@@ -1410,7 +1411,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-1 of ocean wavy surface elevation for different values of skewness \(\gamma_1\) and kurtosis \(\gamma_2\).
+#+caption: Probability density function eqref:eq-skew-normal-1 of ocean wavy surface elevation for different values of skewness \(\gamma_1\) and kurtosis \(\gamma_2\).
#+label: fig-skew-normal-1
#+RESULTS: fig-skew-normal-1
[[file:build/skew-normal-1.pdf]]
@@ -1419,7 +1420,7 @@ legend(
Alternative approach is to approximate distribution of ocean wavy surface
elevation by skew-normal distribution:
\begin{align}
- \label{eq:skew-normal-2}
+ \label{eq-skew-normal-2}
F(z; \alpha) & = \frac{1}{2}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{z}{\sqrt{2}}\right]-2 T(z,\alpha ), \nonumber \\
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
@@ -1430,10 +1431,10 @@ impossible to specify skewness and kurtosis separately\nbsp{}--- both values are
adjusted via \(\alpha\) parameter. The only advantage of the formula is its
relative computational simplicity: this function is available in some programmes
and mathematical libraries. Its graph for different values of \(\alpha\) is shown
-in fig.\nbsp{}[[fig:skew-normal-2]].
+in fig.\nbsp{}[[fig-skew-normal-2]].
-#+name: fig:skew-normal-2
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/skew-normal-2.pdf
+#+name: fig-skew-normal-2
+#+begin_src R :file build/skew-normal-2.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
x <- seq(-3, 3, length.out=100)
alpha <- c(0.00, 0.87, 2.25, 4.90)
@@ -1462,13 +1463,13 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-2 of ocean wavy surface for different values of skewness coefficient \(\alpha\).
-#+label: fig:skew-normal-2
-#+RESULTS: fig:skew-normal-2
+#+caption: Probability density function eqref:eq-skew-normal-2 of ocean wavy surface for different values of skewness coefficient \(\alpha\).
+#+label: fig-skew-normal-2
+#+RESULTS: fig-skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
**** Evaluation.
-Equation eqref:eq:distribution-transformation with selected wave elevation
+Equation eqref:eq-distribution-transformation with selected wave elevation
distribution may be solved either in every point of generated wavy surface,
which gives the most accurate results, or in every fixed grid point
interpolating result via least-squares (LS) polynomial. In the second case
@@ -1500,7 +1501,7 @@ saved to a file, which is then read before starting white noise generation.
*** Wavy surface generation
In ARMA model value of wavy surface elevation at a particular point depends on
previous in space and time points, as a result the so called /ramp-up interval/
-(see fig.\nbsp{}[[fig:ramp-up-interval]]), in which realisation does not correspond to
+(see fig.\nbsp{}[[fig-ramp-up-interval]]), in which realisation does not correspond to
specified ACF, forms in the beginning of the realisation. There are several
solutions to this problem which depend on the simulation context.
@@ -1525,15 +1526,15 @@ end of each part. Then wavy surface is generated in each point of each part
is superimposed on the ramp-up interval at the beginning of the part \(N+1\), and
values in corresponding points are added.
-#+name: fig:ramp-up-interval
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/ramp-up-interval.pdf
+#+name: fig-ramp-up-interval
+#+begin_src R :file build/ramp-up-interval.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_ramp_up_interval()
#+end_src
#+caption: Ramp-up interval at the beginning of the \(OX\) axis of the realisation.
-#+label: fig:ramp-up-interval
-#+RESULTS: fig:ramp-up-interval
+#+label: fig-ramp-up-interval
+#+RESULTS: fig-ramp-up-interval
[[file:build/ramp-up-interval.pdf]]
*** Velocity potential normalisation formulae
@@ -1541,13 +1542,13 @@ arma.plot_ramp_up_interval()
:CUSTOM_ID: sec:compute-delta
:END:
-In solutions eqref:eq:solution-2d and eqref:eq:solution-2d-full to
+In solutions eqref:eq-solution-2d and eqref:eq-solution-2d-full to
two-dimensional pressure determination problem there are functions
\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) and
\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\) which has multiple
analytic representations and are difficult to compute. Each function is a
Fourier transform of linear combination of exponents which reduces to poorly
-defined Dirac delta function of a complex argument (see table\nbsp{}[[tab:delta-functions]]).
+defined Dirac delta function of a complex argument (see table\nbsp{}[[tab-delta-functions]]).
The usual way of handling this type of functions is to write them as
multiplication of Dirac delta functions of real and imaginary part, however,
this approach does not work here, because applying inverse Fourier transform to
@@ -1559,7 +1560,7 @@ potential field, numerical experiments show that there is little difference
between this field and the one produced by formulae from linear wave theory, in
which terms with \(\zeta\) are omitted.
-#+name: tab:delta-functions
+#+name: tab-delta-functions
#+caption: Formulae for computing \(\Fun{z}\) and \(\FunSecond{z}\) from [[#sec:pressure-2d]], that use normalisation to eliminate uncertainty from definition of Dirac delta function of complex argument.
#+attr_latex: :booktabs t
| Function | Without normalisation | Normalised |
@@ -1583,7 +1584,7 @@ distributions of different wave characteristics.
*** Verification of wavy surface integral characteristics
In\nbsp{}cite:рожков1990вероятностные the authors show that several ocean wave
-characteristics (listed in table\nbsp{}[[tab:weibull-shape]]) have Weibull distribution,
+characteristics (listed in table\nbsp{}[[tab-weibull-shape]]) have Weibull distribution,
and wavy surface elevation has Gaussian distribution. In order to verify that
distributions corresponding to generated realisation are correct,
quantile-quantile plots are used (plots where analytic quantile values are used
@@ -1595,7 +1596,7 @@ extracting waves from realisation produce variations in quantile function tails,
it is probably impractical to extract every possible wave from realisation since
they may (and often) overlap.
-#+name: tab:weibull-shape
+#+name: tab-weibull-shape
#+caption: Values of Weibull shape parameter for different wave characteristics.
#+attr_latex: :booktabs t
| Characteristic | Weibull shape (\(k\)) |
@@ -1613,7 +1614,7 @@ in
fig.\nbsp{}[[propagating-wave-distributions]],\nbsp{}[[standing-wave-distributions]],\nbsp{}[[acf-slices]].
#+name: propagating-wave-distributions
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/propagating-wave-qqplots.pdf
+#+begin_src R :file build/propagating-wave-qqplots.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(pty="s", mfrow=c(2, 2))
arma.qqplot_grid(
@@ -1631,7 +1632,7 @@ arma.qqplot_grid(
[[file:build/propagating-wave-qqplots.pdf]]
#+name: standing-wave-distributions
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/standing-wave-qqplots.pdf
+#+begin_src R :file build/standing-wave-qqplots.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(pty="s", mfrow=c(2, 2))
arma.qqplot_grid(
@@ -1650,7 +1651,7 @@ arma.qqplot_grid(
#+name: acf-slices
#+header: :width 6 :height 9
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/acf-slices.pdf
+#+begin_src R :file build/acf-slices.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
propagating_acf <- read.csv(file.path("build", "propagating_wave", "acf.csv"))
standing_acf <- read.csv(file.path("build", "standing_wave", "acf.csv"))
@@ -1672,8 +1673,8 @@ for (i in seq(0, 4)) {
:CUSTOM_ID: sec:compare-formulae
:END:
-Comparing obtained generic formulae eqref:eq:solution-2d and
-eqref:eq:solution-2d-full to the known formulae from linear wave theory allows
+Comparing obtained generic formulae eqref:eq-solution-2d and
+eqref:eq-solution-2d-full to the known formulae from linear wave theory allows
to see the difference between velocity fields for both large and small amplitude
waves. In general analytic formula for velocity potential in not known, even for
plain waves, so comparison is done numerically. Taking into account conclusions
@@ -1681,19 +1682,19 @@ of [[#sec:pressure-2d]], only finite depth formulae are compared.
**** The difference with linear wave theory formulae.
The experiment shows that velocity potential fields produced by formula
-eqref:eq:solution-2d-full for finite depth fluid and formula
-eqref:eq:solution-2d-linear from linear wave theory are qualitatively different
-(fig.\nbsp{}[[fig:potential-field-nonlinear]]). First, velocity potential contours have
+eqref:eq-solution-2d-full for finite depth fluid and formula
+eqref:eq-solution-2d-linear from linear wave theory are qualitatively different
+(fig.\nbsp{}[[fig-potential-field-nonlinear]]). First, velocity potential contours have
sinusoidal shape, which is different from oval shape described by linear wave
theory. Second, velocity potential decays more rapidly than in linear wave
theory as getting closer to the bottom, and the region where the majority of
wave energy is concentrated is closer to the wave crest. Similar numerical
-experiment, in which all terms of eqref:eq:solution-2d-full that are neglected
+experiment, in which all terms of eqref:eq-solution-2d-full that are neglected
in the framework of linear wave theory are eliminated, shows no difference (as
much as machine precision allows) in resulting velocity potential fields.
-#+name: fig:potential-field-nonlinear
-#+caption: Velocity potential field of propagating wave \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Field produced by formula eqref:eq:solution-2d-full (top) and linear wave theory formula (bottom).
+#+name: fig-potential-field-nonlinear
+#+caption: Velocity potential field of propagating wave \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Field produced by formula eqref:eq-solution-2d-full (top) and linear wave theory formula (bottom).
#+begin_figure
#+attr_latex: :width 0.47\textwidth
[[file:graphics/pressure/potential-5.eps]]
@@ -1703,17 +1704,17 @@ much as machine precision allows) in resulting velocity potential fields.
**** The difference with small-amplitude wave theory.
The experiment shows that velocity fields produced by formula
-eqref:eq:solution-2d-full and eqref:eq:old-sol-2d correspond to each other for
+eqref:eq-solution-2d-full and eqref:eq-old-sol-2d correspond to each other for
small-amplitude waves. Two ocean wavy surface realisations are made by AR model:
one contains small-amplitude waves, other contains large-amplitude waves.
-Integration in formula eqref:eq:solution-2d-full is done over wave numbers range
+Integration in formula eqref:eq-solution-2d-full is done over wave numbers range
extracted from the generated wavy surface. For small-amplitude waves both
formulae show comparable results (the difference in the velocity is attributed
to stochastic nature of AR model), whereas for large-amplitude waves stable
-velocity field is produced only by formula eqref:eq:solution-2d-full (fig.\nbsp{}[[fig:velocity-field-2d]]). So, generic formula eqref:eq:solution-2d-full gives
+velocity field is produced only by formula eqref:eq-solution-2d-full (fig.\nbsp{}[[fig-velocity-field-2d]]). So, generic formula eqref:eq-solution-2d-full gives
satisfactory results without restriction on wave amplitudes.
-#+name: fig:velocity-field-2d
+#+name: fig-velocity-field-2d
#+caption: Comparison of velocity field on the ocean wavy surface obtained by generic formula (\(u_1\)) and formula for small-amplitude waves (\(u_2\)). Velocity field for realisations containing small-amplitude (top) and large-amplitude (bottom) waves.
#+begin_figure
[[file:build/low-amp-nocolor.eps]]
@@ -1738,7 +1739,7 @@ Software implementation of ARMA model works as a computational pipeline, in
which each joint applies some function to the output coming from the pipe of the
previous joint. Joints are distributed across computer cluster nodes to enable
function parallelism, and then data flowing through the joints is distributed
-across processor cores to enable data parallelism. Figure\nbsp{}[[fig:pipeline]] shows a
+across processor cores to enable data parallelism. Figure\nbsp{}[[fig-pipeline]] shows a
diagram of data processing pipeline in which rectangles with rounded corners
denote joints, regular rectangles denote arrays of problem domain objects
flowing from one joint to another, and arrows show flow direction. Some joints
@@ -1752,7 +1753,7 @@ may run several sections, each of which may sequentially process several
objects, but a section can not work simultaneously on several processor cores,
and an object can not be processed simultaneously by several sections.
-#+name: fig:pipeline
+#+name: fig-pipeline
#+begin_src dot :exports results :file build/pipeline.pdf
digraph {
@@ -1855,8 +1856,8 @@ digraph {
#+end_src
#+caption: Diagram of data processing pipeline, that implements ocean wavy surface generation via AR model.
-#+label: fig:pipeline
-#+RESULTS: fig:pipeline
+#+label: fig-pipeline
+#+RESULTS: fig-pipeline
[[file:build/pipeline.pdf]]
Object pipeline may be seen as an improvement of BSP (Bulk Synchronous Parallel)
@@ -1945,7 +1946,7 @@ thread pool that processes kernels in accordance with rules outlined in the
previous paragraph. A separate pipeline is used for each device: There are
pipelines for parallel processing, schedule-based processing (periodic and
delayed tasks), and a proxy pipeline for processing of kernels on other cluster
-nodes (see fig.\nbsp{}[[fig:subord-ppl]]).
+nodes (see fig.\nbsp{}[[fig-subord-ppl]]).
In principle, kernels and pipelines machinery reflect the one of procedures and
call stacks, with the advantage that kernel methods are called asynchronously
@@ -1958,7 +1959,7 @@ replace active wait for completion of subordinate kernels with passive one.
Pipelines, in turn, allow to implement passive wait, and call correct kernel
methods by analysing their internal state.
-#+name: fig:subord-ppl
+#+name: fig-subord-ppl
#+begin_src dot :exports results :file build/subord-ppl.pdf
graph G {
@@ -2067,8 +2068,8 @@ graph G {
#+caption: Mapping of parent and child process pipelines to compute devices. Solid lines denote aggregation, dashed lines denote mapping between logical and physical entities.
#+attr_latex: :width \textwidth
-#+label: fig:subord-ppl
-#+RESULTS: fig:subord-ppl
+#+label: fig-subord-ppl
+#+RESULTS: fig-subord-ppl
[[file:build/subord-ppl.pdf]]
*** Governing principles
@@ -2175,11 +2176,11 @@ convergence rate and non-existence of periodicity allows to use far fewer
coefficients compared to LH model.
ARMA implementation uses several libraries of reusable mathematical functions
-and numerical algorithms (listed in table\nbsp{}[[tab:arma-libs]]), and was implemented using
+and numerical algorithms (listed in table\nbsp{}[[tab-arma-libs]]), and was implemented using
several parallel programming technologies (MPI, OpenMP, OpenCL) to find the most
efficient one.
-#+name: tab:arma-libs
+#+name: tab-arma-libs
#+caption: A list of mathematical libraries used in ARMA model implementation.
#+attr_latex: :booktabs t :align lp{0.6\linewidth}
| Library | What it is used for |
@@ -2197,9 +2198,9 @@ load on processor cores, however, as shown by tests, has high load on storage
device. Before testing wavy surface generation was implemented using OpenMP for
parallel computations and in order to implement load balancing algorithm was
rewritten using POSIX threads. Performance of the two implementations was
-compared on the platform with the configuration listed in table\nbsp{}[[tab:multicore-specs]].
+compared on the platform with the configuration listed in table\nbsp{}[[tab-multicore-specs]].
-#+name: tab:multicore-specs
+#+name: tab-multicore-specs
#+caption: Multi-core system configuration.
#+attr_latex: :booktabs t
| Component | Details |
@@ -2227,18 +2228,18 @@ and CPU thread pool size was equal the number of physical processor cores.
In the experiment load balancing algorithm showed higher performance than
implementation without it. The more the size of the generated surface is the
-more the gap in performance is (fig.\nbsp{}[[fig:factory-performance]]) which is a
+more the gap in performance is (fig.\nbsp{}[[fig-factory-performance]]) which is a
result of overlap of computation phase and data output phase
-(fig.\nbsp{}[[fig:factory-overlap]]). In OpenMP implementation data output phase
+(fig.\nbsp{}[[fig-factory-overlap]]). In OpenMP implementation data output phase
begins only when computation is over, whereas load balancing algorithm makes
both phases end almost simultaneously. So, /pipelined execution of internally
parallel sequential phases is more efficient than their sequential execution/,
and this allows to balance the load across different devices involved in
computation.
-#+name: fig:factory-performance
+#+name: fig-factory-performance
#+header: :width 5 :height 4
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/factory-vs-openmp.pdf
+#+begin_src R :file build/factory-vs-openmp.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_factory_vs_openmp(
xlab="Realisation size",
@@ -2248,13 +2249,13 @@ arma.plot_factory_vs_openmp(
#+end_src
#+caption: Performance comparison of OpenMP and Factory implementations.
-#+label: fig:factory-performance
-#+RESULTS: fig:factory-performance
+#+label: fig-factory-performance
+#+RESULTS: fig-factory-performance
[[file:build/factory-vs-openmp.pdf]]
-#+name: fig:factory-overlap
+#+name: fig-factory-overlap
#+header: :width 7 :height 4
-#+begin_src R :results output graphics :exports results :file build/factory-vs-openmp-overlap.pdf
+#+begin_src R :file build/factory-vs-openmp-overlap.pdf
source(file.path("R", "common.R"))
par(mar=c(5, 6, 0, 1), pty="m")
arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
@@ -2265,8 +2266,8 @@ arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
#+end_src
#+caption: Overlap of parallel computations on \([G_0,G_1]\) and data output to disk on \([W_0,W_1]\). In OpenMP implementation there is no overlap.
-#+label: fig:factory-overlap
-#+RESULTS: fig:factory-overlap
+#+label: fig-factory-overlap
+#+RESULTS: fig-factory-overlap
[[file:build/factory-vs-openmp-overlap.pdf]]
Proposed load balancing method for multi-core systems allows to increase
@@ -2466,14 +2467,14 @@ results, thus additional physical nodes, each of which run 100 virtual nodes,
were used for the experiment. The experiment showed that discovery of 100--400
nodes each other takes 1.5 seconds on average, and the value increases only
slightly with increase in the number of nodes (see
-fig.\nbsp{}[[fig:bootstrap-local]]). An example of tree hierarchy for 11 nodes with
-fan-out 2 is shown in fig.\nbsp{}[[fig:tree-hierarchy-11]].
+fig.\nbsp{}[[fig-bootstrap-local]]). An example of tree hierarchy for 11 nodes with
+fan-out 2 is shown in fig.\nbsp{}[[fig-tree-hierarchy-11]].
-#+name: fig:bootstrap-local
+#+name: fig-bootstrap-local
#+caption: Time to discover all nodes of the cluster in depending on number of nodes.
[[file:graphics/discovery.eps]]
-#+name: fig:tree-hierarchy-11
+#+name: fig-tree-hierarchy-11
#+begin_src dot :exports results :file build/tree-hierarchy-11.pdf
digraph {
@@ -2507,8 +2508,8 @@ digraph {
#+end_src
#+caption: Tree hierarchy for 11 nodes with fan-out equals 2.
-#+label: fig:tree-hierarchy-11
-#+RESULTS: fig:tree-hierarchy-11
+#+label: fig-tree-hierarchy-11
+#+RESULTS: fig-tree-hierarchy-11
[[file:build/tree-hierarchy-11.pdf]]
*** Fail over algorithm
@@ -2717,7 +2718,7 @@ This simple approach allows to tolerate at most one failure of /any/ cluster nod
per computational step or arbitrary number of subordinate nodes at any time
during programme execution.
-An example of fail over algorithm follows (fig.\nbsp{}[[fig:fail-over-example]]).
+An example of fail over algorithm follows (fig.\nbsp{}[[fig-fail-over-example]]).
1. Initial state. Initially, computer cluster does not need to be configured
except setting up local network. The algorithm assumes full connectivity of
cluster nodes, and works best with tree topologies in which several network
@@ -2747,7 +2748,7 @@ An example of fail over algorithm follows (fig.\nbsp{}[[fig:fail-over-example]])
restarts \(T_1\) etc.). When node \(A\) fails, master kernel is recovered
from backup.
-#+name: fig:fail-over-example
+#+name: fig-fail-over-example
#+header: :headers '("\\input{preamble}")
#+begin_src latex :file build/fail-over-example.pdf :exports results :results raw
\input{tex/preamble}
@@ -2766,12 +2767,12 @@ An example of fail over algorithm follows (fig.\nbsp{}[[fig:fail-over-example]])
#+end_src
#+caption: An example of fail over algorithm in action.
-#+label: fig:fail-over-example
-#+RESULTS: fig:fail-over-example
+#+label: fig-fail-over-example
+#+RESULTS: fig-fail-over-example
[[file:build/fail-over-example.pdf]]
**** Evaluation results.
-Factory framework is evaluated on physical cluster (table\nbsp{}[[tab:cluster]]) on the
+Factory framework is evaluated on physical cluster (table\nbsp{}[[tab-cluster]]) on the
example of HPC application, that generates ocean wavy surface, which is
described in detail in section [[#sec:arma-algorithms]]. The application consists of
a series of filters, each of which is applied to the result of the previous one.
@@ -2781,7 +2782,7 @@ performance. In the programme only the most compute-intensive step (the surface
generation) is executed in parallel across all cluster nodes, and other steps
are executed in parallel across all cores of the principal node.
-#+name: tab:cluster
+#+name: tab-cluster
#+caption: Test platform configuration.
#+attr_latex: :booktabs t
| CPU | Intel Xeon E5440, 2.83GHz |
@@ -2800,7 +2801,7 @@ which only demands explicit marking of replicated kernels.
In a series of experiments performance of the new version of the application in
the presence of different types of failures was benchmarked (numbers correspond
-to the graphs in fig.\nbsp{}[[fig:benchmark]]):
+to the graphs in fig.\nbsp{}[[fig-benchmark]]):
1. no failures,
2. failure of a subordinate node (a node where a part of wavy surface is
generated),
@@ -2813,12 +2814,12 @@ time after the programme start which is equivalent approximately to \(1/3\) of
the total run time without failures on a single node. The application
immediately recognised node as offline, because the corresponding connection was
closed; in real-world scenario, however, the failure is detected after a
-configurable time-out. All relevant parameters are summarised in table\nbsp{}[[tab:benchmark]]. The results of these runs were compared to the run without node
-failures (fig.\nbsp{}[[fig:benchmark]] and\nbsp{}[[fig:slowdown]]).
+configurable time-out. All relevant parameters are summarised in table\nbsp{}[[tab-benchmark]]. The results of these runs were compared to the run without node
+failures (fig.\nbsp{}[[fig-benchmark]] and\nbsp{}[[fig-slowdown]]).
There is considerable difference in overall application performance for
different types of failures. Graphs\nbsp{}2 and\nbsp{}3 in
-fig.\nbsp{}[[fig:benchmark]] show that performance in case of principal and
+fig.\nbsp{}[[fig-benchmark]] show that performance in case of principal and
subordinate node failure is the same. In case of principal node failure a backup
node stores a copy of the main kernel and uses this copy when it detects failure
of the principal node. In case of subordinate node failure, the principal node
@@ -2826,7 +2827,7 @@ redistributes the non-returning kernels between remaining subordinate nodes. In
both cases the state of the main kernel is not lost and no time is spent to
restore it, which explains similar performance.
-Graph\nbsp{}4 in fig.\nbsp{}[[fig:benchmark]] shows that performance in case of a
+Graph\nbsp{}4 in fig.\nbsp{}[[fig-benchmark]] shows that performance in case of a
backup node failure is much lower than in other cases. It happens because
principal node stores only the state of the current step of the computation plus
some additional fixed amount of data, whereas a backup node not only stores the
@@ -2834,7 +2835,7 @@ copy of this data, but executes the step in parallel with other subordinate
nodes. So, when a backup node fails, the principal node executes the whole step
once again on arbitrarily chosen survived node.
-#+name: tab:benchmark
+#+name: tab-benchmark
#+caption: Benchmark parameters for experiments with fail over algorithm.
#+attr_latex: :booktabs t
| Experiment no. | Time to offline, s |
@@ -2846,7 +2847,7 @@ once again on arbitrarily chosen survived node.
To measure how much time is lost due to a node failure the total execution time
with a failure was divided by the total execution time without the failure but
with the number of nodes minus one. This relation is obtained from the same
-benchmark and presented in fig.\nbsp{}[[fig:slowdown]]. The difference in
+benchmark and presented in fig.\nbsp{}[[fig-slowdown]]. The difference in
performance in case of principal and subordinate node failures lies within 5%
margin, and in case of backup node failure within 50% margin for the number of
node less than 6[fn::Measuring this margin for higher number of nodes does not
@@ -2859,28 +2860,28 @@ main kernel finishes its execution and tries to reach its parent. Instant
detection requires abrupt stopping of the subordinate kernel which may be
inapplicable for programmes with complicated logic.
-#+name: fig:benchmark
-#+begin_src R
+#+name: fig-benchmark
+#+begin_src R :file build/benchmark-xxx.pdf
# TODO
#+end_src
#+caption: Performance of hydrodynamics HPC application in the presence of node failures.
-#+label: fig:benchmark
-#+RESULTS: fig:benchmark
+#+label: fig-benchmark
+#+RESULTS: fig-benchmark
The results of the benchmark allows to conclude that no matter a principal or a
subordinate node fails, the overall performance of a parallel programme roughly
equals to the one without failures with the number of nodes minus one, however,
when a backup node fails performance penalty is much higher.
-#+name: fig:slowdown
-#+begin_src R
+#+name: fig-slowdown
+#+begin_src R :file build/slowdown-xxx.pdf
# TODO
#+end_src
#+caption: Slowdown of the hydrodynamics HPC application in the presence of different types of node failures compared to execution without failures but with the number of nodes minus one.
-#+label: fig:slowdown
-#+RESULTS: fig:slowdown
+#+label: fig-slowdown
+#+RESULTS: fig-slowdown
**** Discussion of test results.
Fail over algorithm guarantees to handle one failure per sequential programme
@@ -3012,7 +3013,7 @@ bibliography:bib/refs.bib
:END:
In the framework of linear wave theory two-dimensional system of
-equations\nbsp{}eqref:eq:problem is written as
+equations\nbsp{}eqref:eq-problem is written as
\begin{align*}
& \phi_{xx} + \phi_{zz} = 0,\\
& \zeta(x,t) = -\frac{1}{g} \phi_t, & \text{на }z=\zeta(x,t),
@@ -3030,4 +3031,4 @@ Plugging it in the boundary condition yields
&= -\frac{1}{g} \int\limits_{0}^{\infty} C_t(k, t) \cos(kx + \eps(k, t)).
\end{align*}
Here \(\eps\) is white noise and \(C_t\) includes \(dk\). Substituting integral
-with infinite sum yields two-dimensional form of eq.\nbsp{}[[eq:longuet-higgins]].
+with infinite sum yields two-dimensional form of eq.\nbsp{}[[eq-longuet-higgins]].
