commit 15b2dcef661d23215f1e8d23c9b6ed33b30f79ca
parent 72e337a0eeff07e3fc0a6570c878e3ec7dda4766
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Mon, 13 Feb 2017 19:02:04 +0300
Replace all $...$ with \(...\) as org-mode tutorial recommends.
Diffstat:
| phd-diss-ru.org | | | 302 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
| phd-diss.org | | | 304 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------------------------- |
2 files changed, 303 insertions(+), 303 deletions(-)
diff --git a/phd-diss-ru.org b/phd-diss-ru.org
@@ -443,19 +443,19 @@ cite:kochin1966theoretical
& \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq:problem}\\
& D\zeta = \nabla \phi \cdot \vec{n}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\nonumber
\end{align}
-где $\phi$ --- потенциал скорости, $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной
-поверхности, $p$ --- давление жидкости, $\rho$ --- плотность жидкости,
-$\vec{\upsilon} = (\phi_x, \phi_y, \phi_z)$ --- вектор скорости, $g$ ---
-ускорение свободного падения и $D$ --- субстанциональная производная
+где \(\phi\) --- потенциал скорости, \(\zeta\) --- подъем (аппликата)
+взволнованной поверхности, \(p\) --- давление жидкости, \(\rho\) --- плотность
+жидкости, \(\vec{\upsilon}=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)\) --- вектор скорости, \(g\)
+--- ускорение свободного падения и \(D\) --- субстанциональная производная
(производная Лагранжа). Первое уравнение является уравнением неразрывности
(уравнение Лапласа), второе --- законом сохранения импульса (которое иногда
называют динамическим граничным условием); третье уравнение --- кинематическое
граничное условие, которое сводится к равенству скорости перемещения этой
-поверхности ($D\zeta$) нормальной составляющей скорости жидкости ($\nabla \phi
-\cdot \vec{n}$).
+поверхности (\(D\zeta\)) нормальной составляющей скорости жидкости
+(\(\nabla\phi\cdot\vec{n}\)).
Обратная задача гидродинамики заключается в решении этой системы уравнений
-относительно $\phi$. В такой постановке динамическое ГУ становится явной
+относительно \(\phi\). В такой постановке динамическое ГУ становится явной
формулой для определения поля давлений по значениям производных потенциалов
скорости, полученных из оставшихся уравнений. Таким образом, с математической
точки зрения обратная задача гидродинамики сводится к решению уравнения Лапласа
@@ -477,24 +477,24 @@ $\vec{\upsilon} = (\phi_x, \phi_y, \phi_z)$ --- вектор скорости, $
cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
Модель ЛХ представляет взволнованную морскую поверхность в виде суперпозиции
-элементарных гармонических волн случайных амплитуд $c_n$ и фаз $\epsilon_n$,
-непрерывно распределенных на интервале $[0,2\pi]$. Подъем (координата $z$)
+элементарных гармонических волн случайных амплитуд \(c_n\) и фаз \(\epsilon_n\),
+непрерывно распределенных на интервале \([0,2\pi]\). Подъем (координата \(z\))
поверхности определяется формулой
#+name: eq:longuet-higgins
\begin{equation}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
-Здесь волновые числа $(u_n,v_n)$ непрерывно распределены на плоскости $(u,v)$,
-т.е. площадка $du \times dv$ содержит бесконечно большое количество волновых
+Здесь волновые числа \((u_n,v_n)\) непрерывно распределены на плоскости \((u,v)\),
+т.е. площадка \(du \times dv\) содержит бесконечно большое количество волновых
чисел. Частота связана с волновыми числами дисперсионным соотношением
-$\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является трехмерным
+\(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\). Функция \(\zeta(x,y,t)\) является трехмерным
эргодическим стационарным однородным гауссовым процессом, определяемым
соотношением
\begin{equation*}
2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
\end{equation*}
-где $E_\zeta(u,v)$ --- двумерная спектральная плотность энергии волн.
-Коэффициенты $c_n$ определяются из энергетического спектра волнения $S(\omega)$
+где \(E_\zeta(u,v)\) --- двумерная спектральная плотность энергии волн.
+Коэффициенты \(c_n\) определяются из энергетического спектра волнения \(S(\omega)\)
по формуле
\begin{equation*}
c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
@@ -522,7 +522,7 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
которые не позволяют использовать ее в качестве фундамента для построения
более совершенных моделей.
- В программной реализации скорость сходимости выражения ([[eq:longuet-higgins]])
- может быть низкой, т.к. фазы $\epsilon_n$ имеют вероятностный характер.
+ может быть низкой, т.к. фазы \(\epsilon_n\) имеют вероятностный характер.
- Обобщение модели для негауссовых и нелинейных процессов сопряжено с большой
трудоемкостью вычислений cite:рожков1990вероятностные.
@@ -579,13 +579,13 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
В cite:stab2012,детярев1998моделирование,degtyarev1997analysis дается решение
обратной задачи гидродинамики для случая идеальной несжимаемой жидкости в рамках
теории волн малых амплитуд (в предположении, что длина волны много больше ее
-высоты: $\lambda \gg h$). В этом случае обратная задача линейна и сводится к
+высоты: \(\lambda \gg h\)). В этом случае обратная задача линейна и сводится к
уравнению Лапласа со смешанным граничным условием, а уравнение движения
используется только для нахождения давлений по известным значениям производных
потенциала скорости. Предположение о малости амплитуд волн означает слабое
изменение локального волнового числа во времени и пространстве по сравнению с
подъемом (аппликатой) взволнованной поверхности. Это позволяет вычислить
-производную подъема поверхности по $z$ как $\zeta_z=k\zeta$, где $k$ ---
+производную подъема поверхности по \(z\) как \(\zeta_z=k\zeta\), где \(k\) ---
волновое число. В двухмерном случае решение записывается явной формулой
\begin{align}
\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
@@ -594,7 +594,7 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
z+\alpha\dot{\alpha}}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}e^{I(x)}dx,\label{eq:old-sol-2d}\\
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
-где $\alpha$ --- уклоны волн. В трехмерном случае решение записывается в виде
+где \(\alpha\) --- уклоны волн. В трехмерном случае решение записывается в виде
эллиптического дифференциального уравнения в частных производных
\begin{align*}
& \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \left( 1 + \alpha_x^2 \right) +
@@ -656,11 +656,11 @@ $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$. Функция $\zeta(x,y,t)$ является тр
,
\label{eq:arma-process}
\end{equation}
-где $\zeta$ --- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, $\Phi$ ---
-коэффициенты процесса АР, $\Theta$ --- коэффициенты процесса СС, $\epsilon$ ---
-белый шум, имеющий Гауссово распределение, $\vec N$ --- порядок процесса АР,
-$\vec M$ --- порядок процесса СС, причем $\Phi_{\vec{0}}\equiv0$,
-$\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают многокомпонентные индексы,
+где \(\zeta\) --- подъем (аппликата) взволнованной поверхности, \(\Phi\) ---
+коэффициенты процесса АР, \(\Theta\) --- коэффициенты процесса СС, \(\epsilon\) ---
+белый шум, имеющий Гауссово распределение, \(\vec N\) --- порядок процесса АР,
+\(\vec M\) --- порядок процесса СС, причем \(\Phi_{\vec{0}}\equiv0\),
+\(\Theta_{\vec{0}}\equiv0\). Здесь стрелки обозначают многокомпонентные индексы,
содержащие отдельную компоненту для каждого измерения. В общем случае в качестве
компонент могут выступать любые скалярные величины (температура, соленость,
концентрация какого-либо раствора в воде и т.п.). Параметрами уравнения служат
@@ -679,8 +679,8 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
.
\label{eq:ar-process}
\end{equation}
-Коэффициенты авторегрессии $\Phi$ определяются из многомерных уравнений
-Юла---Уокера, получаемых после домножения на $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ обеих
+Коэффициенты авторегрессии \(\Phi\) определяются из многомерных уравнений
+Юла---Уокера, получаемых после домножения на \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) обеих
частей уравнения и взятия математического ожидания. В общем виде уравнения
Юла---Уокера записываются как
\begin{equation}
@@ -699,7 +699,7 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
\end{cases}
\end{equation}
-где $\gamma$ --- АКФ процесса $\zeta$, $\Var{\epsilon}$ --- дисперсия
+где \(\gamma\) --- АКФ процесса \(\zeta\), \(\Var{\epsilon}\) --- дисперсия
белого шума. Матричная форма трехмерной системы уравнений Юла---Уокера,
используемой в данной работе, имеет следующий вид.
\begin{equation*}
@@ -732,7 +732,7 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-где $\vec N = \left( N_1, N_2, N_3 \right)$ и
+где \(\vec N = \left( N_1, N_2, N_3 \right)\) и
\begin{equation*}
\Gamma_i =
\left[
@@ -754,14 +754,14 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-Поскольку по определению $\Phi_{\vec 0}\equiv0$, то первую строку и столбец
-матрицы $\Gamma$ можно отбросить. Матрица $\Gamma$, как и оставшаяся от нее
+Поскольку по определению \(\Phi_{\vec 0}\equiv0\), то первую строку и столбец
+матрицы \(\Gamma\) можно отбросить. Матрица \(\Gamma\), как и оставшаяся от нее
матрица, будут блочно-теплицевы, положительно определены и симметричны, поэтому
систему уравнений Юла---Уокера можно эффективно решить методом Холецкого,
специально предназначенного для таких матриц.
После нахождения решения системы уравнений дисперсия белого шума определяется из
-уравнения eqref:eq:yule-walker при $\vec k = \vec 0$ как
+уравнения eqref:eq:yule-walker при \(\vec k = \vec 0\) как
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -772,7 +772,7 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
\end{equation*}
**** Процесс скользящего среднего (СС).
-Процесс СС --- это процесс АРСС, в котором $\Phi\equiv0$:
+Процесс СС --- это процесс АРСС, в котором \(\Phi\equiv0\):
\begin{equation}
\zeta_{\vec i}
=
@@ -781,7 +781,7 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
.
\label{eq:ma-process}
\end{equation}
-Коэффициенты СС $\Theta$ определяются неявно из системы нелинейных уравнений
+Коэффициенты СС \(\Theta\) определяются неявно из системы нелинейных уравнений
\begin{equation*}
\gamma_{\vec i} =
\left[
@@ -799,8 +799,8 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
\sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \Theta_{\vec j - \vec i}.
\end{equation*}
-Здесь новые значения коэффициентов $\Theta$ вычисляются, начиная с последнего:
-от $\vec{i}=\vec{M}$ до $\vec{i}=\vec{0}$. Дисперсия белого шума вычисляется из
+Здесь новые значения коэффициентов \(\Theta\) вычисляются, начиная с последнего:
+от \(\vec{i}=\vec{M}\) до \(\vec{i}=\vec{0}\). Дисперсия белого шума вычисляется из
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} = \frac{\gamma_{\vec 0}}{
1
@@ -861,13 +861,13 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
Практика показывает, что некоторые утверждения авторов cite:box1976time не
выполняются для трехмерной модели АРСС. Например, авторы утверждают, что АКФ
-процесса СС обрывается на отсчете $q$, а АКФ процесса АР затухает на
+процесса СС обрывается на отсчете \(q\), а АКФ процесса АР затухает на
бесконечности, однако, на практике при использовании слабо затухающей и
-обрывающейся на отсчете $q$ АКФ для трехмерного процесса СС получается
+обрывающейся на отсчете \(q\) АКФ для трехмерного процесса СС получается
необратимый процесс СС и реализация, не соответствующая реальными морским
волнам, в то время как при использовании той же самой АКФ для трехмерного
процесса АР получается стационарный обратимый процесс и адекватная реализация.
-Также, авторы утверждают, что первые $q$ точек АКФ смешанного процесса
+Также, авторы утверждают, что первые \(q\) точек АКФ смешанного процесса
необходимо выделить процессу СС (поскольку он обычно используется для описания
пиков АКФ) и отдать остальные точки процессу АР, однако, на практике в случае
АКФ прогрессивной волны процесс АР стационарен только для начального временного
@@ -892,13 +892,13 @@ $\Theta_{\vec{0}}\equiv0$. Здесь стрелки обозначают мно
показано в cite:boukhanovsky1997thesis.
**** Преобразование взволнованной поверхности.
-Формула $z=f(y)$ преобразования взволнованной поверхности к необходимому
-одномерному закону распределения $F(z)$ получается путем решения нелинейного
-трансцендентного уравнения $F(z) = \Phi(y)$, где $\Phi(y)$ --- функция
+Формула \(z=f(y)\) преобразования взволнованной поверхности к необходимому
+одномерному закону распределения \(F(z)\) получается путем решения нелинейного
+трансцендентного уравнения \(F(z) = \Phi(y)\), где \(\Phi(y)\) --- функция
одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения
аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на
натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке
-$y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности относительно $z_k$. Тогда
+\(y_k|_{k=0}^N\) сетки сгенерированной поверхности относительно \(z_k\). Тогда
уравнение запишется в виде
\begin{equation}
\label{eq:distribution-transformation}
@@ -912,7 +912,7 @@ $y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности
используется простейший численный метод половинного деления (метод бисекции).
**** Предварительное преобразование АКФ.
-Для преобразования АКФ $\gamma_z$ процесса ее необходимо разложить в ряд по
+Для преобразования АКФ \(\gamma_z\) процесса ее необходимо разложить в ряд по
полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
\begin{equation*}
\gamma_z \left( \vec u \right)
@@ -926,9 +926,9 @@ $y_k|_{k=0}^N$ сетки сгенерированной поверхности
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-$H_m$ --- полином Эрмита, а $f(y)$ --- решение уравнения
+\(H_m\) --- полином Эрмита, а \(f(y)\) --- решение уравнения
eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
-аппроксимацией $f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i$ и аналитическими выражениями
+аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими выражениями
для полнимов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно упростить,
используя следующее равенство:
\begin{equation*}
@@ -941,16 +941,16 @@ eqref:eq:distribution-transformation. Воспользовавшись поли
0 & \text{для нечетных }k.
\end{cases}
\end{equation*}
-Оптимальное количество коэффициентов $C_m$ определяется путем вычисления их
+Оптимальное количество коэффициентов \(C_m\) определяется путем вычисления их
последовательно и критерий прекращения счета определяется совпадением дисперсий
-обоих полей с требуемой точностью $\epsilon$:
+обоих полей с требуемой точностью \(\epsilon\):
\begin{equation*}
\left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
\frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
\end{equation*}
В cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную
-аппроксимацию для $f(y)$ также для преобразования поверхности, однако на
+аппроксимацию для \(f(y)\) также для преобразования поверхности, однако на
практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
@@ -972,8 +972,8 @@ eqref:eq:distribution-transformation эффективнее решать мет
различных областях. В то же время, вычисление дискретных преобразований Фурье на
компьютере возможно для любой дискретно заданной функции и эффективно при
использовании алгоритмов БПФ. Эти алгоритмы используют симметрию комплексных
-экспонент для понижения асимптотической сложности с $\mathcal{O}(n^2)$ до
-$\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если общее решение содержит
+экспонент для понижения асимптотической сложности с \(\mathcal{O}(n^2)\) до
+\(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). Таким образом, даже если общее решение содержит
преобразования Фурье от неизвестных функций, они все равно могут быть взяты
численно, а использование алгоритмов БПФ делает этот подход эффективным.
@@ -984,8 +984,8 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
частных производных преобразуется в неявную разностную схему, решаемую
итерационным методом, на каждом шаге которого ищется решение трехдиагональной
или пятидиагональной СЛАУ методом прогонки (алгоритм Томаса). Асимптотическая
-сложность алгоритма составляет $\mathcal{O}({n}{m})$, где $n$ --- количество
-точек на сетке взволнованной поверхности, $m$ --- число итераций. Несмотря на
+сложность алгоритма составляет \(\mathcal{O}({n}{m})\), где \(n\) --- количество
+точек на сетке взволнованной поверхности, \(m\) --- число итераций. Несмотря на
широкое распространение, итеративные алгоритмы неэффективно отображаются на
архитектуру параллельных машин; в частности, отображение на сопроцессоры может
включать в себя копирование данных на сопроцессор и обратно на каждой итерации,
@@ -1017,7 +1017,7 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
\FourierY{\phi(x,z)}{u,v} = 0,
\end{equation*}
-откуда имеем $v = \pm i u$. Здесь и далее будет использоваться следующая
+откуда имеем \(v = \pm i u\). Здесь и далее будет использоваться следующая
симметричная форма преобразования Фурье:
\begin{equation*}
\FourierY{f(x,y)}{u,v} =
@@ -1027,15 +1027,15 @@ $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. Таким образом, даже если обще
dx dy.
\end{equation*}
Решение уравнения будем искать в виде обратного преобразования Фурье
-$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Подставляя[fn::Выражение $v={-i}{u}$
+\(\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}\). Подставляя[fn::Выражение \(v={-i}{u}\)
не подходит в данной задаче, поскольку потенциал скорости должен стремиться к
-нулю с увеличением глубины до бесконечности.} $v={i}{u}$ в формулу, решение
+нулю с увеличением глубины до бесконечности.} \(v={i}{u}\) в формулу, решение
перепишется как
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-2d}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
-Для того чтобы подстановка $z=\zeta(x,t)$ не помешала использованию
+Для того чтобы подстановка \(z=\zeta(x,t)\) не помешала использованию
преобразований Фурье в решении, перепишем eqref:eq:guessed-sol-2d в виде
свертки:
\begin{equation*}
@@ -1045,9 +1045,9 @@ $\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Подставляя[fn::Выраже
\ast
\InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
-где $\Fun{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в
+где \(\Fun{z}\) --- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
-$\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение для $\phi$ в
+\(\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}\). Подставляя выражение для \(\phi\) в
граничное условие, получим
\begin{equation*}
\zeta_t
@@ -1059,8 +1059,8 @@ $\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение
\InverseFourierY{2\pi u E(u)}{x}
\right],
\end{equation*}
-где $f(x) = {\zeta_x}/{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} - \zeta_x$. Применяя преобразование
-Фурье к обеим частям, получаем выражение для коэффициентов $E$:
+где \(f(x) = {\zeta_x}/{\sqrt{1 + \zeta_x^2}} - \zeta_x\). Применяя преобразование
+Фурье к обеим частям, получаем выражение для коэффициентов \(E\):
\begin{equation*}
E(u) =
\frac{1}{2\pi u}
@@ -1070,8 +1070,8 @@ $\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Подставляя выражение
\FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
-Выполняя подстановку $z=\zeta(x,t)$ и подставляя полученное выражение в
-eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для $\phi(x,z)$:
+Выполняя подстановку \(z=\zeta(x,t)\) и подставляя полученное выражение в
+eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выражение для \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\label{eq:solution-2d}
\boxed{
@@ -1088,20 +1088,20 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
}
\end{equation}
-Множитель $e^{2\pi u z}/(2\pi u)$ делает график функции от которой берется
-обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси $OY$. Это
+Множитель \(e^{2\pi u z}/(2\pi u)\) делает график функции от которой берется
+обратное преобразования Фурье несимметричным относительно оси \(OY\). Это
затрудняет применение БПФ, поскольку оно требует периодичную функцию, которая на
концах промежутка принимает нулевое значение. Использование численного
интегрирования вместо БПФ не позволит получить преимущество над решением всей
системы уравнений с помощью разностных схем. Эту проблему можно обойти,
используя формулу eqref:eq:solution-2d-full для жидкости конечной глубины с
-заведомо большим значением глубины водоема $h$. Вывод формулы дан в следующем
+заведомо большим значением глубины водоема \(h\). Вывод формулы дан в следующем
разделе.
**** Формула для жидкости конечной глубины.
На дне водоема вертикальная составляющая скорости перемещения жидкости должна
-равняться нулю, т.е. $\phi_z=0$ на $z=-h$, где $h$ --- глубина водоема. В этом
-случае пренебречь равенством $v = -i u$, полученным из уравнения Лапласа,
+равняться нулю, т.е. \(\phi_z=0\) на \(z=-h\), где \(h\) --- глубина водоема. В этом
+случае пренебречь равенством \(v = -i u\), полученным из уравнения Лапласа,
нельзя, и решение ищется в виде
\begin{equation}
\phi(x,z)
@@ -1112,28 +1112,28 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d, получаем окончательное выраж
}{x}.
\label{eq:guessed-sol-2d-full}
\end{equation}
-Подставляя $\phi$ в условие на дне водоема, получим
+Подставляя \(\phi\) в условие на дне водоема, получим
\begin{equation*}
C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
\end{equation*}
-откуда имеем $C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}$ и
-$C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}$. Константа $C$ здесь произвольна, поскольку
-при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов $E(u)$. Подставляя
-полученные выражения для $C_1$ и $C_2$ в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем
+откуда имеем \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) и
+\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Константа \(C\) здесь произвольна, поскольку
+при подстановке станет частью неизвестных коэффициентов \(E(u)\). Подставляя
+полученные выражения для \(C_1\) и \(C_2\) в eqref:eq:guessed-sol-2d-full, получаем
выражение
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Подставляя $\phi$ в граничное условие на свободной поверхности, получаем
+Подставляя \(\phi\) в граничное условие на свободной поверхности, получаем
\begin{equation*}
\zeta_t = f(x) \InverseFourierY{ 2\pi i u \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}
- \InverseFourierY{ 2\pi u \SinhX{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Здесь $\sinh$ и $\cosh$ дают схожие результаты вблизи свободной поверхности, и,
+Здесь \(\sinh\) и \(\cosh\) дают схожие результаты вблизи свободной поверхности, и,
поскольку эта область является наиболее интересной с точки зрения практического
-применения, положим $\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}$. Выполняя
+применения, положим \(\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}\). Выполняя
аналогичные предыдущему разделу операции, получаем окончательное выражение для
-$\phi(x,z)$:
+\(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\boxed{
\phi(x,z,t)
@@ -1149,12 +1149,12 @@ $\phi(x,z)$:
}
\label{eq:solution-2d-full}
\end{equation}
-где $\FunSecond{z}$ --- некоторая функция, вид которой будет определен в
+где \(\FunSecond{z}\) --- некоторая функция, вид которой будет определен в
[[#sec:compute-delta]] и для которой выполняется соотношение
-$\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}$.
+\(\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}\).
**** Сведение к формулам линейной теории волн.
-Справедливость полученных формул проверим, подставив в качестве $\zeta(x,t)$
+Справедливость полученных формул проверим, подставив в качестве \(\zeta(x,t)\)
известные аналитические выражения для плоских волн. Символьные вычисления
преобразований Фурье в этом разделе производились с помощью пакета Mathematica
cite:mathematica10. В линейной теории широко используется предположение о
@@ -1174,14 +1174,14 @@ eqref:eq:problem-2d до
}{x}
.
\end{equation*}
-Профиль прогрессивной волны описывается формулой $\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))$.
+Профиль прогрессивной волны описывается формулой \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\).
Подстановка этого выражения в eqref:eq:solution-2d дает равенство
-$\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}$. Чтобы свести его к
+\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). Чтобы свести его к
формуле линейной теории волн, представим гиперболический синус в
-экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий $e^{-2\pi{k}{z}}$, как
-противоречащий условию $\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$.
+экспоненциальной форме и отбросим член, содержащий \(e^{-2\pi{k}{z}}\), как
+противоречащий условию \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\).
После взятия действительной части выражения получится известная формула линейной
-теории $\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))$. Аналогично,
+теории \(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\). Аналогично,
предположение о малости амплитуд волн позволяет упростить формулу
eqref:eq:solution-2d-full до
\begin{equation*}
@@ -1192,7 +1192,7 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
\FourierY{\zeta_t}{u}
}{x}.
\end{equation*}
-Подстановка формулы для прогрессивной плоской волны вместо $\zeta(x,t)$ дает
+Подстановка формулы для прогрессивной плоской волны вместо \(\zeta(x,t)\) дает
равенство
\begin{equation}
\label{eq:solution-2d-linear}
@@ -1205,20 +1205,20 @@ eqref:eq:solution-2d-full до
Различные записи решения уравнения Лапласа, в которых затухающая экспонента
может встречаться как со знаком "+", так и со знаком "-", могут стать причиной
разницы между формулами линейно теории и формулами, выведенными в данной работе,
-где вместо $\sinh$ используется $\cosh$. Выражение
-$\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}$
+где вместо \(\sinh\) используется \(\cosh\). Выражение
+\(\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}\)
превращается в строгое равенство на поверхности, и разница между правой левой
частью увеличивается при приближении к дну водоема (для достаточно большой
глубины ошибка вблизи поверхности жидкости незначительна). Поэтому для
-достаточно большой глубины можно использовать любую из функций ($\cosh$ или
-$\sinh$) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
+достаточно большой глубины можно использовать любую из функций (\(\cosh\) или
+\(\sinh\)) для вычисления потенциала скорости вблизи взволнованной поверхности.
Сведение формул eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full к формулам
линейной теории волн показывает, что формула eqref:eq:solution-2d для жидкости
бесконечной глубины не подходит для вычисления потенциала скорости с
использованием метода Фурье, т.к. не обладает необходимой для преобразования
Фурье симметрией. Однако, для такого случая можно использовать формулу для
-конечной глубины, полагая $h$ равным характерному значению глубины исследуемого
+конечной глубины, полагая \(h\) равным характерному значению глубины исследуемого
водоема. Для стоячих волн сведение к формулам линейной теории происходит с
аналогичными предположениями.
@@ -1239,8 +1239,8 @@ $\sinh$) для вычисления потенциала скорости вб
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 + w^2 \right)
\FourierY{\phi(x,y,z)}{u,v,w} = 0,
\end{equation*}
-откуда имеем $w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}$. Решение уравнения будем искать в виде
-обратного преобразования Фурье $\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}$.
+откуда имеем \(w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}\). Решение уравнения будем искать в виде
+обратного преобразования Фурье \(\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}\).
Применяя полученное равенство, получаем
\begin{equation*}
\phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
@@ -1251,7 +1251,7 @@ $\sinh$) для вычисления потенциала скорости вб
E(u,v)
}{x,y}.
\end{equation*}
-Подставляя $\phi$ в условие на дне водоема аналогично двухмерному случаю,
+Подставляя \(\phi\) в условие на дне водоема аналогично двухмерному случаю,
получаем
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-3d}
@@ -1259,7 +1259,7 @@ $\sinh$) для вычисления потенциала скорости вб
\Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
}{x,y}.
\end{equation}
-Подставляя выражение для $\phi$ в граничное условие, получим
+Подставляя выражение для \(\phi\) в граничное условие, получим
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
@@ -1268,10 +1268,10 @@ $\sinh$) для вычисления потенциала скорости вб
- & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
\end{array}
\end{equation*}
-где $f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$ и
-$f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$.
+где \(f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x\) и
+\(f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y\).
Применяя преобразование Фурье к обеим частям, получаем выражение для
-коэффициентов $E$:
+коэффициентов \(E\):
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
@@ -1281,7 +1281,7 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
- & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
\end{array}
\end{equation*}
-Окончательное решение получается при подстановке выражения для $E(u,v)$
+Окончательное решение получается при подстановке выражения для \(E(u,v)\)
в eqref:eq:guessed-sol-3d.
* Численные методы и результаты экспериментов
@@ -1290,13 +1290,13 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
**** Аналитический метод.
Прямой способ нахождения АКФ, соответствующей заданному профилю морской волны,
состоит в применении теоремы Винера---Хинчина. Согласно этой теореме
-автокорреляционная функция $K$ функции $\zeta$ равна преобразованию Фурье от
+автокорреляционная функция \(K\) функции \(\zeta\) равна преобразованию Фурье от
квадрата модуля этой функции:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
\label{eq:wiener-khinchin}
\end{equation}
-Если заменить $\zeta$ на формулу для волнового профиля, то это выражение даст
+Если заменить \(\zeta\) на формулу для волнового профиля, то это выражение даст
аналитическую формулу для соответствующей АКФ.
Для трехмерного волнового профиля (два пространственных и одно временное
@@ -1329,8 +1329,8 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
\label{eq:standing-wave}
\end{equation}
Найдем АКФ с помощью аналитического метода. Домножив формулу на затухающую
-экспоненту (поскольку преобразование Фурье определено для функции $f$, для
-которой справедливо $f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$),
+экспоненту (поскольку преобразование Фурье определено для функции \(f\), для
+которой справедливо \(f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0\)),
получим
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) =
@@ -1352,7 +1352,7 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
\end{equation}
Таким образом, после применения теоремы Винера---Хинчина получаем исходную
формулу, но с косинусами вместо синусов. Это различие важно, поскольку значение
-АКФ в точке $(0,0,0)$ равно дисперсии процесса АРСС, которое при использовании
+АКФ в точке \((0,0,0)\) равно дисперсии процесса АРСС, которое при использовании
синусов было бы неверным.
Если попытаться получить ту же самую формулу с помощью эмпирического метода, то
@@ -1382,7 +1382,7 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
*** Сравнение изученных методов
Итого, аналитический метод нахождения АКФ морских волн сводится к следующим
шагам.
-- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm\infty$, домножив его
+- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на \(\pm\infty\), домножив его
на затухающую экспоненту.
- Взять преобразование Фурье от квадрата модуля получившегося профиля,
воспользовавшись программой для символьных вычислений.
@@ -1393,7 +1393,7 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
что максимум АКФ должен быть перенесен в начало координат, чтобы сохранить
дисперсию моделируемого процесса. Применение эмпирического метода нахождения АКФ
сводится к следующим шагам.
-- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на $\pm\infty$, домножив его
+- Обеспечить затухание выражения для профиля волны на \(\pm\infty\), домножив его
на затухающую экспоненту.
- Перенести максимум получившейся функции в начало координат, используя свойства
тригонометрических функций для сдвига фазы.
@@ -1431,11 +1431,11 @@ $f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$
+1
\right],
\end{align}
-где $\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})$, $\gamma_1$ --- асимметрия,
-$\gamma_2$ --- эксцесс, $f$ --- ФПР, $F$ --- функция распределения (ФР).
+где \(\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})\), \(\gamma_1\) --- асимметрия,
+\(\gamma_2\) --- эксцесс, \(f\) --- ФПР, \(F\) --- функция распределения (ФР).
Согласно cite:рожков1990вероятностные для аппликат морских волн значение
-асимметрии выбирается на интервале $0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]$, а значение
-эксцесса на интервале $0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}$. Семейство плотностей
+асимметрии выбирается на интервале \(0,1\leq\gamma_1\leq{0,52}]\), а значение
+эксцесса на интервале \(0,1\leq\gamma_2\leq{0,7}\). Семейство плотностей
распределения при различных параметрах показано на [[fig:skew-normal-1]].
#+name: fig:skew-normal-1
@@ -1464,7 +1464,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии $\gamma_1$ и эксцесса $\gamma_2$.
+#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-1 аппликат взволнованной морской поверхности при различных значениях асимметрии \(\gamma_1\) и эксцесса \(\gamma_2\).
#+RESULTS: fig:skew-normal-1
[[file:build/skew-normal-1.pdf]]
@@ -1478,11 +1478,11 @@ legend(
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
\end{align}
-где $T$ --- функция Оуэна cite:owen1956tables. Эта формула не позволяет задать
+где \(T\) --- функция Оуэна cite:owen1956tables. Эта формула не позволяет задать
значения асимметрии и эксцесса по отдельности --- оба значения регулируются
-параметром $\alpha$. Преимущество данной формулы лишь в относительной простоте
+параметром \(\alpha\). Преимущество данной формулы лишь в относительной простоте
вычисления: эта функция встроена в некоторые программы и библиотеки
-математических функций. График функции для разных значений $\alpha$ представлен
+математических функций. График функции для разных значений \(\alpha\) представлен
на [[fig:skew-normal-2]].
#+name: fig:skew-normal-2
@@ -1515,7 +1515,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии $\alpha$.
+#+caption: Вид плотности распределения eqref:eq:skew-normal-2 волновых аппликат при различных значениях коэффициента асимметрии \(\alpha\).
#+RESULTS: fig:skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
@@ -1525,20 +1525,20 @@ legend(
даст наиболее точные результаты, либо в каждой точке фиксированной сетки,
интерполировав решение методом наименьших квадратов (МНК). Во втором случае
точность будет меньше. Например, интерполяция многочленом 12-го порядка на сетке
-из 500 узлов, построенной на промежутке $-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z$, дает
-погрешность $\approx{0,43}\cdot10^{-3}$. Увеличение порядка многочлена приводит
+из 500 узлов, построенной на промежутке \(-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z\), дает
+погрешность \(\approx{0,43}\cdot10^{-3}\). Увеличение порядка многочлена приводит
либо к переполнениям при интерполяции МНК, либо к дополнительным коэффициентам
близким к нулю; увеличение размера сетки влияет на результат незначительно. В
большинстве случаев трех коэффициентов ряда Грама---Шарлье было достаточно для
преобразования АКФ; относительная погрешность без интерполяции составляет
-$10^{-5}$.
+\(10^{-5}\).
*** Алгоритм генерации белого шума
Чтобы исключить периодичность из сгенерированной моделью ветрового волнения
реализации взволнованной поверхности, для генерации белого шума нужно
использовать ГПСЧ с достаточно большим периодом. В качестве такого генератора в
работе используется параллельная реализация вихря Мерсенна
-cite:matsumoto1998mersenne с периодом $2^{19937}-1$. Это позволяет создавать
+cite:matsumoto1998mersenne с периодом \(2^{19937}-1\). Это позволяет создавать
апериодичные реализации взволнованной морской поверхности для любых сценариев
применения, встречаемых на практике.
@@ -1580,8 +1580,8 @@ cite:matsumoto1998mersenne с периодом $2^{19937}-1$. Это позво
cite:oppenheim1989discrete,svoboda2011efficient,pavel2013algorithms. Суть метода
заключается в добавлении интервала равного по размеру интервалу разгона в конец
каждой из частей. Затем взволнованная поверхность генерируется в каждой точки
-каждой из частей (включая добавленный интервал), интервал в конце части $N$
-накладывается на интервал разгона в начале части $N+1$, и значения в
+каждой из частей (включая добавленный интервал), интервал в конце части \(N\)
+накладывается на интервал разгона в начале части \(N+1\), и значения в
соответствующих точках складываются.
#+name: fig:ramp-up-interval
@@ -1590,7 +1590,7 @@ source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
#+end_src
-#+caption: Интевал разгона в начале оси $OX$ реализации.
+#+caption: Интевал разгона в начале оси \(OX\) реализации.
#+RESULTS: fig:ramp-up-interval
[[file:build/ramp-up-interval-ru.pdf]]
@@ -1601,8 +1601,8 @@ arma.plot_ramp_up_interval(label="Интервал разгона")
В решениях eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full двухмерной задачи
определения поля давлений присутствуют функции
-$\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}$ и
-$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}$, которые могут быть
+\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) и
+\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\), которые могут быть
записаны аналитически различными выражениями и представляют сложность при
вычислении на компьютере. Каждая функция --- это преобразование Фурье от
линейной комбинации экспонент, которое сводится к плохо определенной дельта
@@ -1611,19 +1611,19 @@ $\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}$, которые могу
части, однако, такой подход не работает здесь, поскольку взятие обратного
преобразования Фурье не даст экспоненту, что сильно исказит результирующее поле
скоростей. Для получения однозначного аналитического выражения можно
-воспользоваться нормировкой $1/\Sinh{2\pi{u}{h}}$ (которая также включается в
-выражение для коэффициентов $E(u)$). Численные эксперименты показывают, что
+воспользоваться нормировкой \(1/\Sinh{2\pi{u}{h}}\) (которая также включается в
+выражение для коэффициентов \(E(u)\)). Численные эксперименты показывают, что
нормировка хоть и позволяет получить адекватное поле скоростей, оно мало
-отличается от выражений из линейной теории волн, в которых члены с $\zeta$
+отличается от выражений из линейной теории волн, в которых члены с \(\zeta\)
опускаются.
#+name: tab:delta-functions
-#+caption: Формулы для вычисления $\Fun{z}$ и $\FunSecond{z}$ из [[#sec:pressure-2d]], использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
+#+caption: Формулы для вычисления \(\Fun{z}\) и \(\FunSecond{z}\) из [[#sec:pressure-2d]], использующие нормировку для исключения неоднозначности определения дельта функции комплексного аргумента.
#+attr_latex: :booktabs t
-| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
-|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
-| $\Fun{z}$ | $\delta (x+i z)$ | $\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)$ |
-| $\FunSecond{z}$ | $\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]$ | $\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]$ |
+| Функция | Без нормировки | С нормировкой |
+|-------------------+--------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
+| \(\Fun{z}\) | \(\delta (x+i z)\) | \(\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)\) |
+| \(\FunSecond{z}\) | \(\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]\) | \(\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]\) |
** Верификация модели АРСС
:PROPERTIES:
@@ -1645,8 +1645,8 @@ cite:degtyarev2011modelling,degtyarev2013synoptic,boukhanovsky1997thesis
морских волн (перечисленные в таблице [[tab:weibull-shape]]) имеют распределение
Вейбулла, а подъем взволнованной поверхности --- нормальное распределение. Для
верификации генерируемых моделями АР и СС реализаций используются спрямленные
-диаграммы (графики, в которых по оси $OX$ откладываются квантили функции
-распределения, вычисленные аналитически, а по оси $OY$ --- вычисленные
+диаграммы (графики, в которых по оси \(OX\) откладываются квантили функции
+распределения, вычисленные аналитически, а по оси \(OY\) --- вычисленные
экспериментально). Если экспериментально полученное распределение соответствует
аналитическому, то график представляет собой прямую линию. Концы графика могут
отклоняться от прямой линии, поскольку не могут быть надежно получены из
@@ -1656,9 +1656,9 @@ cite:degtyarev2011modelling,degtyarev2013synoptic,boukhanovsky1997thesis
друг на друга.
#+name: tab:weibull-shape
-#+caption: Значение коэффициента формы $k$ распределения Вейбулла для различных характеристик волн.
+#+caption: Значение коэффициента формы \(k\) распределения Вейбулла для различных характеристик волн.
#+attr_latex: :booktabs t
-| Характеристика | Коэффициент формы $k$ |
+| Характеристика | Коэффициент формы \(k\) |
|-------------------------+-----------------------|
| Высота волны | 2 |
| Длина волны | 2,3 |
@@ -1750,7 +1750,7 @@ eqref:eq:solution-2d-linear линейной теории, качественн
позволяет сделать машинная точность).
#+name: fig:potential-field-nonlinear
-#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны $\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)$. Поле, полученное по формуле eqref:eq:solution-2d-full (слева) и по формуле линейной теории волн (справа).
+#+caption: Поле потенциала скорости прогрессивной волны \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Поле, полученное по формуле eqref:eq:solution-2d-full (слева) и по формуле линейной теории волн (справа).
#+attr_latex: :width 0.47\textwidth
#+begin_figure
[[file:graphics/pressure/potential-5.eps]]
@@ -1773,7 +1773,7 @@ eqref:eq:old-sol-2d, сопоставимы для волн малых ампл
волн.
#+name: fig:velocity-field-2d
-#+caption: Сравнение полей скоростей на поверхности моря, полученных по общей формуле ($u_1$) и формуле для волн малой амплитуды ($u_2$). Поле скоростей для поверхности волн малой амплитуды (слева) и большой амплитуды (справа).
+#+caption: Сравнение полей скоростей на поверхности моря, полученных по общей формуле (\(u_1\)) и формуле для волн малой амплитуды (\(u_2\)). Поле скоростей для поверхности волн малой амплитуды (слева) и большой амплитуды (справа).
#+begin_figure
[[file:build/low-amp-nocolor.eps]]
[[file:build/high-amp-nocolor.eps]]
@@ -2403,7 +2403,7 @@ arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
)
#+end_src
-#+caption: Наложение параллельных вычислений на $[G_0,G_1]$ и записи данных на диск на $[W_0,W_1]$. В реализации OpenMP наложение отсутствует.
+#+caption: Наложение параллельных вычислений на \([G_0,G_1]\) и записи данных на диск на \([W_0,W_1]\). В реализации OpenMP наложение отсутствует.
#+RESULTS: fig:factory-overlap
[[file:build/factory-vs-openmp-overlap-ru.pdf]]
@@ -2533,18 +2533,18 @@ IP-адреса: замена отображения IP-адресов на чт
отправкой сообщений.
**** Построение древовидной иерархии.
-Отношение строго порядка на множестве $\mathcal{N}$ узлов одной подсети
+Отношение строго порядка на множестве \(\mathcal{N}\) узлов одной подсети
определяется как
\begin{equation*}
\forall n_1 \forall n_2 \in \mathcal{N},
\forall f \colon \mathcal{N} \rightarrow \mathcal{R}^n
\Rightarrow (f(n_1) < f(n_2) \Leftrightarrow \neg (f(n_1) \geq f(n_2))),
\end{equation*}
-где $f$ --- отображение узла на его ранг, а $<$ --- оператор, определяющий
-отношение строго порядка на множестве $\mathcal{R}^n$. Функция $f$ присваивает
-узлу порядковый номер, а оператор $<$ делает этот номер уникальным.
+где \(f\) --- отображение узла на его ранг, а \(<\) --- оператор, определяющий
+отношение строго порядка на множестве \(\mathcal{R}^n\). Функция \(f\) присваивает
+узлу порядковый номер, а оператор \(<\) делает этот номер уникальным.
-Простейшее отображение $f$ ставит в соответствие каждому узлу подсети позицию
+Простейшее отображение \(f\) ставит в соответствие каждому узлу подсети позицию
его IP-адреса в диапазоне всех адресов подсети. Без преобразования к древовидной
иерархии (когда в подсети выбирается только один лидер) рабочий узел, адрес
которого занимает наименьшую позицию в диапазоне, становится руководящим. Если
@@ -2567,11 +2567,11 @@ IP-адреса: замена отображения IP-адресов на чт
l \geq 0, \quad
o \geq 0
\end{equation*}
-где $n$ --- позиция IP-адреса узла в диапазоне IP-адресов подсети и $p$ ---
+где \(n\) --- позиция IP-адреса узла в диапазоне IP-адресов подсети и \(p\) ---
значение ветвления (максимальное количество подчиненных, которых может иметь
-узел). Руководитель узла на уровне $l$ с отступом $o$ имеет уровень $l-1$ и
-отступ $\lfloor{o/p}\rfloor$. Расстояние между любыми двумя узлами в иерархии,
-адреса которых занимают позиции $i$ и $j$ в диапазоне определяется как
+узел). Руководитель узла на уровне \(l\) с отступом \(o\) имеет уровень \(l-1\) и
+отступ \(\lfloor{o/p}\rfloor\). Расстояние между любыми двумя узлами в иерархии,
+адреса которых занимают позиции \(i\) и \(j\) в диапазоне определяется как
\begin{align*}
& \langle
\text{lsub}(l(j), l(i)), \quad
@@ -2587,7 +2587,7 @@ IP-адреса: замена отображения IP-адресов на чт
очередь.
Для выбора руководителя каждый узел ранжирует все узлы подсети в соответствии с
-их позицией $\langle{l(n),o(n)}\rangle$ и, используя формулу для определения
+их позицией \(\langle{l(n),o(n)}\rangle\) и, используя формулу для определения
расстояния, выбирает ближайший к потенциальному руководителю узел, имеющий
наименьший ранг. Это позволяет пропустить IP-адреса выключенных узлов, однако,
для разреженных сетей (в которых узлы занимают непоследовательные IP-адреса)
@@ -2739,7 +2739,7 @@ cite:dean2008mapreduce,vavilapalli2013yarn --- пользователь, зап
на кластере, не указывает количество узлов, фактические узлы --- это узлы, на
которых расположены входные файлы.
-С математической точки зрения управляющий объект $K$ может быть определен как
+С математической точки зрения управляющий объект \(K\) может быть определен как
векторнозначный функционал, отображающий один управляющий объект на
\(n\)-компонентный вектор управляющих объектов:
\begin{equation*}
@@ -2747,7 +2747,7 @@ cite:dean2008mapreduce,vavilapalli2013yarn --- пользователь, зап
\qquad
\mathbb{K}^n = \left\{ f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^n \right\}.
\end{equation*}
-Специальный объект $\mathbb{O}: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^0$
+Специальный объект \(\mathbb{O}: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^0\)
используется для остановки рекурсии, и передается в качестве аргумента главному
управляющему объекту программы. Аргумент управляющего объекта интерпретируется
следующим образом.
@@ -2866,7 +2866,7 @@ cite:armstrong2003thesis. Для того что реализовать этот
запускался не на главном узле, чтобы оптимально отобразить иерархию объектов на
иерархию узлов (наложить одну на другую). Узел-жертва выводился из строя по
прошествии фиксированного временного интервала после запуска программы равного
-примерно $1/3$ времени работы программы на одном узле. Способ запуска для
+примерно \(1/3\) времени работы программы на одном узле. Способ запуска для
каждого эксперимента представлен в [[tab:benchmark]] ("корень" и "лист" относятся к
положению узла в древовидной иерархии). Результаты экспериментов приведены на
[[fig:benchmark]] и [[fig:slowdown]].
@@ -2904,7 +2904,7 @@ cite:armstrong2003thesis. Для того что реализовать этот
строя главного узла и подчиненного узла находится в пределах 5%, а в случае
выхода из строя резервного узла --- в пределах 50% для количества узлов меньше
6[fn::Измерение разницы для большего количества узлов не имеет смысла, поскольку
-программа завершается еще до наступления сбоя.]. Разница в 50% больше, чем $1/3$
+программа завершается еще до наступления сбоя.]. Разница в 50% больше, чем \(1/3\)
времени работы программы, после которого происходит сбой, однако отказ
резервного узла требует некоторого времени, чтобы быть обнаруженным другими
узлами. Сбой узла обнаруживается только тогда, когда подчиненный объект
diff --git a/phd-diss.org b/phd-diss.org
@@ -418,19 +418,19 @@ for it in general case is written as cite:kochin1966theoretical
& \phi_t+\frac{1}{2} |\vec{\upsilon}|^2 + g\zeta=-\frac{p}{\rho}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\label{eq:problem}\\
& D\zeta = \nabla \phi \cdot \vec{n}, & \text{на }z=\zeta(x,y,t),\nonumber
\end{align}
-where $\phi$ --- velocity potential, $\zeta$ --- elevation ($z$ coordinate) of
-wavy surface, $p$ --- wave pressure, $\rho$ --- fluid density, $\vec{\upsilon} =
-(\phi_x, \phi_y, \phi_z)$ --- velocity vector, $g$ --- acceleration of gravity,
-and $D$ --- substantial (Lagrange) derivative. The first equation is called
-continuity (Laplace) equation, the second one is the conservation of momentum
-law (the so called dynamic boundary condition); the third one is
-kinematic boundary condition for free wavy surface, which states that rate of
-change of wavy surface elevation ($D\zeta$) equals to the change of velocity
-potential derivative along the wavy surface normal ($\nabla \phi \cdot
-\vec{n}$).
+where \(\phi\) --- velocity potential, \(\zeta\) --- elevation (\(z\) coordinate)
+of wavy surface, \(p\) --- wave pressure, \(\rho\) --- fluid density,
+\(\vec{\upsilon}=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)\) --- velocity vector, \(g\) ---
+acceleration of gravity, and \(D\) --- substantial (Lagrange) derivative. The
+first equation is called continuity (Laplace) equation, the second one is the
+conservation of momentum law (the so called dynamic boundary condition); the
+third one is kinematic boundary condition for free wavy surface, which states
+that rate of change of wavy surface elevation (\(D\zeta\)) equals to the change of
+velocity potential derivative along the wavy surface normal
+(\(\nabla\phi\cdot\vec{n}\)).
Inverse problem of hydrodynamics consists in solving this system of equations
-for $\phi$. In this formulation dynamic boundary condition becomes explicit
+for \(\phi\). In this formulation dynamic boundary condition becomes explicit
formula to determine pressure field using velocity potential derivatives
obtained from the remaining equations. So, from mathematical point of view
inverse problem of hydrodynamics reduces to Laplace equation with mixed boundary
@@ -451,23 +451,23 @@ comparative analysis of this model and ARMA model is done in
cite:degtyarev2011modelling,boukhanovsky1997thesis.
LH model represents ocean wavy surface as a superposition of
-sine waves with random amplitudes $c_n$ and phases $\epsilon_n$, continuously
-distributed on interval $[0,2\pi]$. Wavy surface elevation ($z$ coordinate) is
+sine waves with random amplitudes \(c_n\) and phases \(\epsilon_n\), continuously
+distributed on interval \([0,2\pi]\). Wavy surface elevation (\(z\) coordinate) is
defined by
#+name: eq:longuet-higgins
\begin{equation}
\zeta(x,y,t) = \sum\limits_n c_n \cos(u_n x + v_n y - \omega_n t + \epsilon_n).
\end{equation}
-Here wave numbers $(u_n,v_n)$ are continuously distributed on plane $(u,v)$,
-i.e. area $du \times dv$ contains infinite quantity of wave numbers. Frequency
-is related to wave numbers via dispersion relation $\omega_n=\omega(u_n,v_n)$.
-Function $\zeta(x,y,t)$ is a three-dimensional ergodic stationary homogeneous
+Here wave numbers \((u_n,v_n)\) are continuously distributed on plane \((u,v)\),
+i.e. area \(du \times dv\) contains infinite quantity of wave numbers. Frequency
+is related to wave numbers via dispersion relation \(\omega_n=\omega(u_n,v_n)\).
+Function \(\zeta(x,y,t)\) is a three-dimensional ergodic stationary homogeneous
Gaussian process defined by
\begin{equation*}
2E_\zeta(u,v)\, du\, dv = \sum\limits_n c_n^2,
\end{equation*}
-where $E_\zeta(u,v)$ --- two-dimensional wave energy spectral density.
-Coefficients $c_n$ are derived from wave energy spectrum $S(\omega)$ via
+where \(E_\zeta(u,v)\) --- two-dimensional wave energy spectral density.
+Coefficients \(c_n\) are derived from wave energy spectrum \(S(\omega)\) via
\begin{equation*}
c_n = \sqrt{ \textstyle\int\limits_{\omega_n}^{\omega_{n+1}} S(\omega) d\omega}.
\end{equation*}
@@ -493,7 +493,7 @@ appear in practice.
3. Finally, there are peculiarities which make LH model unsuitable base for
building more advanced simulation models.
- In software implementation convergence rate of ([[eq:longuet-higgins]]) may be
- low due to randomness of phases $\epsilon_n$.
+ low due to randomness of phases \(\epsilon_n\).
- It is difficult to generalise LH model for non-Gaussian processes as it
involves incorporating non-linear terms in ([[eq:longuet-higgins]]) for which
there is no known formula to determine coefficients
@@ -547,14 +547,14 @@ process to ocean wave modelling.
In cite:stab2012,детярев1998моделирование,degtyarev1997analysis the authors
propose a solution for inverse problem of hydrodynamics of potential flow in the
framework of small-amplitude wave theory (under assumption that wave length is
-much larger than height: $\lambda \gg h$). In that case inverse problem is
+much larger than height: \(\lambda \gg h\)). In that case inverse problem is
linear and reduces to Laplace equation with mixed boundary conditions, and
equation of motion is solely used to determine pressures for calculated velocity
potential derivatives. The assumption of small amplitudes means the slow decay
of wind wave coherence function, i.e. small change of local wave number in time
-and space compared to the wavy surface elevation ($z$ coordinate). This
-assumption allows calculating elevation $z$ derivative as $\zeta_z=k\zeta$,
-where $k$ is wave number. In two-dimensional case the solution is written
+and space compared to the wavy surface elevation (\(z\) coordinate). This
+assumption allows calculating elevation \(z\) derivative as \(\zeta_z=k\zeta\),
+where \(k\) is wave number. In two-dimensional case the solution is written
explicitly as
\begin{align}
\left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{x,t}= &
@@ -564,7 +564,7 @@ explicitly as
I(x)= & \int\limits_{0}^x\frac{\partial\alpha/\partial z}{1+\alpha^{2}}dx,\nonumber
\end{align}
-where $\alpha$ is wave slope. In three-dimensional case solution is written in
+where \(\alpha\) is wave slope. In three-dimensional case solution is written in
the form of elliptic partial differential equation (PDE):
\begin{align*}
& \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \left( 1 + \alpha_x^2 \right) +
@@ -625,10 +625,10 @@ distributed random impulses. The governing equation for 3-D ARMA process is
,
\label{eq:arma-process}
\end{equation}
-where $\zeta$ --- wave elevation, $\Phi$ --- AR process coefficients, $\Theta$
---- MA process coefficients, $\epsilon$ --- white noise with Gaussian
-distribution, $\vec N$ --- AR process order, $\vec M$ --- MA process order, and
-$\Phi_{\vec{0}}\equiv{0}$, $\Theta_{\vec{0}}\equiv{0}$. Here arrows denote
+where \(\zeta\) --- wave elevation, \(\Phi\) --- AR process coefficients, \(\Theta\)
+--- MA process coefficients, \(\epsilon\) --- white noise with Gaussian
+distribution, \(\vec N\) --- AR process order, \(\vec M\) --- MA process order, and
+\(\Phi_{\vec{0}}\equiv{0}\), \(\Theta_{\vec{0}}\equiv{0}\). Here arrows denote
multi-component indices with a component for each dimension. In general, any
scalar quantity can be a component (temperature, salinity, concentration of some
substance in water etc.). Equation parameters are AR and MA process coefficients
@@ -647,9 +647,9 @@ weighted sum:
.
\label{eq:ar-process}
\end{equation}
-The coefficients $\Phi$ are calculated from ACF via three-dimensional
+The coefficients \(\Phi\) are calculated from ACF via three-dimensional
Yule---Walker equations, which are obtained after multiplying both parts of the
-previous equation by $\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}$ and computing the expected value.
+previous equation by \(\zeta_{\vec{i}-\vec{k}}\) and computing the expected value.
Generic form of YW equations is
\begin{equation}
\label{eq:yule-walker}
@@ -667,7 +667,7 @@ Generic form of YW equations is
0, \quad \text{if } \vec{k}\neq0,
\end{cases}
\end{equation}
-where $\gamma$ --- ACF of process $\zeta$, $\Var{\epsilon}$ --- white noise
+where \(\gamma\) --- ACF of process \(\zeta\), \(\Var{\epsilon}\) --- white noise
variance. Matrix form of three-dimensional YW equations, which is used in the
present work, is
\begin{equation*}
@@ -700,7 +700,7 @@ present work, is
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-where $\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)$ and
+where \(\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)\) and
\begin{equation*}
\Gamma_i =
\left[
@@ -722,13 +722,13 @@ where $\vec N = \left( p_1, p_2, p_3 \right)$ and
\end{array}
\right],
\end{equation*}
-Since $\Phi_{\vec 0}\equiv0$, the first row and column of $\Gamma$ can be
-eliminated. Matrix $\Gamma$ is block-toeplitz, positive definite and symmetric,
+Since \(\Phi_{\vec 0}\equiv0\), the first row and column of \(\Gamma\) can be
+eliminated. Matrix \(\Gamma\) is block-toeplitz, positive definite and symmetric,
hence the system is efficiently solved by Cholesky decomposition, which is
particularly suitable for these types of matrices.
After solving this system of equations white noise variance is estimated from
-eqref:eq:yule-walker by plugging $\vec k = \vec 0$:
+eqref:eq:yule-walker by plugging \(\vec k = \vec 0\):
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} =
\Var{\zeta}
@@ -739,7 +739,7 @@ eqref:eq:yule-walker by plugging $\vec k = \vec 0$:
\end{equation*}
**** Moving average (MA) process.
-MA process is ARMA process with $\Phi\equiv0$:
+MA process is ARMA process with \(\Phi\equiv0\):
\begin{equation}
\zeta_{\vec i}
=
@@ -748,7 +748,7 @@ MA process is ARMA process with $\Phi\equiv0$:
.
\label{eq:ma-process}
\end{equation}
-MA coefficients $\Theta$ are defined implicitly via the following non-linear
+MA coefficients \(\Theta\) are defined implicitly via the following non-linear
system of equations:
\begin{equation*}
\gamma_{\vec i} =
@@ -768,8 +768,8 @@ following formulae
\sum\limits_{\vec j = \vec i}^{\vec M}
\Theta_{\vec j} \Theta_{\vec j - \vec i}.
\end{equation*}
-Here coefficients $\Theta$ are calculated from back to front: from
-$\vec{i}=\vec{M}$ to $\vec{i}=\vec{0}$. White noise variance is estimated by
+Here coefficients \(\Theta\) are calculated from back to front: from
+\(\vec{i}=\vec{M}\) to \(\vec{i}=\vec{0}\). White noise variance is estimated by
\begin{equation*}
\Var{\epsilon} = \frac{\gamma_{\vec 0}}{
1
@@ -825,12 +825,12 @@ The final problem, which is discussed in [[#sec:how-to-mix-ARMA]], is inability
In practice some statements made for AR and MA processes in cite:box1976time
should be flipped for three-dimensional case. For example, the authors say that
-ACF of MA process cuts at $q$ and ACF of AR process decays to nought infinitely,
+ACF of MA process cuts at \(q\) and ACF of AR process decays to nought infinitely,
but in practice making ACF of 3-dimensional MA process not decay results in it
being non-invertible and producing realisation that does not look like real
ocean waves, whereas doing the same for ACF of AR process results in stationary
process and adequate realisation. Also, the authors say that one
-should allocate the first $q$ points of ACF to MA process (as it often needed to
+should allocate the first \(q\) points of ACF to MA process (as it often needed to
describe the peaks in ACF) and leave the rest points to AR process, but in
practice in case of ACF of a propagating wave AR process is stationary only for
the first time slice of the ACF, and the rest is left to MA process.
@@ -853,12 +853,12 @@ transforming initial ACF. In order to alleviate this, ACF must be preliminary
transformed as shown in cite:boukhanovsky1997thesis.
**** Wavy surface transformation.
-Explicit formula $z=f(y)$ that transforms wavy surface to desired
-one-dimensional distribution $F(z)$ is the solution of non-linear transcendental
-equation $F(z)=\Phi(y)$, where $\Phi(y)$ --- one-dimensional Gaussian
+Explicit formula \(z=f(y)\) that transforms wavy surface to desired
+one-dimensional distribution \(F(z)\) is the solution of non-linear transcendental
+equation \(F(z)=\Phi(y)\), where \(\Phi(y)\) --- one-dimensional Gaussian
distribution. Since distribution of wave elevation is often given by some
approximation based on field data, this equation is solved numerically with
-respect to $z_k$ in each grid point $y_k|_{k=0}^N$ of generated wavy surface. In
+respect to \(z_k\) in each grid point \(y_k|_{k=0}^N\) of generated wavy surface. In
this case equation is rewritten as
\begin{equation}
\label{eq:distribution-transformation}
@@ -872,7 +872,7 @@ Since, distribution functions are monotonic, the simplest interval halving
(bisection) numerical method is used to solve this equation.
**** Preliminary ACF transformation.
-In order to transform ACF $\gamma_z$ of the process, it should be expanded in
+In order to transform ACF \(\gamma_z\) of the process, it should be expanded in
series of Hermite polynomials (Gram---Charlier series)
\begin{equation*}
\gamma_z \left( \vec u \right)
@@ -886,9 +886,9 @@ where
\int\limits_{0}^\infty
f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
\end{equation*}
-$H_m$ --- Hermite polynomial, and $f(y)$ --- solution to equation
+\(H_m\) --- Hermite polynomial, and \(f(y)\) --- solution to equation
eqref:eq:distribution-transformation. Plugging polynomial approximation
-$f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i$ and analytic formulae for Hermite
+\(f(y)\approx\sum\limits_{i}d_{i}y^i\) and analytic formulae for Hermite
polynomial yields
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
@@ -900,16 +900,16 @@ polynomial yields
0 & \text{if }k\text{ is odd},
\end{cases}
\end{equation*}
-which simplifies the former equation. Optimal number of coefficients $C_m$ is
+which simplifies the former equation. Optimal number of coefficients \(C_m\) is
determined by computing them sequentially and stopping when variances of both
-fields become equal with desired accuracy $\epsilon$:
+fields become equal with desired accuracy \(\epsilon\):
\begin{equation*}
\left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
\frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
\end{equation*}
In cite:boukhanovsky1997thesis the author suggests using polynomial
-approximation $f(y)$ also for wavy surface transformation, however, in practice
+approximation \(f(y)\) also for wavy surface transformation, however, in practice
ocean surface realisation often contains points, where z-coordinate is beyond
the limits of the approximation, which makes solution wrong. In these points it
is more efficient to solve equation eqref:eq:distribution-transformation by
@@ -930,7 +930,7 @@ is studied in different domains instead. At the same time, computing discrete
Fourier transforms on the computer is possible for any discretely defined
function and efficient when using FFT algorithms. These algorithms use symmetry
of complex exponentials to decrease asymptotic complexity from
-$\mathcal{O}(n^2)$ to $\mathcal{O}(n\log_{2}n)$. So, even if general solution
+\(\mathcal{O}(n^2)\) to \(\mathcal{O}(n\log_{2}n)\). So, even if general solution
contains Fourier transforms of unknown functions, they still can be computed
numerically, and FFT family of algorithms makes this approach efficient.
@@ -941,7 +941,7 @@ comparable to that of FFT. For example, stationary elliptic PDE transforms to
implicit numerical scheme which is solved by iterative method on each step of
which a tridiagonal of five-diagonal system of algebraic equations is solved by
Thomas algorithm. Asymptotic complexity of this approach is
-$\mathcal{O}({n}{m})$, where $n$ --- number of wavy surface grid points, $m$ ---
+\(\mathcal{O}({n}{m})\), where \(n\) --- number of wavy surface grid points, \(m\) ---
number of iterations. Despite their wide spread, iterative algorithms are
inefficient on parallel computer architectures; in particular, their mapping to
co-processors may involve copying data in and out of the co-processor in each
@@ -972,7 +972,7 @@ sides of the equation yields
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 \right)
\FourierY{\phi(x,z)}{u,v} = 0,
\end{equation*}
-hence $v = \pm i u$. Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier
+hence \(v = \pm i u\). Hereinafter we use the following symmetric form of Fourier
transform:
\begin{equation*}
\FourierY{f(x,y)}{u,v} =
@@ -982,14 +982,14 @@ transform:
dx dy.
\end{equation*}
We seek solution in the form of inverse Fourier transform
-$\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}$. Plugging[fn::$v={-i}{u}$ is not
+\(\phi(x,z)=\InverseFourierY{E(u,v)}{x,z}\). Plugging[fn::\(v={-i}{u}\) is not
applicable because velocity potential must go to nought when depth goes to
-infinity.] $v={i}{u}$ into the formula yields
+infinity.] \(v={i}{u}\) into the formula yields
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-2d}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{e^{2\pi u z}E(u)}{x}.
\end{equation}
-In order to make substitution $z=\zeta(x,t)$ not interfere with Fourier
+In order to make substitution \(z=\zeta(x,t)\) not interfere with Fourier
transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
\begin{equation*}
\phi(x,z)
@@ -998,9 +998,9 @@ transforms, we rewrite eqref:eq:guessed-sol-2d as a convolution:
\ast
\InverseFourierY{E(u)}{x},
\end{equation*}
-where $\Fun{z}$ --- a function, form of which is defined in section
+where \(\Fun{z}\) --- a function, form of which is defined in section
[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
-$\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}$. Plugging formula $\phi$ into the boundary
+\(\FourierY{\Fun{z}}{u}=e^{2\pi{u}{z}}\). Plugging formula \(\phi\) into the boundary
condition yields
\begin{equation*}
\zeta_t
@@ -1012,8 +1012,8 @@ condition yields
\InverseFourierY{2\pi u E(u)}{x}
\right],
\end{equation*}
-where $f(x)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$. Applying Fourier transform
-to both sides of this equation yields formula for coefficients $E$:
+where \(f(x)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x\). Applying Fourier transform
+to both sides of this equation yields formula for coefficients \(E\):
\begin{equation*}
E(u) =
\frac{1}{2\pi u}
@@ -1023,8 +1023,8 @@ to both sides of this equation yields formula for coefficients $E$:
\FourierY{\Fun{z}}{u}
}
\end{equation*}
-Finally, substituting $z$ for $\zeta(x,t)$ and plugging resulting equation into
-eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for $\phi(x,z)$:
+Finally, substituting \(z\) for \(\zeta(x,t)\) and plugging resulting equation into
+eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\label{eq:solution-2d}
\boxed{
@@ -1041,18 +1041,18 @@ eqref:eq:guessed-sol-2d yields formula for $\phi(x,z)$:
}
\end{equation}
-Multiplier $e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})$ makes graph of a function to which Fourier
-transform of which is applied asymmetric with respect to $OY$ axis. This makes
+Multiplier \(e^{2\pi{u}{z}}/(2\pi{u})\) makes graph of a function to which Fourier
+transform of which is applied asymmetric with respect to \(OY\) axis. This makes
it difficult to apply FFT which expects periodic function with nought on both
ends of the interval. Using numerical integration instead of FFT is not faster
than solving the initial system of equations with numerical schemes. This
problem is alleviated by using formula eqref:eq:solution-2d-full for finite
-depth fluid with wittingly large depth $h$. This formula is derived in the
+depth fluid with wittingly large depth \(h\). This formula is derived in the
following section.
**** Formula for finite depth fluid.
-On the sea bottom vertical fluid velocity component equals nought: $\phi_z=0$ on
-$z=-h$, where $h$ --- water depth. In this case equation $v=-{i}{u}$, which came
+On the sea bottom vertical fluid velocity component equals nought: \(\phi_z=0\) on
+\(z=-h\), where \(h\) --- water depth. In this case equation \(v=-{i}{u}\), which came
from Laplace equation, can not be neglected, hence the solution is sought in the
following form:
\begin{equation}
@@ -1064,26 +1064,26 @@ following form:
}{x}.
\label{eq:guessed-sol-2d-full}
\end{equation}
-Plugging $\phi$ into the boundary condition on the sea bottom yields
+Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom yields
\begin{equation*}
C_1 e^{-2\pi u h} - C_2 e^{2\pi u h} = 0,
\end{equation*}
-hence $C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}$ and
-$C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}$. Constant $C$ may take arbitrary value
-here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients $E(u)$.
-Plugging formulae for $C_1$ and $C_2$ into eqref:eq:guessed-sol-2d-full yields
+hence \(C_1=\frac{1}{2}C{e}^{2\pi{u}{h}}\) and
+\(C_2=-\frac{1}{2}C{e}^{-2\pi{u}{h}}\). Constant \(C\) may take arbitrary value
+here, because after plugging it becomes part of unknown coefficients \(E(u)\).
+Plugging formulae for \(C_1\) and \(C_2\) into eqref:eq:guessed-sol-2d-full yields
\begin{equation*}
\phi(x,z) = \InverseFourierY{ \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
+Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the free surface yields
\begin{equation*}
\zeta_t = f(x) \InverseFourierY{ 2\pi i u \Sinh{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}
- \InverseFourierY{ 2\pi u \SinhX{2\pi u (z+h)} E(u) }{x}.
\end{equation*}
-Here $\sinh$ and $\cosh$ give similar results near free surface, and since this
+Here \(\sinh\) and \(\cosh\) give similar results near free surface, and since this
is the main area of interest in practical applications, we assume that
-$\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}$. Performing analogous to the
-previous section transformations yields final formula for $\phi(x,z)$:
+\(\Sinh{2\pi{u}(z+h)}\approx\SinhX{2\pi{u}(z+h)}\). Performing analogous to the
+previous section transformations yields final formula for \(\phi(x,z)\):
\begin{equation}
\boxed{
\phi(x,z,t)
@@ -1099,12 +1099,12 @@ previous section transformations yields final formula for $\phi(x,z)$:
}
\label{eq:solution-2d-full}
\end{equation}
-where $\FunSecond{z}$ --- a function, form of which is defined in section
+where \(\FunSecond{z}\) --- a function, form of which is defined in section
[[#sec:compute-delta]] and which satisfies equation
-$\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}$.
+\(\FourierY{\FunSecond{z}}{u}=\Sinh{2\pi{u}{z}}\).
**** Reducing to the formulae from linear wave theory.
-Check the validity of derived formulae by substituting $\zeta(x,t)$ with known
+Check the validity of derived formulae by substituting \(\zeta(x,t)\) with known
analytic formula for plain waves. Symbolic computation of Fourier transforms in
this section were performed in Mathematica cite:mathematica10. In the framework
of linear wave theory assume that waves have small amplitude compared to their
@@ -1124,14 +1124,14 @@ solution to which is written as
}{x}
.
\end{equation*}
-Propagating wave profile is defined as $\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))$. Plugging
+Propagating wave profile is defined as \(\zeta(x,t)=A\cos(2\pi(kx-t))\). Plugging
this formula into eqref:eq:solution-2d yields
-$\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}$. In order to reduce
+\(\phi(x,z,t)=-\frac{A}{k}\sin(2\pi(kx-t))\Sinh{2\pi{k}{z}}\). In order to reduce
it to the formula from linear wave theory, rewrite hyperbolic sine in
-exponential form, discard the term containing $e^{-2\pi{k}{z}}$ as contradicting
-condition $\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0$. Taking real
+exponential form, discard the term containing \(e^{-2\pi{k}{z}}\) as contradicting
+condition \(\phi\underset{z\rightarrow-\infty}{\longrightarrow}0\). Taking real
part of the resulting formula yields
-$\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))$, which corresponds to
+\(\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}e^{2\pi{k}{z}}\sin(2\pi(kx-t))\), which corresponds to
the known formula from linear wave theory. Similarly, under small-amplitude
waves assumption the formula for finite depth fluid eqref:eq:solution-2d-full is
reduced to
@@ -1143,7 +1143,7 @@ reduced to
\FourierY{\zeta_t}{u}
}{x}.
\end{equation*}
-Substituting $\zeta(x,t)$ with propagating plain wave profile formula yields
+Substituting \(\zeta(x,t)\) with propagating plain wave profile formula yields
\begin{equation}
\label{eq:solution-2d-linear}
\phi(x,z,t)=\frac{A}{k}
@@ -1155,19 +1155,19 @@ which corresponds to the formula from linear wave theory for finite depth fluid.
Different forms of Laplace equation solutions, in which decaying exponent is
written with either "+" or "-" signs, may cause incompatibilities between
formulae from linear wave theory and formulae derived in this work, where
-$\sinh$ is used instead of $\cosh$. Equality
-$\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}$
+\(\sinh\) is used instead of \(\cosh\). Equality
+\(\frac{\Sinh{2\pi{k}(z+h)}}{\Sinh{2\pi{k}{h}}}\approx\frac{\sinh(2\pi{k}(z+h))}{\sinh(2\pi{k}{h})}\)
becomes strict on the free surface, and difference between left-hand and
right-hand sides increases when approaching sea bottom (for sufficiently large
depth difference near free surface is negligible). So, for sufficiently large
-depth any function ($\cosh$ or $\sinh$) may be used for velocity potential
+depth any function (\(\cosh\) or \(\sinh\)) may be used for velocity potential
computation near free surface.
Reducing eqref:eq:solution-2d и eqref:eq:solution-2d-full to the known formulae
from linear wave theory shows, that formula for infinite depth
eqref:eq:solution-2d is not suitable to compute velocity potentials with Fourier
method, because it does not have symmetry, which is required for Fourier
-transform. However, formula for finite depth can be used instead by setting $h$
+transform. However, formula for finite depth can be used instead by setting \(h\)
to some characteristic water depth. For standing wave reducing to linear wave
theory formulae is made under the same assumptions.
@@ -1188,9 +1188,9 @@ of Laplace equation yields
-4 \pi^2 \left( u^2 + v^2 + w^2 \right)
\FourierY{\phi(x,y,z)}{u,v,w} = 0,
\end{equation*}
-hence $w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}$. We seek solution in the form of inverse Fourier
-transform $\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}$. Plugging
-$w=i\sqrt{u^2+v^2}$ into the formula yields
+hence \(w=\pm{i}\sqrt{u^2+v^2}\). We seek solution in the form of inverse Fourier
+transform \(\phi(x,y,z)=\InverseFourierY{E(u,v,w)}{x,y,z}\). Plugging
+\(w=i\sqrt{u^2+v^2}\) into the formula yields
\begin{equation*}
\phi(x,y,z) = \InverseFourierY{
\left(
@@ -1200,7 +1200,7 @@ $w=i\sqrt{u^2+v^2}$ into the formula yields
E(u,v)
}{x,y}.
\end{equation*}
-Plugging $\phi$ into the boundary condition on the sea bottom (analogous to
+Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the sea bottom (analogous to
two-dimensional case) yields
\begin{equation}
\label{eq:guessed-sol-3d}
@@ -1208,7 +1208,7 @@ two-dimensional case) yields
\Sinh{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
}{x,y}.
\end{equation}
-Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
+Plugging \(\phi\) into the boundary condition on the free surface yields
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
@@ -1217,10 +1217,10 @@ Plugging $\phi$ into the boundary condition on the free surface yields
- & \InverseFourierY{2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \SinhX{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)}E(u,v)}{x,y}
\end{array}
\end{equation*}
-where $f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x$ and
-$f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y$.
+where \(f_1(x,y)={\zeta_x}/{\sqrt{1+\zeta_x^2}}-\zeta_x\) and
+\(f_2(x,y)={\zeta_y}/{\sqrt{\vphantom{\zeta_x^2}\smash[b]{1+\zeta_y^2}}}-\zeta_y\).
Applying Fourier transform to both sides of the equation yields formula for
-coefficients $E$:
+coefficients \(E\):
\begin{equation*}
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rl}
@@ -1230,21 +1230,21 @@ coefficients $E$:
- & 2 \pi \sqrt{u^2+v^2} \SinhX{2\pi \sqrt{u^2+v^2} (z+h)} E(u,v)
\end{array}
\end{equation*}
-Final solution is obtained after plugging $E(u,v)$ into eqref:eq:guessed-sol-3d.
+Final solution is obtained after plugging \(E(u,v)\) into eqref:eq:guessed-sol-3d.
* Numerical methods and experimental results
** The shape of ACF for different types of waves
*** Two methods to find ocean waves ACF
**** Analytic method of finding the ACF.
The straightforward way to find ACF for a given ocean wave profile is to apply
-Wiener---Khinchin theorem. According to this theorem the autocorrelation $K$ of
-a function $\zeta$ is given by the Fourier transform of the absolute square of
+Wiener---Khinchin theorem. According to this theorem the autocorrelation \(K\) of
+a function \(\zeta\) is given by the Fourier transform of the absolute square of
the function:
\begin{equation}
K(t) = \Fourier{\left| \zeta(t) \right|^2}.
\label{eq:wiener-khinchin}
\end{equation}
-When $\zeta$ is replaced with actual wave profile, this formula gives you
+When \(\zeta\) is replaced with actual wave profile, this formula gives you
analytic formula for the corresponding ACF.
For three-dimensional wave profile (2D in space and 1D in time) analytic formula
@@ -1275,8 +1275,8 @@ For three-dimensional plain standing wave the profile is given by
\label{eq:standing-wave}
\end{equation}
Find ACF via analytic method. Multiplying the formula by a decaying exponent
-(because Fourier transform is defined for a function $f$ that
-$f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0$) yields
+(because Fourier transform is defined for a function \(f\) that
+\(f\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\longrightarrow}0\)) yields
\begin{equation}
\zeta(t, x, y) =
A
@@ -1297,7 +1297,7 @@ approximation:
\end{equation}
So, after applying Wiener---Khinchin theorem we get initial formula but with
cosines instead of sines. This difference is important because the value of ACF
-at $(0,0,0)$ equals to the ARMA process variance, and if one used sines the
+at \((0,0,0)\) equals to the ARMA process variance, and if one used sines the
value would be wrong.
If one tries to replicate the same formula via empirical method, the usual way
@@ -1327,7 +1327,7 @@ standing wave).
*** Comparison of studied methods
To summarise, the analytic method of finding ocean wave's ACF reduces to the
following steps.
-- Make wave profile decay when approaching $\pm\infty$ by multiplying it by
+- Make wave profile decay when approaching \(\pm\infty\) by multiplying it by
a decaying exponent.
- Apply Fourier transform to the absolute square of the resulting equation using
symbolic computation programme.
@@ -1338,7 +1338,7 @@ waves their decaying profiles resemble the corresponding ACFs with the exception
that the ACF's maximum should be moved to the origin to preserve simulated
process variance. Empirical method of finding ACF reduces to the following
steps.
-- Make wave profile decay when approaching $\pm\infty$ by multiplying it by
+- Make wave profile decay when approaching \(\pm\infty\) by multiplying it by
a decaying exponent.
- Move maximum value of the resulting function to the origin by using
trigonometric identities to shift the phase.
@@ -1376,11 +1376,11 @@ of PDF expands in Gram---Charlier series:
+1
\right],
\end{align}
-where $\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})$, $\gamma_1$ --- skewness,
-$\gamma_2$ --- kurtosis, $f$ --- PDF, $F$ --- cumulative distribution function
+where \(\phi(z)=\frac{1}{2}\mathrm{erf}(z/\sqrt{2})\), \(\gamma_1\) --- skewness,
+\(\gamma_2\) --- kurtosis, \(f\) --- PDF, \(F\) --- cumulative distribution function
(CDF). According to cite:рожков1990вероятностные for ocean waves skewness is
-selected from interval $0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]$ and kurtosis from interval
-$0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}$. Family of probability density functions for
+selected from interval \(0.1\leq\gamma_1\leq{0.52}]\) and kurtosis from interval
+\(0.1\leq\gamma_2\leq{0.7}\). Family of probability density functions for
different parameters is shown in [[fig:skew-normal-1]].
#+name: fig:skew-normal-1
@@ -1409,7 +1409,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-1 of ocean wavy surface elevation for different values of skewness $\gamma_1$ and kurtosis $\gamma_2$.
+#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-1 of ocean wavy surface elevation for different values of skewness \(\gamma_1\) and kurtosis \(\gamma_2\).
#+RESULTS: fig:skew-normal-1
[[file:build/skew-normal-1.pdf]]
@@ -1423,11 +1423,11 @@ elevation by skew-normal distribution:
f(z; \alpha) & = \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}
\mathrm{erfc}\left[-\frac{\alpha z}{\sqrt{2}}\right],
\end{align}
-where $T$ --- Owen \(T\)-function cite:owen1956tables. Using this formula it is
+where \(T\) --- Owen \(T\)-function cite:owen1956tables. Using this formula it is
impossible to specify skewness and kurtosis separately --- both values are
-adjusted via $\alpha$ parameter. The only advantage of the formula is its
+adjusted via \(\alpha\) parameter. The only advantage of the formula is its
relative computational simplicity: this function is available in some programmes
-and mathematical libraries. Its graph for different values of $\alpha$ is shown
+and mathematical libraries. Its graph for different values of \(\alpha\) is shown
in [[fig:skew-normal-2]].
#+name: fig:skew-normal-2
@@ -1460,7 +1460,7 @@ legend(
)
#+end_src
-#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-2 of ocean wavy surface for different values of skewness coefficient $\alpha$.
+#+caption: Probability density function eqref:eq:skew-normal-2 of ocean wavy surface for different values of skewness coefficient \(\alpha\).
#+RESULTS: fig:skew-normal-2
[[file:build/skew-normal-2.pdf]]
@@ -1470,17 +1470,17 @@ distribution may be solved either in every point of generated wavy surface,
which gives the most accurate results, or in every fixed grid point
interpolating result via least-squares (LS) polynomial. In the second case
precision is lower. For example, interpolating 12^th order polynomial on a fixed
-grid of 500 points on interval $-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z$ gives error of
-$\approx{0.43}\cdot10^{-3}$. Increasing polynomial order leads to either numeric
+grid of 500 points on interval \(-5\sigma_z\leq{z}\leq{5}\sigma_z\) gives error of
+\(\approx{0.43}\cdot10^{-3}\). Increasing polynomial order leads to either numeric
overflows during LS interpolation, or more coefficient close to nought;
increasing the size of the grid has insignificant effect on the result. In the
majority of cases three Gram---Charlier series coefficients is enough to
-transform ACF; relative error without interpolation is $10^{-5}$.
+transform ACF; relative error without interpolation is \(10^{-5}\).
*** White noise generation
In order to eliminate periodicity from generated wavy surface, it is imperative
to use PRNG with sufficiently large period to generate white noise. Parallel
-Mersenne Twister cite:matsumoto1998mersenne with a period of $2^{19937}-1$ is
+Mersenne Twister cite:matsumoto1998mersenne with a period of \(2^{19937}-1\) is
used as a generator in this work. It allows producing aperiodic ocean wavy
surface realisations in any practical usage scenarios.
@@ -1520,8 +1520,8 @@ cite:oppenheim1989discrete,svoboda2011efficient,pavel2013algorithms (a popular
method in signal processing) is used. The essence of the method is to add
another interval, size of which is equal to the ramp-up interval size, to the
end of each part. Then wavy surface is generated in each point of each part
-(including points from the added interval), the interval at the end of part $N$
-is superimposed on the ramp-up interval at the beginning of the part $N+1$, and
+(including points from the added interval), the interval at the end of part \(N\)
+is superimposed on the ramp-up interval at the beginning of the part \(N+1\), and
values in corresponding points are added.
#+name: fig:ramp-up-interval
@@ -1530,7 +1530,7 @@ source(file.path("R", "common.R"))
arma.plot_ramp_up_interval()
#+end_src
-#+caption: Ramp-up interval at the beginning of the $OX$ axis of the realisation.
+#+caption: Ramp-up interval at the beginning of the \(OX\) axis of the realisation.
#+RESULTS: fig:ramp-up-interval
[[file:build/ramp-up-interval.pdf]]
@@ -1541,8 +1541,8 @@ arma.plot_ramp_up_interval()
In solutions eqref:eq:solution-2d and eqref:eq:solution-2d-full to
two-dimensional pressure determination problem there are functions
-$\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}$ and
-$\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}$ which has multiple
+\(\Fun{z}=\InverseFourierY{e^{2\pi{u}{z}}}{x}\) and
+\(\FunSecond{z}=\InverseFourierY{\Sinh{2\pi{u}{z}}}{x}\) which has multiple
analytic representations and are difficult to compute. Each function is a
Fourier transform of linear combination of exponents which reduces to poorly
defined Dirac delta function of a complex argument (see [[tab:delta-functions]]).
@@ -1551,19 +1551,19 @@ multiplication of Dirac delta functions of real and imaginary part, however,
this approach does not work here, because applying inverse Fourier transform to
this representation does not produce exponent, which severely warp resulting
velocity field. In order to get unique analytic definition normalisation factor
-$1/\Sinh{2\pi{u}{h}}$ (which is also included in formula for $E(u)$) may be
+\(1/\Sinh{2\pi{u}{h}}\) (which is also included in formula for \(E(u)\)) may be
used. Despite the fact that normalisation allows obtaining adequate velocity
potential field, numerical experiments show that there is little difference
between this field and the one produced by formulae from linear wave theory, in
-which terms with $\zeta$ are omitted.
+which terms with \(\zeta\) are omitted.
#+name: tab:delta-functions
-#+caption: Formulae for computing $\Fun{z}$ and $\FunSecond{z}$ from [[#sec:pressure-2d]], that use normalisation to eliminate uncertainty from definition of Dirac delta function of complex argument.
+#+caption: Formulae for computing \(\Fun{z}\) and \(\FunSecond{z}\) from [[#sec:pressure-2d]], that use normalisation to eliminate uncertainty from definition of Dirac delta function of complex argument.
#+attr_latex: :booktabs t
-| Function | Without normalisation | Normalised |
-|-----------------+------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
-| $\Fun{z}$ | $\delta (x+i z)$ | $\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)$ |
-| $\FunSecond{z}$ | $\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]$ | $\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]$ |
+| Function | Without normalisation | Normalised |
+|-------------------+--------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
+| \(\Fun{z}\) | \(\delta (x+i z)\) | \(\frac{1}{2 h}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)\) |
+| \(\FunSecond{z}\) | \(\frac{1}{2}\left[\delta (x-i z) + \delta (x+i z) \right]\) | \(\frac{1}{4 h}\left[\text{sech}\left(\frac{\pi (x-i (h+z))}{2 h}\right)+\text{sech}\left(\frac{\pi (x+i(h+z))}{2 h}\right)\right]\) |
** ARMA model verification
:PROPERTIES:
@@ -1585,7 +1585,7 @@ characteristics (listed in table [[tab:weibull-shape]]) have Weibull distributio
and wavy surface elevation has Gaussian distribution. In order to verify that
distributions corresponding to generated realisation are correct,
quantile-quantile plots are used (plots where analytic quantile values are used
-for $OX$ axis and estimated quantile values for $OY$ axis). If the estimated
+for \(OX\) axis and estimated quantile values for \(OY\) axis). If the estimated
distribution matches analytic then the graph has the form of the straight line.
Tails of the graph may diverge from the straight line, because they can not be
reliably estimated from the finite-size realisation. Different methods of
@@ -1596,7 +1596,7 @@ they may (and often) overlap.
#+name: tab:weibull-shape
#+caption: Values of Weibull shape parameter for different wave characteristics.
#+attr_latex: :booktabs t
-| Characteristic | Weibull shape ($k$) |
+| Characteristic | Weibull shape (\(k\)) |
|----------------------+---------------------|
| Wave height | 2 |
| Wave length | 2.3 |
@@ -1687,7 +1687,7 @@ in the framework of linear wave theory are eliminated, shows no difference (as
much as machine precision allows) in resulting velocity potential fields.
#+name: fig:potential-field-nonlinear
-#+caption: Velocity potential field of propagating wave $\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)$. Field produced by formula eqref:eq:solution-2d-full (left) and linear wave theory formula (right).
+#+caption: Velocity potential field of propagating wave \(\zeta(x,y,t) = \cos(2\pi x - t/2)\). Field produced by formula eqref:eq:solution-2d-full (left) and linear wave theory formula (right).
#+attr_latex: :width 0.47\textwidth
#+begin_figure
[[file:graphics/pressure/potential-5.eps]]
@@ -1708,7 +1708,7 @@ velocity field is produced only by formula eqref:eq:solution-2d-full (fig.
satisfactory results without restriction on wave amplitudes.
#+name: fig:velocity-field-2d
-#+caption: Comparison of velocity field on the ocean wavy surface obtained by generic formula ($u_1$) and formula for small-amplitude waves ($u_2$). Velocity field for realisations containing small-amplitude (left) and large-amplitude (right) waves.
+#+caption: Comparison of velocity field on the ocean wavy surface obtained by generic formula (\(u_1\)) and formula for small-amplitude waves (\(u_2\)). Velocity field for realisations containing small-amplitude (left) and large-amplitude (right) waves.
#+begin_figure
[[file:build/low-amp-nocolor.eps]]
[[file:build/high-amp-nocolor.eps]]
@@ -2256,7 +2256,7 @@ arma.plot_factory_vs_openmp_overlap(
)
#+end_src
-#+caption: Overlap of parallel computations on $[G_0,G_1]$ and data output to disk on $[W_0,W_1]$. In OpenMP implementation there is no overlap.
+#+caption: Overlap of parallel computations on \([G_0,G_1]\) and data output to disk on \([W_0,W_1]\). In OpenMP implementation there is no overlap.
#+RESULTS: fig:factory-overlap
[[file:build/factory-vs-openmp-overlap.pdf]]
@@ -2374,18 +2374,18 @@ To summarise, node discovery algorithm is
sending messages.
**** Building a tree hierarchy.
-Strict total order on the set $\mathcal{N}$ of cluster nodes connected to a
+Strict total order on the set \(\mathcal{N}\) of cluster nodes connected to a
network is defined as
\begin{equation*}
\forall n_1 \forall n_2 \in \mathcal{N},
\forall f \colon \mathcal{N} \rightarrow \mathcal{R}^n
\Rightarrow (f(n_1) < f(n_2) \Leftrightarrow \neg (f(n_1) \geq f(n_2))),
\end{equation*}
-where $f$ maps a node to its rank and operator $<$ defines strict total order on
-$\mathcal{R}^n$. Function $f$ defines node's sequential number, and $<$ makes
+where \(f\) maps a node to its rank and operator \(<\) defines strict total order on
+\(\mathcal{R}^n\). Function \(f\) defines node's sequential number, and \(<\) makes
this number unique.
-The simpliest function $f$ maps each node to its Internet address position in
+The simpliest function \(f\) maps each node to its Internet address position in
network IP address range. Without conversion to a tree (when only \emph{one}
leader is allowed in the network) a node with the lowest position in this range
becomes the principal. If IP-address of a node occupies the first position in
@@ -2407,11 +2407,11 @@ offset are computed from the following optimisation problem.
l \geq 0, \quad
o \geq 0
\end{align*}
-where $n$ is the position of node's IP address in network IP address range and
-$p$ is fan-out value (the maximal number of subordinates, a node can have). The
-principal of a node with level $l$ and offset $o$ has level $l-1$ and offset
-$\lfloor{o/p}\rfloor$. The distance between any two nodes in the tree with
-network positions $i$ and $j$ is computed as
+where \(n\) is the position of node's IP address in network IP address range and
+\(p\) is fan-out value (the maximal number of subordinates, a node can have). The
+principal of a node with level \(l\) and offset \(o\) has level \(l-1\) and offset
+\(\lfloor{o/p}\rfloor\). The distance between any two nodes in the tree with
+network positions \(i\) and \(j\) is computed as
\begin{align*}
& \langle
\text{lsub}(l(j), l(i)), \quad
@@ -2426,7 +2426,7 @@ network positions $i$ and $j$ is computed as
The distance is compound to account for level in the first place.
To determine its principal each node ranks all nodes in the network according to
-their position $\langle{l(n),o(n)}\rangle$, and using distance formula chooses
+their position \(\langle{l(n),o(n)}\rangle\), and using distance formula chooses
the node which is closest to potential principal position and has lower rank.
That way IP addresses of offline nodes are skipped, however, for sparse networks
(in which nodes occupy non-contiguous IP addresses) perfect tree is not
@@ -2641,14 +2641,14 @@ cite:dean2008mapreduce,vavilapalli2013yarn --- a user submitting a job does not
specify the number of hosts to run its job on, and actual hosts are the hosts
where input files are located.
-From mathematical point of view kernel $K$ can be described as a vector-valued
+From mathematical point of view kernel \(K\) can be described as a vector-valued
functional which recursively maps a kernel to \(n\)-component vector of kernels:
\begin{equation*}
K(f): \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^n
\qquad
\mathbb{K}^n = \left\{ f: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^n \right\}.
\end{equation*}
-Special kernel $\mathbb{O}: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^0$ is used to stop
+Special kernel \(\mathbb{O}: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}^0\) is used to stop
the recursion and is passed as an argument to the main kernel. An argument to a
kernel is interpreted as follows.
- If a kernel is a newly created kernel, then its argument is its parent kernel.
@@ -2755,7 +2755,7 @@ A tree hierarchy with fan-out value of 64 was chosen to make all cluster nodes
connect directly to the first one. In each run the first kernel was launched on
a different node to make mapping of kernel hierarchy to the tree hierarchy
optimal. A victim node was made offline after a fixed amount of time after the
-programme start which is equivalent approximately to $1/3$ of the total run time
+programme start which is equivalent approximately to \(1/3\) of the total run time
without failures on a single node. All relevant parameters are summarised in
Table [[tab:benchmark]] (here ``root'' and ``leaf'' refer to a node in the
tree hierarchy). The results of these runs were compared to the run without node
@@ -2794,7 +2794,7 @@ difference in performance in case of master and slave node failures lies within
of node less than 6[fn::Measuring this margin for higher number of nodes does
not make sense since time before failure is greater than total execution time
with these numbers of nodes, and programme's execution finishes before a failure
-occurs.]]. Increase in execution time of 50% is more than $1/3$ of execution
+occurs.]]. Increase in execution time of 50% is more than \(1/3\) of execution
time after which a failure occurs, but backup node failure need some time to be
discovered: they are detected only when subordinate kernel carrying the copy of
the first kernel finishes its execution and tries to reach its parent. Instant
