commit 0e832262c8157f4096ded6f5313571d8e3a981c8
parent 836c06e5cc3c5d9a662975779d283a239b1d4d86
Author: Ivan Gankevich <igankevich@ya.ru>
Date: Tue, 13 Jun 2017 11:08:55 +0300
Add equation label. Move NIT subsection to the end of the section.
Diffstat:
| arma-thesis-ru.org | | | 159 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------------------------- |
1 file changed, 80 insertions(+), 79 deletions(-)
diff --git a/arma-thesis-ru.org b/arma-thesis-ru.org
@@ -914,85 +914,6 @@ Motion Programme (LAMP), программе для моделирования к
может сделать модель более точной при условии наличия соответствующих формул
пересчета коэффициентов, что является целью дальнейших исследований.
-** Моделирование нелинейности морских волн
-Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
-т.е. генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
-ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
-морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
-
-Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
-преобразования (НБП) случайного процесса, однако, любое нелинейное
-преобразование случайного процесса приводит к преобразованию его АКФ. Для того
-чтобы подавить этот эффект, необходимо предварительно преобразовать АКФ, как
-показано в\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
-
-**** Преобразование взволнованной поверхности.
-Формула \(z=f(y)\) преобразования взволнованной поверхности к необходимому
-одномерному закону распределения \(F(z)\) получается путем решения нелинейного
-трансцендентного уравнения \(F(z) = \Phi(y)\), где \(\Phi(y)\)\nbsp{}--- функция
-одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения
-аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на
-натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке
-\(y_k|_{k=0}^N\) сетки сгенерированной поверхности относительно \(z_k\). Тогда
-уравнение запишется в виде
-\begin{equation}
- \label{eq-distribution-transformation}
- F(z_k)
- =
- \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
- \int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt
- .
-\end{equation}
-Поскольку функции распределения монотонны, для решения этого уравнения
-используется простейший численный метод половинного деления (метод бисекции).
-
-**** Предварительное преобразование АКФ.
-Для преобразования АКФ \(\gamma_z\) процесса ее необходимо разложить в ряд по
-полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
-\begin{equation*}
- \gamma_z \left( \vec u \right)
- =
- \sum\limits_{m=0}^{\infty}
- C_m^2 \frac{\gamma_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
-\end{equation*}
-где
-\begin{equation*}
- C_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
- \int\limits_{0}^\infty
- f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
-\end{equation*}
-\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения
-eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
-аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими выражениями
-для полнимов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно упростить,
-используя следующее равенство:
-\begin{equation*}
- \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
- \int\limits_\infty^\infty
- y^k \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right]
- =
- \begin{cases}
- (k-1)!! & \text{для четных }k,\\
- 0 & \text{для нечетных }k.
- \end{cases}
-\end{equation*}
-Оптимальное количество коэффициентов \(C_m\) определяется путем вычисления их
-последовательно и критерий прекращения счета определяется совпадением дисперсий
-обоих полей с требуемой точностью \(\epsilon\):
-\begin{equation*}
- \left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
- \frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
-\end{equation*}
-
-В\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную
-аппроксимацию для \(f(y)\) также для преобразования поверхности, однако на
-практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
-выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
-резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
-eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
-Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
-Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
-
** Определение поля давлений под дискретно заданной взволнованной поверхностью
Аналитические решения граничных задач для классических уравнений часто
используются для исследования различных свойств уравнений, и для таких
@@ -1331,6 +1252,86 @@ eqref:eq-solution-2d-full до
\end{equation*}
где \(\FourierY{\mathcal{D}_3\left(x,y,z\right)}{u,v}=\Sinh{\smash{2\pi\Kveclen{}z}}\).
+** Моделирование нелинейности морских волн
+Модель АРСС позволяет учесть асимметричность распределения волновых аппликат,
+т.е. генерировать морские волны, закон распределения аппликат которых имеет
+ненулевой эксцесс и асимметрию. Такой закон распределения характерен для реальных
+морских волн\nbsp{}cite:longuet1963nonlinear.
+
+Асимметричность волн моделируется с помощью нелинейного безынерционного
+преобразования (НБП) случайного процесса, однако, любое нелинейное
+преобразование случайного процесса приводит к преобразованию его АКФ. Для того
+чтобы подавить этот эффект, необходимо предварительно преобразовать АКФ, как
+показано в\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis.
+
+**** Преобразование взволнованной поверхности.
+Формула \(z=f(y)\) преобразования взволнованной поверхности к необходимому
+одномерному закону распределения \(F(z)\) получается путем решения нелинейного
+трансцендентного уравнения \(F(z) = \Phi(y)\), где \(\Phi(y)\)\nbsp{}--- функция
+одномерного нормального закона распределения. Поскольку функция распределения
+аппликат морских волн часто задается некоторой аппроксимацией, основанной на
+натурных данных, то это уравнение целесообразно решать численно в каждой точке
+\(y_k|_{k=0}^N\) сетки сгенерированной поверхности относительно \(z_k\). Тогда
+уравнение запишется в виде
+\begin{equation}
+ \label{eq-distribution-transformation}
+ F(z_k)
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_0^{y_k} \exp\left[ -\frac{t^2}{2} \right] dt
+ .
+\end{equation}
+Поскольку функции распределения монотонны, для решения этого уравнения
+используется простейший численный метод половинного деления (метод бисекции).
+
+**** Предварительное преобразование АКФ.
+Для преобразования АКФ \(\gamma_z\) процесса ее необходимо разложить в ряд по
+полиномам Эрмита (ряд Грама---Шарлье)
+\begin{equation*}
+ \gamma_z \left( \vec u \right)
+ =
+ \sum\limits_{m=0}^{\infty}
+ C_m^2 \frac{\gamma_y^m \left( \vec u \right)}{m!},
+\end{equation*}
+где
+\begin{equation*}
+ C_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_{0}^\infty
+ f(y) H_m(y) \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right],
+\end{equation*}
+\(H_m\)\nbsp{}--- полином Эрмита, а \(f(y)\)\nbsp{}--- решение уравнения
+eqref:eq-distribution-transformation. Воспользовавшись полиномиальной
+аппроксимацией \(f(y) \approx \sum\limits_i d_i y^i\) и аналитическими выражениями
+для полнимов Эрмита, формулу определения коэффициентов можно упростить,
+используя следующее равенство:
+\begin{equation*}
+ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
+ \int\limits_\infty^\infty
+ y^k \exp\left[ -\frac{y^2}{2} \right]
+ =
+ \begin{cases}
+ (k-1)!! & \text{для четных }k,\\
+ 0 & \text{для нечетных }k.
+ \end{cases}
+\end{equation*}
+Оптимальное количество коэффициентов \(C_m\) определяется путем вычисления их
+последовательно и критерий прекращения счета определяется совпадением дисперсий
+обоих полей с требуемой точностью \(\epsilon\):
+\begin{equation}
+ \label{eq-nit-error}
+ \left| \Var{z} - \sum\limits_{k=0}^m
+ \frac{C_k^2}{k!} \right| \leq \epsilon.
+\end{equation}
+
+В\nbsp{}cite:boukhanovsky1997thesis автор предлагает использовать полиномиальную
+аппроксимацию для \(f(y)\) также для преобразования поверхности, однако на
+практике в реализации взволнованной поверхности часто находятся точки,
+выпадающие за промежуток на котором построена аппроксимация, что приводит к
+резкому уменьшению ее точности. В этих точках уравнение
+eqref:eq-distribution-transformation эффективнее решать методом бисекции.
+Использование полиномиальной аппроксимации в формулах для коэффициентов ряда
+Грама---Шарлье не приводит к аналогичным ошибкам.
+
* Численные методы и результаты экспериментов
** Форма АКФ для разных волновых профилей
:PROPERTIES:
